第十四章 平面体系的几何组成分析

江苏建筑职业技术学院建工学院

王培兴

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QQ:1461858632第十三章平面杆件体系的几何组成分析第十三章平面杆件体系的几何组成分析本章内容在课程中的地位※前面已经学习的内容：☆静力学的受力分析问题；☆简单平面力系的合成（简化）与平衡问题；☆构件的计算问题（拉压、扭转、剪切、弯曲受力时的内力、应力、变形、强度、刚度）；☆组合变形及压杆稳定的计算。※后面还要学习的内容：☆静定结构的计算问题（内力、应力、变形）☆超结构的计算问题※本章起衔接的作用：为结构计算作准备第十三章平面杆件体系的几何组成分析本章学习目标（4点）1、了解进行平面体系的几何组成分析的目的；2、掌握体系的自由度的概念及计算，理解自由度的意义；3、理解几何不变体系的组成规则，熟练掌握应用；4、了解静定与超静定的概念。13.1几何组成分析的目的一、认识三个体系1、几何不变体系：体系受外力作用以后，会产生变形。如果不考虑材料应变（弹性变形），体系的形状与位置均能保持不变，这样的体系称为几何不变体系。13.1几何组成分析的目的2、几何可变体系：体系受外力作用以后，会产生变形。在不考虑材料应变（弹性变形）的条件下，体系的形状或者位置仍然可变，这样的体系称为几何可变体系。（实际上是机构）13.1几何组成分析的目的3、几何瞬变体系：体系受外力作用以后，产生瞬间微小变形(运动)。然后，体系的形状或者位置即不再改变，这样的体系称为几何瞬变体系。注意：瞬变体系危险。思考：为什么？13.1几何组成分析的目的在图示体系中，在荷载F作用下，铰C向下发生一微小位移而到达C/位置。研究C/点的平衡，列出平衡方程：13.1几何组成分析的目的二、进行平面体系几何组成分析的目的1、通过平面体系的几何组成分析，判断体系是否几何不变，从而决定能否作为工程结构使用（只有几何不变体系才能用作结构）2、研究掌握几何不变体系的组成规则，以便合理布置构件，做到既安全又经济；3、判断体系是否超静定，以便选择相应的计算方法。不同的体系，有不同的计算方法。13.1几何组成分析的目的三、进行平面体系几何组成分析的途径：可以通过两条1.通过计算平面体系的自由度目的：确定平面杆件体系是否具备几何不变的必要条件；(非充分条件！)2.对照平面体系的几何组成规则目的：判定平面杆件体系是否几何不变13.2自由度与约束一、自由度1、刚片的概念：在平面范围内，能够保持几何形状不变的物体。具体说：在工程上，如某一根杆件，建筑物的基础（整体），体系中某一个几何不变的部分等等，当它们的几何形状不变时，都可以认为是刚片。13.2自由度与约束2、自由度的概念：当点（刚片、体系）在平面内运动时，为确定其运动位置所需要的独立的几何参变数。（1）点在平面内的自由度：为了确定点在平面内的运动位置，需要2个参数，所以，点在平面内的自由度等于213.2自由度与约束（2）刚片在平面内的自由度：为了确定刚片在平面内的运动位置，需要3个参数，所以，刚片在平面内的自由度等于3思考：在日常生活中，挂一幅相片(比如结婚照)，如何确定位置？13.2自由度与约束二、约束及其作用1.约束：限制运动，减少（体系）自由度的装置。2.约束的形式：有链杆、单铰、复铰、支座等形式（1）链杆：限制了被联系的两个物体之间沿链杆方向的相对移动（平动）。体系原来是两个独立刚片，合计有6个自由度用链杆联系后，用5个参数就可以确定其位置，即少了1自由度。所以（每根链杆）减少1个自由度13.2自由度与约束（2）单铰：联系两个物体的铰限制了被联系的两个物体之间的相对移动（水平方向、竖直方向）。体系原来是两个独立刚片，有6个自由度用单铰联系后，用4个参数就可以确定其位置，少了2自由度。因此，（每个单铰）减少2个自由度；13.2自由度与约束（3）复铰：指联系三个及以上刚片的铰一个联系n个刚片的复铰，其作用与（n-1）个单铰相同，减少2(n-1)个自由度。（可以用n=3，4，5体会）所以，联系n个刚片的复铰可以用（n-1）个单铰替代13.2自由度与约束有时候，貌似同样的杆件，其连接其实完全不一样，在这里，必须要分清杆件之间到底是如何连接的。如图a，就是四根杆件用一个复铰相连，相当于3个单铰；图b，是三根杆件用一个复铰相连，相当于2个单铰；而图c则是两根杆件用1个单铰相连。13.2自由度与约束3、支座的作用：所谓支座，是将上部体系与下部支承物相连接的装置。其作用可以根据限制了上部体系运动数目的不同，折算成相应的支座链杆根数。（1）可动铰支座：能限制上部物体的1种运动方式（沿链杆方向的移动），折算成1根支座链杆。13.2自由度与约束（2）固定铰支座能限制上部物体的2种运动方式（水平、竖向移动），折算成2根支座链杆。13.2自由度与约束（3）固定支座：能限制上部物体的所有3种运动方式（水平、竖向移动及转动），当然折算成3根支座链杆。13.2自由度与约束三、体系的计算自由度（分两种体系）1.一般体系有m个刚片，用h个单铰（包括由复铰换算的单铰）相连，再用r根支座链杆与支承物基础相连，其计算自由度W

W=3m-2h-r

2.特殊体系（链杆体系）有j个结点，用b根链杆相连，再用r根支座链杆与支承物基础相连，其计算自由度W

W=2j-b-r

注：一般体系公式通用，链杆体系公式特殊（专用）13.2自由度与约束3.关于体系的内部计算自由度有时候，如果不考虑体系与地基基础的联系，只考虑其本身是否几何不变，即所谓研究体系的内部自由度。在前面已经确定，刚片在平面内的自由度等于3，一个内部几何不变的物体，实际上相当于一个刚片。因此，体系的内部计算自由度可以按照下式计算W=3m-2h–3W=2j-b-313.2自由度与约束例1：求图示体系的计算自由度。解：该体系是链杆体系，可以用链杆体系的公式计算在本体系中，j=8，b=12，r=4所以，W=2j–b–r=2×8–12–4=0若按照一般体系对待，则m=12，h=16，r=4所以，W=3m–2h–r=3×12–2×16–4=0因此，对链杆体系，既可按链杆体系计算，也可以按一般体系计算，两者结果相同。但是，用链杆体系公式较计算稍简单些。13.2自由度与约束在本例中，若保持其它条件不变，而随便去除某一根支座链杆，使r=3则就有：j=8，b=12，r=3所以，W=2j–b–r=2×8–12–3=113.2自由度与约束例2：求图示体系的计算自由度。解：该体系是链杆体系，因此用链杆体系的公式计算由于其j=9,b=13,r=5所以：W=2j–b–r=2×9–

13–

5=013.2自由度与约束例3：求图示体系的计算自由度。解：该体系为一般体系其m=9,h=13,r=3所以：W=3m–2h–r=3×9–

2×13–

3=–

2本例若将上面斜杆中间节点误看成铰节点得到W=2j–b–r=2×7–

11–

3=0（错误）13.2自由度与约束四、体系计算自由度结果的意义一般情况下，体系的计算自由度，可能有三种结果：1.W＞0

体系有自由，表示体系尚需要再添加约束条件，才能几何不变。所以自由度W＞0的体系是几何可变体系。13.2自由度与约束2.W=0

体系没有自由，表示体系已经具备几何不变的必要条件，体系可能为几何不变，但是不一定就是几何不变。因为即使体系的计算自由度W

=0，如果其组成不合理，仍然可能是几何可变的。13.2自由度与约束3.W＜0

表示体系已经具备几何不变的必要条件，且存在多余约束，体系可能为几何不变，但仍然不一定就是几何不变。因为即使体系的自由度W＜0，如果其组成不合理，仍然可能是几何可变的。∴W≤0只是体系几何不变的必要条件因此，要对体系的几何组成进行分析，确定其是否几何不变，还要通过其他的途径。13.2自由度与约束【注】关于多余约束

所谓多余约束，是指减少了体系的计算自由度，但是不减少体系的自由度，对体系的几何组成结论没有影响的约束。如图a所示，平面内一个点A有两个自由度，如果用两根不共线的链杆将点A与基础相连接，则点A减少两个自由度，即被固定；在图b中，如果再增加一根不共线的链杆将点A与基础相连接，实际上仍只减少两个自由度。因此，这三根链杆中有一根是多余约束。

13.2自由度与约束【多余约束】又如在图a中，刚片I通过两根竖直的链杆1和2与地基连接后，仍能在水平方向发生移动，体系的自由度为1；在图b中，如果在体系中再加进一根竖直的链杆3，刚片仍能发生水平移动，体系的自由度仍为1（但是，体系的计算自由度=0）。因此，链杆1、链杆2或链杆3三根链杆之中，有一根是多余约束。13.3几何不变体系的组成规则预备知识：介绍两个概念1.虚铰的概念两个刚片如果用两根链杆连接，该两根链杆的作用与一个位于两杆（延长线）交点O的一个铰的作用完全相同。（相当于一个铰）13.3几何不变体系的组成规则刚片I和刚片Ⅱ之间由两根链杆连接，两根链杆的延长线交于0点。当暂设刚片Ⅱ静止不动时，刚片I相对于刚片Ⅱ可以产生运动。但是，刚片I上的A点只能绕着点C在与AC垂直的方向上发生运动；同样的分析可知刚片I上的B点将绕着点D在与BD垂直的方向上发生运动。由于A、B两点同在刚片I上，因此，刚片I只能以O为瞬时转动中心进行转动，它只有1个自由度。经过一微小位移后，AC和BD延长线的交点O的位置也就发生了改变，O点事实上起到了一个铰的作用，而其运动是对瞬时而言的，所以把这种铰称为虚铰或瞬铰。虚铰只是相当于实铰而言，其对物体限制运动方面的作用，与实铰是相当的。13.3几何不变体系的组成规则当刚片I和刚片Ⅱ之间连接的两根链杆位置发生变化时，虚铰还有另外三种情况，如图a、b、c所示。13.3几何不变体系的组成规则2.二元体如图所示，在某物体W（几何不变或者几何可变）上，用不在一条直线上的两根链杆连接一个新结点的装置，称为二元体。在这里，要强调两根链杆，不在一条直线上。13.3几何不变体系的组成规则二、几何不变体系的组成规则1．三刚片规则如图所示，平面内三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，组成的体系几何不变，且无多余约束。13.3几何不变体系的组成规则2．两刚片规则如图所示，平面内两刚片用一根链杆及一个不在链杆延长线上的铰相连接，组成的体系几何不变，且无多余约束。13.3几何不变体系的组成规则3．二元体规则如图所示，如果下部的物体W原来是几何不变的，则不论在其上面增加一个二元体，或者撤除一个二元体，都仍然是几何不变的；反过来，如果下部的物体W原来是几何可变的，则不论在其上面增加一个二元体，或者撤除一个二元体，都仍然是几何可变的。归纳起来，二元体规则可以表述为：增减二元体，不会改变原体系的几何组成特性。13.3几何不变体系的组成规则三、对规则的解读1．对三刚片规则的解读（1）如图所示，如果连接三个刚片的三个铰在同一条直线上，体系为几何瞬变体系。因此，要求连接三刚片的三个铰不共线。13.3几何不变体系的组成规则1．对三刚片规则的解读（2）由于虚铰对物体在限制运动方面的作用，相当于实铰，所以在三刚片规则中，可以用虚铰来替代实铰，如图所示。因此，平面内三刚片用不在同一直线上的三个虚铰两两相连，组成的体系几何不变，且无多余约束。在这里，替代的虚铰也可以是一个或者两个，只要保证三个铰不在同一条直线上即可。

13.3几何不变体系的组成规则2．对二刚片规则的解读（1）同理可得，如图所示，如果用两根链杆构成的虚铰来替代不在链杆延长线上的铰，规则应该仍然成立。但是，为了使两根链杆构成的虚铰不在链杆的延长线上，应保证三根链杆不完全交于一点也不完全平行。13.3几何不变体系的组成规则2．对二刚片规则的解读（2）如图a、b所示，三根链杆（或链杆的延长线）完全交于一点，体系为几何可变，其中图a为几何常变，图b为几何瞬变；如图c、d所示，三根链杆完全平行，体系为几何可变，其中图c为几何常变，图d为几何瞬变。所以，两刚片规则又可以描述为，平面内两刚片用不完全交于一点也不完全平行的三根链杆相连接，组成的体系几何不变，且无多余约束。13.3几何不变体系的组成规则3．对三刚片规则的再解读

在平面内三刚片用虚铰代替实铰的连接中，由于虚铰可能是由平行链杆所构成，使其位置在无穷远处，所以又可以有三种演变。13.3几何不变体系的组成规则（1）一个虚铰由平行链杆所构成，位置在无穷远处。如图所示，刚片Ⅰ、刚片Ⅱ、刚片Ⅲ三个刚片用三个铰两两相连接。其中一个铰为由平行链杆所构成的虚铰，为了方便判别，另外两个铰为实铰。对该体系，只需要将刚片Ⅰ用一根链杆来替代，就将三刚片体系演变为两刚片体系，显然，如果替代的链杆与上面构成虚铰的平行链杆不平行，如图a所示，体系（满足两刚片规则）是几何不变的；反过来，如果替代的链杆与上面构成虚铰的平行链杆也平行，如图b所示，则体系（不满足两刚片规则）是几何可变的。

13.3几何不变体系的组成规则（2）两个虚铰由平行链杆所构成，位置在无穷远处。如图所示，刚片Ⅰ、刚片Ⅱ、刚片Ⅲ三个刚片用三个铰两两相连接。其中两个铰为由平行链杆所构成的虚铰，为了方便判别，另外一个铰为实铰。此时，我们只需对比构成虚铰的两对平行链杆之间的关系，如果两对平行链杆之间互不平行，如图a所示，体系是几何不变的；如果两对平行链杆之间互相平行，如图b所示，体系是几何可变的。13.3几何不变体系的组成规则（3）三个虚铰由平行链杆所构成，位置都在无穷远处。如图所示，刚片Ⅰ、刚片Ⅱ、刚片Ⅲ三个刚片用三个位置都在无穷远处的虚铰两两相连接，此时，直接判定体系为几何可变。13.3几何不变体系的组成规则4.推论：基本铰接△规律（1）基本铰接△三根链杆用三个铰两两相连而成的△（2）基本铰接△规律：基本铰接△是几何不变的13.3几何不变体系的组成规则显然，若把三根链杆全部看成是刚片，基本铰接△满足三刚片规则；若把其中两根链杆看成是刚片，基本铰接△满足两刚片规则；若把其中一根链杆看成是刚片，基本铰接△满足二元体规则。所以规律成立。今后可以直接看作为刚片13.4几何组成分析示例一、基本要求熟悉、理解几何不变体系的三个组成规则，特别是三刚片规则与两刚片规则的几种演变情况。二、进行平面体系几何组成分析的主要步骤；（主要可分为三步）1.寻找刚片（刚片的命名）

：可以将体系中的一根杆件、某一不变部分、铰接△等设为刚片；2.寻找刚片之间的联系：用哪个铰、哪些链杆等；3.对照规则进行判断：满足哪个规则或是符合规则的特殊情况。13.4几何组成分析示例三、在体系进行分析前（过程中）可以考虑以下措施1.运用二元体规则，（连续）撤除二元体，减少杆件数目，杆件（刚片）少，便于分析；2.根据基本铰接△规律，一般将体系中的铰接△视为刚片，并可（运用二元体规则）进一步进行扩大，通过扩大刚片，将整个原体系分为若干刚片，然后分析这些刚片之间的联系。3.如果支座是简支（只有三根支座链杆），可以只分析上部。（即上部不变整体不变，上部可变整体可变）。反过来，如果支座不是简支（超过三根支座链杆），则一般应从基础开始进行分析。13.4几何组成分析示例例4.试对图示体系进行几何组成分析。13.4几何组成分析示例分析:(1)本体系有六根支座链杆，应与基础一起作为一个整体来考虑。先选取基础为刚片，杆AB作为另一刚片，该两刚片由三根链杆相连，符合两刚片连接规则，组成一个大的刚片，称为刚片Ⅰ。13.4几何组成分析示例(2)再取杆CD为刚片Ⅱ，它与刚片Ⅰ之间用杆BC（链杆）和两根支座链杆相连，符合两刚片连接规则，组成一个更大的刚片。13.4几何组成分析示例(3)最后将杆DE作为一个刚片Ⅲ和，则刚片Ⅲ与上面的大刚片用铰D和E处的一根支座链杆相连接，满足两刚片规则，组成整个体系。因此，整个体系是无多余约束的几何不变体系。13.4几何组成分析示例例5.试对图示体系进行几何组成分析。分析：该体系与基础用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，符合两刚片连接规则，可先撤去这些支座链杆，只分析体系内部的几何组成。任选铰结三角形，例如ABC作为刚片，依次增加二元体B-D-C、B-E-D、D-F-E和E-G-F，根据二元体规则，上部体系是几何不变的，不变的上部体系与与基础用不全交于一点也不全平行的三根链杆相连，符合两刚片连接规则，所以整个体系几何不变，且无多余约束。13.4几何组成分析示例例6.试对图示体系进行几何组成分析。13.4几何组成分析示例分析：该体系有四根支座链杆，所以应从基础开始进行分析。根据加减二元体规则，仿照上例的分析方法，可将左半部的ABD部分作为刚片Ⅰ，右半部的BCE部分作为刚片Ⅱ，再将基础作为刚片Ⅲ。则刚片Ⅰ与刚片Ⅱ由实铰B相连，刚片Ⅰ与刚片Ⅲ由两根链杆（组成虚铰O1）相连，刚片Ⅱ与刚片Ⅲ由两根链杆（组成虚铰O2

）相连。由于三个铰B、O1、O2恰在同一直线上，故体系为瞬变体系。如果三个铰B、O1、O2不在同一直线上，则体系为无多余约束的几何不变体系。13.4几何组成分析示例例7.试对图示体系进行几何组成分析。分析：该体系有四根支座链杆，应先从基础开始进行分析。以基础为刚片，杆AB为另一刚片，该二刚片由A处固定铰支座的两根链杆和B处可动铰支座的一根链杆共三根链杆相连，符合二刚片连接规则，组成一个大的刚片。然后增加由杆AD和D处支座链杆组成的二元体，再增加由杆CD和杆CB组成的二元体，这样就形成一个更大的刚片，设为刚片Ⅰ。再选取铰结三角形EFG为刚片，增加由杆EH和杆GH组成的二元体，形成刚片Ⅱ。刚片Ⅰ与刚片Ⅱ之间由四根链杆相连，但不管选择其中哪三根链杆，它们都相交于一点O，因此该体系虽然多余一根链杆约束，但是由于内部杆件组成不合理，仍然为几何瞬变体系。13.4几何组成分析示例例8.试对图示体系进行几何组成分析。分析：该体系将地基(包括固定铰支座A)看成刚片Ⅰ，△CBE和链杆DF分别看成刚片Ⅱ和刚片Ⅲ。刚片I和Ⅱ之间的链杆2和3延长相交可构成铰B，I和Ⅲ之间的链杆1和4延长相交可构成铰G，II和Ⅲ之间的链杆5和6延长相交可构成铰H。B、G、H三铰不共线。因此，该体系为几何不变体系，且无多余约束。13.4几何组成分析示例例9.试对图示体系进行几何组成分析。分析：该体系有六根支座链杆，应从基础开始进行组成分析。先选取基础为一刚片，杆AD和杆BD为另两个刚片，此三个刚片由铰A、B、D相连，符合三刚片连接规则，使该局部为几何不变，可作为刚片Ⅰ；再选取杆CD为刚片Ⅱ，则刚片Ⅰ和刚片Ⅱ之间由铰D和C处一根支座链杆相连，就可以满足两刚片连接规则，而C处有两根支座链杆，尚多余一根链杆。故整个体系为几何不变体系，且有一个多余约束。13.4几何组成分析示例通过分析上面例子，对体系的计算自由度进行再讨论（1）对计算自由度W＞0的体系，一般其计算自由度与其自由度是相同的，体系是几何可变的；如图体系，其计算自由度W=1，分析可知，其为几何可变体系，能产生一种运动可能。13.4几何组成分析示例（2）对计算自由度W=0的体系如果组成合理，是几何不变体系，则其计算自由度与其自由度是相同的；如果组成不