第十四章 体系的几何组成分析

主讲老师：王培兴建筑力学第十四章平面杆件体系的几何组成分析第十四章平面杆件体系的几何组成分析【学习目标】

1.了解三种不同的体系；2.理解进行体系几何组成分析的目的；3.理解体系自由度的概念与意义；4.熟练掌握利用几何不变体系的组成规则对简单杆件体系进行几何组成分析；5.理解静定结构与超静定结构的异同点。14.1概述【引言】杆件结构都是由若干杆件按一定规律互相连接在一起而组成，用来承受荷载，起骨架作用的体系。但是并不是所有的杆件体系都能够用来承受荷载起骨架作用，有些杆件体系是不能作为结构使用的。例如，建筑工地上常见的扣件式钢管脚手架，一般都需要搭成如图14-1（a）所示的形式，即脚手架不但要有竖直杆和水平杆，还必须要有一些斜杆（剪刀撑）才能稳当可靠。如果将架子搭成如图14-1（b）所示的形式，则会很容易倒塌的。14.1概述一、三种不同的体系在各种杆件系中，存在三种不同的形式，即几何不变体系、几何可变体系、几何瞬变体系。1.几何不变体系结构受荷载作用时，构件内部会产生内力，弹塑性材料制成的构件会因此产生弹性变形，从而结构也就会产生变形。但是这种变形一般是很小的，在几何组成分析中，我们不考虑这种由于构件的内力所产生的弹性小变形。在不考虑材料弹性小变形的条件下，如果体系的位置和形状是不能改变的，这样的体系称为几何不变体系。如图14-2（a）所示的体系，即为几何不变体系。14.1概述2．几何可变体系有的体系，在受荷载作用下，即使在不考虑材料弹性小变形的条件下，体系的位置和形状仍然是可以改变的，这样的体系称为几何可变体系。如图14-2（b）所示的体系，只要受微小的水平力作用，就可以产生图示变形，所以是为几何可变体系。14.1概述3．几何瞬变体系有的体系，在受荷载作用下，一开始能产生瞬间微小的几何变形（非弹性小变形），然后体系的位置和形状就保持不变，这样的体系，称为几何瞬变体系。如图14-2（c）所示两根水平杆AB、AC组成的的体系，只要受微小的竖向力F作用，就可以使两根杆件运动（转动），产生图示微小的变形。产生了这个小变形以后，体系就变成了几何不变体系。注意：瞬变体系危险。思考：为什么？14.1概述在图14-2（c）中，由于A点产生位移移动到A/点，若杆AB、AC长度相同，则该两杆产生相同的转角

，研究A/点的平衡可知，AB、AC两杆均受拉，轴力为：由于变形很微小，即

很小，所以趋向于无穷大，使杆件AB、AC内的应力亦趋向于无穷大，所以会造成杆件AB、AC突然破坏。14.1概述二、几何组成分析的目的对体系进行几何组成分析，以确定它们属于哪一类体系，称为体系的几何组成分析。作这种分析的目的在于（1）判别某一体系是否几何不变，以保证所设计的结构是几何不变的，从而决定它能否作为结构。工程结构必须都是几何不变的。（2）研究几何不变体系的组成规则，保证设计的体系其组成的合理性。（3）正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的基础。对体系进行几何组成分析，一般可以分为计算体系的自由度以及根据几何不变体系的组成规则进行分析。14.2体系的自由度一、自由度的概念在没有受到约束之前，所有的像平面内的点、杆件、刚片（即平面内的刚体）等，都是可以自由运动的。当点（或刚片、体系）在平面内运动时，为确定其运动位置所需的独立坐标的数目，称为点（或刚片、体系）在平面内的自由度。14.2体系的自由度1.点在平面内的自由度如图14-3（a）所示，一个点A在平面内运动时，为确定其运动位置，需要用两个坐标x和y，因此平面内一个点的自由度等于2。14.2体系的自由度2．刚片在平面内的自由度如图14-3（b）所示，一个刚片在平面内运动时，为确定其运动位置，需要用它上面的任一点A的坐标x、y和过点A的任一直线AB的倾角

来确定，因此平面内一个刚片的自由度等于3。思考：在日常生活中，挂一幅相片(比如结婚照)，如何确定位置？14.2体系的自由度二、约束的作用能够使体系的自由度减少的装置统称为约束。平面杆件体系中的杆件，总是用各种不同的约束连接在一起，工程实际中的约束，形式各异，但是经过分析，主要可以归纳为以下几种，即：1.链杆2.单铰3.复铰4.支座14.2体系的自由度1．链杆：两端是铰链连接，中间不受力的杆件称为链杆。链杆主要为直杆，少数也可以为折杆或曲杆。如图14-4a所示，两个刚片原来各有3个自由度共有6个自由度。用一根链杆相连接以后，要确定其位置，左面刚片Ⅰ需要确定3个参数即点A的坐标x、y和过点A的任一直线AB的倾角

即可，再确定链杆与直线的夹角

以及右边刚片上的直线与链杆的夹角

，一共5个参数。可见一根链杆可减少一个自由度。14.2体系的自由度2．单铰及其作用：联结两个刚片的铰称为单铰，如图14-4b所示，两刚片之间用单铰相连，在连接之前，两个刚片原来各有3个自由度共有6个自由度，用单铰联结后，左面刚片Ⅰ需要确定3个参数即点A的坐标x、y和过点A的任一直线AB的倾角

，确定刚片Ⅱ的位置只需要一个独立坐标

即可，一共4个参数，与原来无铰连接时相比减少了2个自由度。可见一个单铰可减少2个自由度。14.2体系的自由度3．复铰及其作用：在进行几何组成分析时，还会遇到同一个铰同时连接多个刚片的情形，如图14-5所示。我们把同时连接两个刚片以上的铰称为复铰。复铰可以这样形成：在刚片I上设一个铰A，不会改变其自由度，在铰以外依次连接刚片Ⅱ、刚片Ⅲ、……，每增加一个刚片，这个刚片的自由度比起与铰A连接前的情形减少2个自由度，若增至第n个刚片，它们的总自由度比没有与铰A存在的情形减少了2（n-l）个。因此一个连接n个刚片的复铰相当于（n-1）个单铰，减少2(n-l)个自由度。

14.2体系的自由度4．支座的作用：体系要维持几何不变，必须用支座与地基基础相连。如可动铰支座（即链杆支座）、固定铰支座、固定支座等。这些不同的支座，限制运动以及减少自由度的个数各不相同。

14.2体系的自由度如图14-6所示，如果用一个可动铰支座将刚片与基础相连接，则刚片在链杆方向的运动将被限制，但此时刚片仍可进行两种独立的运动，即链杆AC绕C点的转动以及刚片绕A点的转动。所以，一个可动铰支座减少1个自由度。我们将它用支座链杆的根数来体现，即一个可动铰支座有一根支座链杆，减少1个自由度。

14.2体系的自由度再如图14-7所示，如果用一个固定铰支座将刚片与基础相连接，则刚片的任何移动都受到限制，刚片只能绕A点的转动。所以，一个固定铰支座减少2个自由度。我们同样将它用支座链杆的根数来体现，即一个固定铰支座有2根支座链杆，减少2个自由度。同样地分析可知，一个固定支座应有3根支座链杆，减少3个自由度。14.2体系的自由度三、关于多余约束通过上面的介绍，我们了解了，约束是减少体系自由度的装置。但是，约束使体系的自由度减少是有条件的，在许多情况下，体系中有的约束并不能起到减少自由度的作用，这种约束称为多余约束或无效约束。

14.2体系的自由度如图14-8a，平面内一个点A有两个自由度，如果用两根不共线的链杆将点A与基础相连接，则点A减少两个自由度，即被固定；在图14-8b中，如果再增加一根不共线的链杆将点A与基础相连接，实际上仍只减少两个自由度。因此，这三根链杆中有一根是多余约束。

14.2体系的自由度又如，在图14-9a中，刚片I通过两根竖直的链杆1和2与地基连接后，仍能在水平方向发生移动，体系的自由度为1；在图14-9b中，如果在体系中再加进一根竖直的链杆3，刚片仍能发生水平移动，体系的自由度仍为1。因此，链杆1、链杆2或链杆3三根链杆之中，有一根是多余约束。

14.2体系的自由度四、体系的理论自由度一个一般的平面杆件体系，通常都是由若干刚片相互用铰相连并用支座链杆与基础相连组成的。设其刚片数（地基基础不计入）为m，单铰数为h，支座链杆数为r,则其理论自由度W为：W=3m

－2h

－r

(14-1)式中：h是单铰总数目，如果是复铰，应把它们折算成相应的单铰，代入公式计算。14.2体系的自由度在折算成单铰时，应正确识别该复铰所联结的刚片数。如图14-10所示几种情形，铰分别连接4个刚片、3个刚片、2个刚片，所以其相应的折算单铰数应分别为3、2、1。r是支座链杆总数目，对不同的支座，应把它们折算成相应的支座链杆，代入公式计算。14.2体系的自由度还有一些平面杆件体系，都是在两端用铰联结的杆件所组成的体系，称为铰接链杆体系。这类体系的理论自由度，除可用式（14-1）计算外，还可采用较为简便的公式进行计算。设以j表示结点数，b表示杆件数，r表示支座链杆数。则体系的理论自由度为：

W=2j

－b

－r(14-2)【注】一般体系公式通用，链杆体系公式特殊（专用）14.2体系的自由度例14-1

试求图14-11所示体系的理论自由度。14.2体系的自由度解：若将体系视为一般体系，则可数得：刚片数m=13，换算后的单铰总数h=18，换算后的支座链杆r=3，代入公式，可得W=3m

－2h

－r=3×13－2×18－3=014.2体系的自由度若将体系按照链杆体系计算，则则可数得：结点数j=8，杆件数b=13，换算后的支座链杆r=3，代入公式，仍可得：W=2j

－b－r=2×8－13－3=0因此，对链杆体系，既可按链杆体系计算，也可以按一般体系计算，两者结果相同。但是，用链杆体系公式较计算稍简单些。14.2体系的自由度有时候，需要了解体系内部本身的几何组成情况，计算体系的内部理论自由度，由于一个内部几何不变的物体，至少需要用三根支座链杆与地基基础相连接，才能整体几何不变。所以求体系的内部理论自由度，其公式为W=3m

－2h

－r

(14-1b)或

W=2j

－b

－r

(14-2b)14.2体系的自由度五、体系的理论自由度的意义在对体系的理论自由度进行计算后，一般可能有以下三种结果：1．理论自由度W＞0，表示体系尚需要添加约束条件，才能几何不变。所以自由度W＞0的体系是几何可变体系。2．理论自由度W=0，表示体系已经具备几何不变的必要条件，可能为几何不变，但是不一定就是几何不变。因为即使体系的理论自由度W=0，如果其组成不合理，仍然可能是几何可变的。

14.2体系的自由度3．理论自由度W＜0，表示体系已经具备几何不变的必要条件，且存在多余约束，体系可能为几何不变，但仍然不一定就是几何不变。因为即使体系的理论自由度W＜0，如果其组成不合理，仍然可能是几何可变的。因此，体系的理论自由度W≤0，是体系几何不变的必要条件，不是充分条件。在这里，有必要再讨论一下多余约束，上面已经提到，体系中有的约束并不能起到减少自由度的作用，这种约束称为多余约束，但是在求杆件体系的计算自由度时，会得出理论自由度W＜0的情况，这表明，多余约束，事实上减少了体系的理论自由度。14.2体系的自由度【注】在上面体系的理论自由度计算中，如果求得体系的理论自由度W≥0，则体系的实际自由度和体系的理论自由度在数值上一般是相等的；如果如果求得体系的理论自由度W＜0，则体系的实际自由度和体系的理论自由度是不相等的，一般地，这个负值数就是多余约束的数目。

14.3几何不变体系的组成规则【引言】通过上一节的讨论，了解了体系的自由度的概念与体系的理论自由度的求解。但是知道了体系的理论自由度，并不能判定体系是否几何不变。所以必须要研究几何不变体系的组成规则，下面进行研究。

14.3几何不变体系的组成规则一、两个重要的概念1．虚铰如图14-12所示，刚片I和刚片Ⅱ之间由两根链杆连接，两根链杆的延长线交于0点。当暂设刚片Ⅱ静止不动时，刚片I相对于刚片Ⅱ可以产生运动。但是，刚片I上的A点只能绕着点C在与AC垂直的方向上发生运动；同样的分析可知刚片I上的B点将绕着点D在与BD垂直的方向上发生运动。由于A、B两点同在刚片I上，因此，刚片I只能以O为瞬时转动中心进行转动，它只有1个自由度。经过一微小位移后，AC和BD延长线的交点O的位置也就发生了改变，O点事实上起到了一个铰的作用，而其运动是对瞬时而言的，所以把这种铰称为虚铰或瞬铰。虚铰只是相当于实铰而言，其对物体限制运动方面的作用，与实铰是相当的。14.3几何不变体系的组成规则当刚片I和刚片Ⅱ之间连接的两根链杆位置发生变化时，虚铰还有另外三种情况，如图14-13a、b、c所示。其中图14-3a两根链杆直接相连接，虚铰变成了实铰0；图14-3b两根链杆互相平行，虚铰的位置位于无穷远处；图14-3c两根链杆交叉但不相连，虚铰的位置在交叉点上。14.3几何不变体系的组成规则2．二元体如图14-14所示，在某物体W（几何不变或者几何可变）上，用不在一条直线上的两根链杆连接一个新结点的装置，称为二元体。在这里，要强调两根链杆，不在一条直线上。14.3几何不变体系的组成规则二、几何不变体系的组成规则1．三刚片规则如图14-15所示，平面内三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，组成的体系几何不变，且无多余约束。2．两刚片规则如图14-16所示，平面内两刚片用一根链杆及一个不在链杆延长线上的铰相连接，组成的体系几何不变，且无多余约束。14.3几何不变体系的组成规则3．二元体规则如图14-14所示，如果下部的物体W原来是几何不变的，则不论在其上面增加一个二元体，或者撤除一个二元体，都仍然是几何不变的。反过来，如果下部的物体W原来是几何可变的，则不论在其上面增加一个二元体，或者撤除一个二元体，都仍然是几何可变的。归纳起来，二元体规则可以表述为：增减二元体，不会改变原体系的几何组成特性。14.3几何不变体系的组成规则三、对规则的解读1．对三刚片规则的解读（1）如图14-17所示，如果连接三个刚片的铰在一条直线上，体系为几何瞬变体系。14.3几何不变体系的组成规则（2）由于虚铰对物体在限制运动方面的作用，相当于实铰，所以在三刚片规则中，可以用虚铰来替代实铰。如图13-18所示，平面内三刚片用不在同一直线上的三个虚铰两两相连，组成的体系几何不变，且无多余约束。在这里，替代的虚铰也可以是一个或者两个，只要保证三个铰不在同一条直线上即可。14.3几何不变体系的组成规则2．对二刚片规则的解读同理可得，如图14-19所示，如果用两根链杆构成的虚铰来替代不在链杆延长线上的铰，规则应该仍然成立。但是，为了使两根链杆构成的虚铰不在链杆的延长线上，应保证三根链杆不完全交于一点也不完全平行。14.3几何不变体系的组成规则如图14-20a、b所示，三根链杆（或链杆的延长线）完全交于一点，体系为几何可变，其中图14-20a为几何常变，图14-20b为几何瞬变；如图14-20c、d所示，三根链杆完全平行，体系为几何可变，其中图14-20c为几何常变，图14-20d为几何瞬变所以，两刚片规则又可以描述为，平面内两刚片用不完全交于一点也不完全平行的三根链杆相连接，组成的体系几何不变，且无多余约束。14.3几何不变体系的组成规则3．对对三刚片规则的再解读在平面内三刚片用虚铰代替实铰的连接中，由于虚铰可能出现由平行链杆所构成而位置在无穷远处的情况，所以又可以有三种演变。

14.3几何不变体系的组成规则（1）一个虚铰由平行链杆所构成，位置在无穷远处。如图14-21所示，刚片Ⅰ、刚片Ⅱ、刚片Ⅲ三个刚片用三个铰两两相连接。其中一个铰为由平行链杆所构成的虚铰，为了方便判别，另外两个铰为实铰。对该体系，只需要将刚片Ⅰ用一根链杆来替代，就将三刚片体系演变为两刚片体系，显然，如果替代的链杆与上面构成虚铰的平行链杆不平行，如图14-21a所示，体系（满足两刚片规则）是几何不变的；反过来，如果替代的链杆与上面构成虚铰的平行链杆也平行，如图14-21b所示，则体系（不满足两刚片规则）是几何可变的。14.3几何不变体系的组成规则（2）两个虚铰由平行链杆所构成，位置在无穷远处。如图14-22所示，刚片Ⅰ、刚片Ⅱ、刚片Ⅲ三个刚片用三个铰两两相连接。其中两个铰为由平行链杆所构成的虚铰，为了方便判别，另外一个铰为实铰。此时，我们只需对比构成虚铰的两对平行链杆之间的关系，如果两对平行链杆之间互不平行，如图14-22a所示，体系是几何不变的；如果两对平行链杆之间互相平行，如图14-22b所示，体系是几何可变的。14.3几何不变体系的组成规则（3）三个虚铰由平行链杆所构成，位置都在无穷远处。如图14-23所示，刚片Ⅰ、刚片Ⅱ、刚片Ⅲ三个刚片用三个位置都在无穷远处的虚铰两两相连接，此时，直接判定体系为几何可变。14.3几何不变体系的组成规则4.推论：基本铰接△规律（1）基本铰接△三根链杆用三个铰两两相连而成的△（2）基本铰接△规律：基本铰接△是几何不变的14.3几何不变体系的组成规则显然，若把三根链杆全部看成是刚片，基本铰接△满足三刚片规则；若把其中两根链杆看成是刚片，基本铰接△满足两刚片规则；若把其中一根链杆看成是刚片，基本铰接△满足二元体规则。所以规律成立。今后可以直接看作为刚片14.4应用不变体系的组成规则分析示例基本要求【基本要求】要熟悉、理解几何不变体系的三个组成规则，特别是三刚片规则与两刚片规则的几种演变情况。应用几何不变体系的组成规则对一般进行几何组成分析，其主要步骤为：1．刚片的命名：可以将体系中的一根杆件、铰接△、某一不变部分等设为刚片；2．寻找刚片之间的联系：两个刚片或者三个刚片之间是用哪个铰、哪些链杆连接的；3．对照规则进行判断：满足哪个规则或是符合规则的特殊情况。14.4应用不变体系的组成规则分析示例在体系进行分析前（过程中）可以考虑以下措施1.运用二元体规则，（连续）撤除二元体，减少杆件数目，杆件（刚片）少，便于分析；2.根据基本铰接△规律，一般将体系中的铰接△视为刚片，并可（运用二元体规则）进一步进行扩大，通过扩大刚片，将整个原体系分为若干刚片，然后分析这些刚片之间的联系。3.如果支座是简支（只有三根支座链杆），可以只分析上部。（即上部不变整体不变，上部可变整体可变）。反过来，如果支座不是简支（超过三根支座链杆），则一般应从基础开始进行分析。14.4应用不变体系的组成规则分析示例例14-2试对图14-24示体系进行几何组成分析。分析：本体系有六根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。先选取基础为刚片，杆AB作为另一刚片，该两刚片由三根链杆相连，符合两刚片连接规则，组成一个大的刚片，称为刚片Ⅰ。再取杆CD为刚片Ⅱ，它与刚片Ⅰ之间用杆BC（链杆）和两根支座链杆相连，符合两刚片连接规则，组成一个更大的刚片。最后将杆DE作为一个刚片Ⅲ和，则刚片Ⅲ与上面的大刚片用铰D和E处的一根支座链杆相连接，满足两刚片规则，组成整个体系。因此，整个体系是无多余约束的几何不变体系。14.4应用不变体系的组成规则分析示例例14-3试对图14-25所示体系进行几何组成分析。分析：该体系与基础用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，符合两刚片连接规则，可先撤去这些支座链杆，只分析体系内部的几何组成。任选铰结三角形，例如ABC作为刚片，依次增加二元体B-D-C、B-E-D、D-F-E和E-G-F，根据二元体规则，上部体系是几何不变的，不变的上部体系与与基础用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，符合两刚片连接规则，所以整个体系几何不变，且无多余约束。

14.4应用不变体系的组成规则分析示例例14-4试对图14-26所示体系进行几何组成分析。分析：该体系有四根支座链杆，所以应从基础开始进行分析。根据加减二元体规则，仿照例13-3的分析方法，可将左半部的ABD部分作为刚片Ⅰ，右半部的BCE部分作为刚片Ⅱ，再将基础作为刚片Ⅲ。则刚片Ⅰ与刚片Ⅱ由实铰B相连，刚片Ⅰ与刚片Ⅲ由两根链杆（组成虚铰O1）相连，刚片Ⅱ与刚片Ⅲ由两根链杆（组成虚铰O2）相连。由于三个铰B、O1、O2恰在同一直线上，故体系为瞬变体系。如果三个铰B、O1、O2不在同一直线上，则体系为无多余约束的几何不变体系。14.4应用不变体系的组成规则分析示例例14-5试对图14-27所示体系进行几何组成分析。分析：该体系有四根支座链杆，应从基础开始进行分析。以基础为刚片，杆AB为另一刚片，该二刚片由A处固定铰支座的两根链杆和B处可动铰支座的一根链杆共三根链杆相连，符合二刚片连接规则,组成一个大的刚片。然后增加由杆AD和D处支座链杆组成的二元体,再增加由杆CD和杆CB组成的二元体这样就形成一个更大的刚片，设为刚片Ⅰ。再选取铰结三角形EFG为刚片，增加由杆EH和杆GH组成的二元体，形成刚片Ⅱ。刚片Ⅰ与刚片Ⅱ之间由四根链杆相连，但不管选择其中哪三根链杆，它们都相交于一点O