《建筑力学》15章、16章力矩分配法、影响线演示教学

第十五章力矩分配法1学习内容力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。2学习目的和要求

力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种实用计算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到杆端弯矩。运算简单，方法机械，便于掌握。本章的基本要求：熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无侧移刚架的计算。3第十五章力矩分配法引言§15—1力矩分配法的基本原理§15—2用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架

4§15—1力矩分配法的基本原理力矩分配法为克罗斯(H.Cross)于1930年提出，这一方法对连续梁和无结点线位移刚架的计算尤为方便。1.劲度系数、传递系数⑴劲度系数(转动刚度)Sij定义如下：当杆件AB的A端转动单位角时，A端(又称近端)的弯矩MAB称为该杆端的劲度系数，用SAB表示。它标志着该杆端抵抗转动能力的大小，故又称为转动刚度。则劲度系数与杆件的远端支承情况有关，由转角位移方程知远端固定时：ABEIL⌒1⃕MAB=4i⃕MBAABEI⌒1⃕MAB=3iSAB=MAB=4i远端铰支时：SAB=MAB=3iSAB=3iAB⌒1远端滑动支撑时：EI⃕MAB=i⃕MBASAB=MAB=iSAB=i远端自由时：AB⌒1⃕MAB=oEISAB=MAB=0SAB=0SAB=4i返回6(2)传递系数CijABEIL⌒1↷MAB=4i↷ABEI

1↷MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB⌒1EI↷MAB=i↷MBA=-iSAB=MAB=iAB⌒1↷MABEISAB=MAB=0当近端A转动时，另一端B(远端)也产生一定的弯矩，这好比是近端的弯矩按一定比例传到远端一样，故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由A端向B端的传递系数，用CAB表示。即或MBA=CABMAB远端固定时：CAB=0.5远端铰支时：CAB=0远端滑动支撑：CAB=－1由表右图可得MBA=2i返回7ΣMB=0

MB是汇交于B结点各杆端固端弯矩代数和,它是未被平衡的各杆固端弯矩的差值,故称为B结点上的不平衡力矩,以顺时针方向为正。2．力矩分配法的基本原理以图15-1(a)为例进行说明:（1）设想在B结点加上一个刚臂阻止B结点转动如图15-1(b)所示。此时只有AB跨受荷载作用产生变形,相应的杆端弯矩MFAB、MFAB即为固端弯矩、,附加刚臂的反力矩可取B结点为隔离体而得：89（2）原连续梁B结点并无附加刚臂,取消刚臂的作用让B结点转动,就相当于在B结点加上一个反向的不平衡力矩如图15-3(c)所示。这时汇交于B结点的各杆端产生的弯矩,,即前面所述的分配弯矩。在远端产生的杆端弯矩即传递弯矩MC，它是由各近端的分配弯矩乘以传递系数得到的。（3）将图15-3(b)、(c)两种情况叠加,就得到图9-3(a)所示连续梁的受力及变形。如杆端弯矩

以上就是力矩分配法的基本思路,概括来说:先在B结点加上附加刚臂阻止B结点转动,把连续梁看作两个单跨粱,求出各杆的固端弯矩MF,此时刚臂承受不平衡力矩MB(各杆固端弯矩的代数和),然后去掉10附加刚臂,即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB)，求出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC，叠加各杆端弯矩即得原连续梁各杆端的最后弯矩。连续梁的M、FS图及支座反力则不难求出。用力矩分配法作题时,不必绘图15-3(b)、(c)所示图,而是按一定的格式进行计算,即可十分清晰地说明整个计算过程,举例如下。例15-1用力矩分配法计算图所示连续梁的M图。EI=常数120kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓15kN/m2m2m4mEI2EIABC11120kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓15kN/m2m2m4mEI2EIABC120kN↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓15kN/mABC1）锁住结点，求固端弯矩－6060－302）去掉约束，相当于在结点加上负的不平衡力矩，并将它分给各个杆端及传递到远端。MBMBmBAmBC3）叠加1）、2）得到最后杆端弯矩。计算过程可列表进行不平衡力矩=固端弯矩之和节点不平衡力矩要变号分配.－MB=－30ABC12ABC483012066M图（kN.m)13例15—2试用力矩分配法作刚架的弯矩图。解：(1)计算各杆端分配系数(2)计算固端弯矩(3)进行力矩的分配和传递计算过程如表15-2(4)计算杆端最后弯矩并作矩图（略）。图15-6

14结点BADC杆端BAABACADDACA分配系数0.30.30.4固端弯矩0600-48720分配弯矩和传递弯矩0-3.6-3.6-4.80-2.4-1.80最后弯矩056.4-3.6-52.869.60-1.8表15-215注意：①结点集中力偶m顺时针为正，产生正的分配弯矩。②分配系数μ1j

表示1j杆1端承担结点外力偶的比率，它等于该杆1端的转动刚度S1j与交与结点1的各杆转动刚度之和的比值，即：μ1j＝S1j/ΣS1j，且Σμ1j＝1（3）③只有分配弯矩才能向远端传递。④分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩是杆端转动时产生的远端弯矩。16§15—2用力矩分配法计算连续梁对于具有多个结点转角但无结点线位移(简称无侧移)的结构，只需依次对各结点使用上节所述方法便可求解。作法是：先将所有结点固定，计算各杆固端弯矩；然后将各结点轮流地放松，即每次只放松一个结点，其它结点仍暂时固定，这样把各结点的不平衡力矩轮流地进行分配、传递，直到传递弯矩小到可略去时为止，以这样的逐次渐进方法来计算杆端弯矩。下面举例说明。返回17以图15-7所示三跨等截面连续梁为例，在荷载作用下，两个中间结点B、C将发生转角，设想用附加刚臂使结点B和C不能转动(以下称为固定结点)，得出由三根单跨超静定梁组成的基本结构，并可求得各杆的固端弯矩如下图15-7图15-718

B、Ｃ两结点处的不平衡

B、Ｃ两结点不平衡力矩分别为

为消去这两个不平衡力矩，设先放松结点B，而结点C仍然固定。此时ABC部分可利用上节所述力矩分配和传递的办法进行计算如下完成了结点B的第一次分配和传递19通过上述运算，结点B暂时平衡，在分配弯矩值下面绘一横线表示。这时，结点C仍然存在不平衡力矩，它的数值等于原来的不平衡矩再加上由于放松结点B而传来的传递弯矩，放结点C上的不平衡力矩为。为消去这一不平衡力矩，需放松结点C，但同时应将结点B重新固定，这样才能在BCD部分进行力矩分配和传递。

结点C已暂时平衡结点B上又有了新的不平衡力矩，其数值为—52.5kN·m，

按照相同的步骤，依次继续在结点B和结点C消去不平衡力矩，使不平衡力矩绝对值愈来愈小。经过若干轮以后，传递弯矩小到可以略去不计时，便可使计算在分配后停止不再传递；此时，结构就非常接近于真实的平衡状态,如表15-320表15-3杆端弯矩计算21力矩分配法的计算步骤可归纳如下：（1）在各结点上按各杆端的转动刚度计算其分配系数．并确定相应传递系数。（2）计算各杆的固端弯矩和相应各结点的不平衡力矩。（3）依次放松各结点以使弯矩平衡。每平衡一个结点时，按分配系数将不平衡力矩反号分配于各杆近端，然后将各杆端所得的分配弯矩乘以传递系数传递至远端。将此步骤重复运用至杆端的传递弯杆小到可以略去而不需传递时为止。22例15—3用力矩分配法计算图示连续梁。012325kN/m400kN25kN/m解：固定1`2结点。列表计算如下:12m6m6m12m分配系数

10=

12=

21=

23=固端弯矩MF-300+300-600+600-300-4500+150结点1分配传递+150+150+75+75结点2分配传递-129-96-640结点1分配传递+32+32+16+16结点2分配传递-9-7-500.50.50.5710.429结点1分配传递+2+3+1+1结点2分配传递-10最后弯矩M-208+484-484+553-5530EIEIEI+225-225返回23例15-4用力矩分配法计算图示连续梁。1.5kN/m8kN4kN5m8m3m5m5m1.5kN/m8kN4kN↷4kN·m

0.3750.6250.50.50.3750.625MF0+4.69-8+8-9.38+5.62+2+4分配及传递-4.76-2.86-2.380ABCDEFI2I2II0.8iii0.8i1mABCDE+1.24+2.070+1.03+1.37+1.36+0.68+0.68-0.43-0.25-0.21-0.25-0.43-0.21-7.62+3.31+2.73+0.42+0.21+0.21+0.11+0.11-0.04-0.07-0.03-0.07-0.04-0.03+0.03+0.03+0.02+0.02-0.01-0.01-0.01-0.01M0+5.63-5.63+10.40-10.40+1.16-1.16+4返回241.5kN/m8kN4kNABCDEFI2I2IIM0+5.63-5.63+10.40-10.40+1.16-1.16+45.634.691.88121.1615048.06M图010.403.98返回25例15-5用力矩分配法求图所示刚架的弯矩图图15-10解：（1）转动刚度，,，

，,（2）分配系数

结点C：

结点C点B（3）紧锁结点B、C求固端弯矩26结点B的约束力矩为：

(4)力矩分配计算．先放松结点B，为提高结点B各杆端弯矩计算幅度在两轮计算后再在结点D作一次力矩分配。计算过程见图1（5）画弯矩固如图2所图1图227注意：①多结点结构的力矩分配法得的是渐近解。②首先从结点不平衡力矩较大的结点开始，以加速收敛③不能同时放松相邻的结点（因为两相邻结点同时放松时，它们之间的杆的转动刚度和传递系数定不出来）；但是，可以同时放松所有不相邻的结点，这样可以加速收敛。④每次要将结点不平衡力矩变号分配。⑤结点i的不平衡力矩Mi总等于附加刚臂上的约束力矩，可由结点平衡来求。在第一轮第一个分配结点：Mi=∑MF－m（结点力偶荷载顺时针为正）在第一轮其它分配结点：Mi=∑MF＋M传－m（结点力偶荷载顺时针为正）以后各轮的各分配结点：Mi=M传

（8－6）28第十六章影响线29学习内容实际工程中结构除承受桓载外，还会受到活载的作用。影响线是移动荷载作用下结构分析的基础。本章主要介绍结构在移动荷裁作用下结构的影响线概念，着重阐述了作静定梁影响线的静力法和机动法；在影响线的应用方面，主要介绍确定员不利荷载位置、判定临界荷载位置的方法；并对简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩及连续梁的内力包络图作法进行了30学习目的和要求了解影响线的概念，掌握用静力法作简支梁的影响线及影响线的应用。了解超静定梁影响线的作法及最不利荷载的布且，掌握内力包络图的绘制方法。31第十六章影响线及其应用§16—1影响线的概念§16—2用静力法作单跨静定梁的影响线§16—3用机动法做静定梁的影响线§16-4影响线的应用§16—5简支梁的内力包络图及绝对最大弯矩的概念32§16—1影响线的概念1.问题的提出工程结构除了承受固定荷载作用外，还要受到移动荷载的作用。例如：见图。在移动荷载作用下，结构的反力和内力将随着荷载位置的移动而变化，在结构设计中，必须求出移动荷载作用下反力和内力的最大值。返回33为了解决这个问题，需要研究荷载移动时反力和内力的变化规律。然而不同的反力和不同截面的内力变化规律各不相同，即使同一截面，不同的内力变化规律也不相同，解决这个复杂问题的工具就是影响线。返回342.最不利荷载位置某一量值产生最大值的荷载位置，称为最不利荷载位置。例如：见图。ABRAP工程中的移动荷载通常是由很多间距不变的竖向荷载所组成，其类型是多种多样的，不可能逐一加以研究。为此，可先只研究一种最简单的荷载，即一竖向单位集中荷载FP=1沿结构移动时，对某量值产生的影响，然后据叠加原理可进一步研究各种移动荷载对该量值的影响。例如：见图。1231P=1P=1P=1P=1FP=1这样所得的图形就表示了FP=1在梁上移动时反力FRA的变化规律，这一图形就称为反力FRA的影响线。03/41/21/4返回353.影响线的定义当一个指向不变的单位集中荷载（通常是竖直向下）沿结构移动时，表示某一指定量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。某量值的影响线一经绘出，就可以利用它来确定最不利荷载位置，应用叠加法求出该量值的最大值。FRA的影响线ABFRAP1231P=1P=1P=1P=1FP=103/41/21/4返回36§16—2用静力法作单跨静定梁的影响线1.绘制影响线的基本方法：2.静力法：将荷载FP=1放在任意位置，并选定一坐标系，以横坐标x表示荷载作用点的位置，然后根据静力平衡条件求出所求量值与荷载位置x之间的函数关系，这种关系式称为影响线方程，再根据方程作出影响线图形。静力法和机动法。返回373.简支梁的影响线（1）反力影响线由∑MB=0有FRA

L－FP(L－x)=0得FRA

=FP(0≤x≤L)当x=0,FRA

=1x=L,FRA

=0FRA影响线1FRA影响线FRB影响线由∑MA=0有FRB

L－FPx=0FRB

=(0≤x≤L)当x=0,FRB

=0x=L,FRB

=1FRB影响线1yKxFRARBFP=1K00⊕⊕返回38P=1（2）弯矩影响线绘制MC的影响线当P=1在截面C以左移动时,取截面C以右部分为隔离体MC=RBb=(0≤x≤a)即MC影响线的左直线。当x=0,MC=0x=a,MC=b当P=1在截面C以右移动时,取截面C以左部分为隔离体MC=RAa=(a≤x≤L)即MC影响线的右直线。当x=a,MC=x=L,MC=0ab/L左直线右直线11右直线左直线xxMC影响线QC影响线ab/LP=1x0绘制QC的影响线（3）剪力影响线当FP在AC段上移动时,取截面C以右部分为隔离体QC=－FRB(0≤x＜a)为QC的左直线。当FP在CB段上移动时,取截面C以左部分为隔离体QC=FRA(a＜x≤L)(右直线)P=1RAabCFRBx

FP

-返回394.伸臂梁的影响线（1）反力影响线P=1x由平衡条件求得RA=RB=(-L1≤x≤L+L2)11（2）跨内部分截面内力影响线MC、QC影响线当FP=1在DC段移动时，取截面C以右部分为隔离体有MC=FRB

bQC=－FRB1当FP=1在CE段移动时，取截面C以左部分为隔离体有MC=FRA

aQC=FRAab1

FRA影响线FRB影响线MC影响线QC影响线FRAFRBabEDABCFP=1x⊕⊖返回40(3)伸臂部分截面内力影响线绘制MK、QK影响线当FP=1在DK段上移动时KDEP=1x取K以左为隔离体MK=－xQK=－1dd1MK影响线QK影响线当FP=1在KE段上移动时取K以左为隔离体FP=1MK=0QK=0绘制QA左影响线1QA左影响线绘制QA右影响线11QA右影响线0⊖⊖⊕⊕⊖⊖返回41§16—3用机动法作静定梁的影响线静力法和机动法是作影响线的两种基本方法。1.机动法的依据——虚位移原理：虚位移原理即刚体体系在力系作用下处于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和等于零。返回422.机动法简介以简支梁为例。作反力FRA的影响线，为求反力FRA，去掉与其相应的联系即A处的支座，以正向反力代替。FRA此时，原结构变成了有一个自由度的几何可变体系，给此体系微小虚位移。

A虚功方程为FRA

A+PP=0

PFRA

=－BA令

A=1FRA

=－

P此时，虚位移图

P便代表了FRA的影响线。FP=1AB1返回433.机动法由前面分析可知，欲作某一反力或内力X的影响线，只需将与X相应的联系去掉，并使所得体系沿X的正向发生单位位移，则由此得到的荷载作用点的竖向位移图即代表X的影响线。这种作影响线的方法便称为机动法。机动法的优点在于不必经过具体计算就能迅速绘出影响线的轮廓。例：用机动法绘MC影响线ABCabMCMCABCFP=1

A1

P令+=1=aaMC(+)+PP=0解：)()1返回44多跨静定梁的影响线1.多跨静定梁影响线绘制步骤首先分清多跨静定梁的基本部分和附属部分及其传力关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，多跨静定梁的影响线即可绘出。2.举例说明首先分析几何组成并绘层叠图。KaL当P=1在CE段上移动时MK影响线与CE段单独作为一伸臂梁相同。MK影响线当P=1在AC段上移动时MK=0当P=1在EF段上移动时RF此时CE梁相当于在结点E处受到VE的作用VE=故MK影响线在EF段为直线。a绘制MK的影响线绘制QB左的影响线按上述步骤绘出QB左影响线如图。0VEP=1101QB左影响线P=1xE返回453.结论由上可知，多跨静定梁反力及内力影响线的一般作法如下：

（1）当FP=1在量值本身梁段上移动时，量值的影响线与相应单跨静定梁相同。（2）当FP=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁段上移动时，量值影响线的竖标为零。

（3）当FP=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动时，量值影响线为直线。此外，用机动法绘制多跨静定梁的影响线也是很方便的（课后自行练习）。返回46§16-4影响线的应用47一、利用影响线求量值前面讨论了影响线的绘制方法。从本节开始研究影响线的应用。首先讨论如何利用影响线求量值。1.集中荷载某量值的影响线已经绘出，有若干个集中荷载作用在已知位置。P1P2Pny1y2yn据叠加原理S=P1y1+P2y2+…+Pnyn=∑Piyi(6－1)若集中力作用在影响线某一直线范围内，则有S影响线S影响线y1y2ynox1x2S=P1y1+P2y2+…+Pnyn0

=(P1x1+P2x2+…+Pnxn)tg

=tg∑Pixi据合力矩定理∑Pixi=R故有S=Rtg=R(6－2)R返回482.分布荷载qxabS影响线将分布荷载沿长度分成许多无穷小的微段，dxy每一微段dx上的荷载为qxdx，S=当为均布荷载（q=常数）（6—3）S=(6—4）qS影响线式中表示影响线在均布荷载范围内面积的代数和。ab

qxdx

则ab区段内分布荷载产生的影响量ω返回49二、最不利荷载位置最不利荷载位置：使某一量值发生最大（或最小）值的荷载位置，即为最不利荷载位置。在移动荷载作用下的结构，各种量值均随荷载位置的变