第七章 非线性方程模型

第七章非线性方程模型学习目标：了解非线性方程模型的分类与转化。掌握二元Logistic、二元Probit、二元Tobit离散选择模型的一般形式、估计原理。熟练运用Eviews软件进行NLS模型的估计与检验。熟练运用Eviews软件创建二元离散选择模型数据；熟练进行二元Logistic、二元Probit、二元Tobit离散选择模型的估计、检验、以及相关图表的刻画。通过本章非线性模型的转化、处理及应用，提升学生应用二元离散选择模型解决实际问题的能力。第一节非线性方程模型的分类第二节二元离散选择模型第三节二元Logistic离散选择模型及其参数估计第四节二元Probit离散选择模型及其参数估计第五节二元Tobit离散选择模型及其参数估计第六节二元离散选择模型系数的经济含义

一、可直接线性化的非线性模型

（一）倒数模型只要令则有即为标准的线性模型。第一节非线性方程模型的分类

（二）k阶多项式模型多项式模型只要令则有即为标准的线性模型。

（三）半对数模型指数模型只要令则有

对数函数模型只要令则有都为标准的线性模型。

（四）双对数模型原始模型为只要令则有即为标准的线性模型。

二、不可直接线性化的非线性模型（一）可间接线性化的模型

1、著名的Cobb-Douglas生产函数模型原始模型为将模型两边同时取对数得即为标准的线性模型。

2、Logistic模型原始模型为由上式可知将模型相除并移项整理得方程两边均大于零，两边同时取对数并整理得再用前面所述的方法进行变量代换。

（二）不可线性化的模型

1、Taylor级数展开法著名的不变替代弹性CES生产函数模型为将模型两边同时取对数并整理得仅仅借助前面方法是无法线性化采用Taylor级数展开法，将其在处进行Taylor级数展开

2、非线性最小二乘法（NLS）

NLS是针对不可线性化的非线性模型常用的参数估计方法，其原理是求得的估计值，使得：在则称为处达到最小。参数的非线性最小二乘估计值。

NLS通常先给出参数的初值，利用迭代法求得参数的估计值。NLS在Eviews软件中的操作：可以在工作文件窗口中点击序列C；再在弹出的序列窗口中直接输入参数初始值，如图6-1所示。

在方程描述窗口中输入非线性方程的具体形式，函数表达式中的参数用表示，如图6-2所示。

一、二元离散选择模型的经济背景实际经济生活中，人们经常遇到二元选择问题。对某种商品（家用汽车）的购买决策问题取决于两类因素：一类是该商品本身的属性，诸如性价比、外观设计、节能环保等等；另一类是消费者本身所具有的属性，诸如消费者偏好、收入水平、学历背景等等。

第二节二元离散选择模型又如，公共交通工具与私人交通工具的选择问题取决于两类因素：一类是公共交通工具与私人交通工具所具有的属性，诸如速度、耗费时间、成本等；一类是决策个体所具有的属性，诸如职业、年龄、收入水平、健康状况等。

二元选择模型在我们的经济生活中是大量存在的。

二、线性概率模型及二元选择模型的形式线性概率模型的回归形式为：

式中：N为样本容量；k是解释变量个数；Xji为第j个个体特征的取值；ui为相互独立且均值为0随机扰动项。

设Yi表示取值为0和1的离散型随机变量令那么于是

又因为所以从而有下面的等式

只有当的取值在（0,1）之间时才成立

否则就会产生矛盾，而在实际应用时很可能超出这个范围。

因此，线性概率模型常常写成下面的形式

扰动项的方差为或由此可以看出，误差项具有方差性。异方差是的参数估计不再是有效的，修正异方差的一个方法就是使用加权最小二乘估计。但是加权最小二乘法无法保证预测值

在（0,1）之内，基于这

个问题，我们考虑对线性概率模型进行一些变换。

假设有一个未被观察到的潜在变量，它与Xi之间具有线性关系，即Yi和的关系为：则

式中：F是ui*的分布函数，要求它是一个连续函数，并且是单调递增的。因此，原始的回归模型可以看成如下的一个回归模型

根据分布函数F的不同，二元选择模型可以有不同的类型，常用的二元选择模型如下表所示。对应的分布分布函数F

相应的二元选择模型标准正态分布Probit模型逻辑分布Logit模型极值分布Extreme模型

三、二元选择模型的估计问题

除了线性概率模型，二元选择模型一般采用极大似然估计。似然函数为即对数似然函数为:

对数似然函数的一阶条件为

式中fi表示概率密度函数。那么如果已知分布函数和密度函数的表达式及样本值，求解该方程组，就可以得到参数的极大似然估计量。

二元选择模型中估计的系数不能解释成对应变量的边际影响，只能从符号上判断。如果为正，表明解释变量越大，应变量取1的概率越大；反之，如果系数为负，表明相应的概率越小。

四、二元选择模型的假设检验问题

对于二元选择模型，与经典模型中采用的变量显著性t检验类似，可以通过极大似然估计时给出的z统计量检验系数的显著性。

另外，还可以利用Wald统计量、LR统计量（最大似然比）和LM统计量（拉格朗日乘子）对模型进行检验。

零假设为备择假设为

式中X1是保留的变量向量；

X2是省略的变量向量。用于检验的统计量为Wald统计量、LR统计量（最大似然比）和LM统计量（拉格朗日乘子），具体计算方法如下：

式中：

的渐近协方差矩阵记为

式中：分别为H0情形和

H1情形下的似然函数值的估计量。

式中：G0是H1情形下的对数似然函数对参数估计量的一阶导数向量，用H0情形下的极大似然参数估计量代入计算;V0是H1情形下参数极大似然估计量的方差矩阵估计量。

上述3个统计量服从分布，自由度为中的变量数目。给定显著性水平，查分布临界值分布，与计算得到的实际统计量值进行比较，如果，拒绝，接受。一、Logistic回归概述Logistic分布函数是构建二元选择模型时常用的分布函数。Logistic分布函数的具体形式为

用Logistic分布函数描述与Xi的非线性关系可以基于如下的分析，仍以家用汽车的购买为例展开讨论。

第三节二元Logistic离散选择模型及其参数估计

假设理论上存在一个与家庭年收入X有关的连续型指标变量Yi*

其中随机误差项ui相互独立，且服从Logistic分布这里可将Yi*设想为某种可连续量化的家庭购买汽车的愿望。假设当

Yi*>0（愿望超过一定的程度）时,家庭就会购买汽车。引入离散变量Yi，其定义为：

显然，Yi能够用于表示一个家庭是否购买汽车的二分类变量。由上面设置知

于是与Xi的非线性关系为：

（7-23）

即与Xi的非线性关系可以用Logistic分布函数来表示。

方程(7-23)

称为单变量Logistic回归。

更一般地，若Y为二分类变量，且模型有多个解释变量，则有多变量Logistic回归，其形式为：

其中

若令

则方程(7-23)可以转化为

即

（7-24）方程(7-24)称为单变量Logit模型。

类似地，多变量Logistic回归也可以写成多元Logit模型的形式单变量Logit模型和多变量Logit模型也可以转换为相应的Logistic回归形式。Logistic回归与普通线性回归模型的区别

：

（1）模型不同。

（2）研究对象不同。

（3）经典假定满足与否不同。

（4）样本数据的要求不同。

二、Logistic回归模型估计（一）随机样本下Logistic回归的参数估计

假设有N个样本数(Yi,Xi)

，记由于样本是随机抽取，在给定Xi的条件下，观测值Y取0、取1的概率分别为

在给定Xi的条件下，观测值的条件概率分布为

对应于N个样本数据，其对数似然函数为

模型参数的极大似然估计，就是选择使对数似然函数达到最大时的的值作为Logistic回归的参数估计值。

根据微积分知识知，极大似然估计值可以从以下方程组中得到：在计量经济学软件Eviews中，可以直接给出Logistic回归参数的极大似然估计值。

Logistic回归参数的极大似然估计值有如下性质（1）极大似然估计为一致估计，当样本容量很大时，模型的参数估计值将比较接近真值;

（2）极大似然估计为渐进有效的，当样本容量增大时,参数估计的方差相对缩小,当样本容量时，极大似然的方差不大于用其它方法得到的参数估计的方差;

（3）极大似然估计为渐进正态的，当样本容量较大时，可以采用正态假设来构造模型参数的显著性检验与估计参数的置信区间等。由于超大样本条件下具有渐进正态分布，因此

渐进服从标准正态分布，其中是的标准误差，对于给定的显著性水平,参数

的的置信区间为:（二）Logistic回归的拟合优度检验

期望-预测表检验法

拟合优度检验原理：模型参数估计后，选取适当的截断值将观测数据分二组：

归入第1组

归入第2组其中

如果样本中的一个观测值数据的Y取值为0,并且该样本属于第1组，或者一个观测值数据的Y

取值为1，并且该样本属于第2组，就称这个观测数据的分组是恰当的，否则就是不恰当的。如果模型估计与实际观测数据比较一致，则大多数的观测数据的分组是恰当的。

如果分组不恰当的观测数据所占的比重很大，模型估计与实际观测数据的拟合程度就较差，模型就需要调整。因此，就可以利用分组恰当的观测数据占总样本的比例来检验模型的拟合优度，这种检验方法称为期望-预测表检验。单一解释变量X、多变量Xi的Probit过程的具体形式分别为

（7-27）其中，分别为标准正态分布的分布函数与密度函数。。第四节二元Probit离散选择模型及其参数估计对Probit过程的参数估计同样采用极大似然估计法，

因此在构建Probit过程时要求样本采取随机抽取方

式抽取，即要求样本分布与总体分布具有同一性。对N个样本数据，模型(7-27)的对数似然函

模型参数的极大似然估计就是选择使对数函数达到最大时的的值。

数为：一、Tobit离散选择模型的现实背景—受限因变量问题

截尾是指“掐头”或者“去尾”。

删失含义是指没有观测值从样本中被系统地删除，但样本中的一些信息被系统地抑制了。

第五节二元Tobit离散选择模型及其参数估计

例：某城市共有20万户居民，现以该城市居民对于联排别墅的需求为因变量，建立需求函数模型。在抽取样本时，仅在家庭年消费支出在10万元（人民币）以上或者年收入在40万元（人民币）以上的家庭中随机抽取，这就是典型的截尾问题，因为不满足条件的全部被排除在样本之外；

如果以随机方式在全体市民中抽取样本，但出于抽样人力和物力成本原因，家庭年消费支出在5万元人民币）以下的家庭用5万元代替，年收入在10万元（人民币）以下则用10万元代替，这就是典型的删失问题，因为因变量中，家庭年消费支出5万元的观测值同时代表了家庭年消费支出实际为5万元和小于5万元的家庭，或者家庭年收入在10万元的观测值同时代表了年收入实际为10万元和小于10万元的家庭。二、Tobit离散选择模型删失回归模型—Tobit模型

：（7-29）

这个模型在形式上与普通回归模型一样，不同的是模型中的应变量是删失的。引入指标变量，建立的相应回归模型如下：

（7-30）其中，为比例参数，与一样，也是待估的参数。（7-30）引进的目的是将Y的似然函数表达出来，的意义实际上是模型(7-29)中残差的标准差。

删失变量与指标变量的对应关系为这样的删失模型为称为规范的删失模型，或者Tobit模型。

在Tobit模型中，Y与的关系也可表示为

在一般的删失回归模型中，Y与也可能存在其它的回归关系，如

（7-32）其中，

分为实现确定的左右临界点。如果没有左临界点，可以认为：

如果没有右临界点，可以认为：

对于Tobit模型，

假设残差项ui满足独立同分布条件，分布函数为F(X)

。若令

则对