2025年沪科版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高一数学下册阶段测试试卷121考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、集合M={α|}与N={α|}之间的关系是（）

A.M⊆N

B.N⊆M

C.M=N

D.M∩N=∅

2、数列{an+1-an}是一个首项为2，公差为2的等差数列，a1=1，若43＜am＜73；则m=（）

A.6

B.7

C.8

D.9

3、函数的图象是（）4、函数的定义域是（－∞，1）∪[2,5），则其值域是（）A.B.（－∞，2]C.D.（0，＋∞）5、设函数仅有一个负零点，则m的取值范围为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6、【题文】如图，已知正方体的棱长为长为的线段的一个端点在棱上运动，点在正方形内运动，则中点的轨迹的面积为（）

A.B.C.D.7、若则下列结论正确的是（）A.B.C.D.8、如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y=ax（a＞0；且a≠1），经过点E，B，则a=（）

A.B.C.2D.39、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A.B.2C.D.评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、已知点在圆外，则实数的取值范围是____。11、向面积为S的△ABC内任投一点P，则随机事件“△PBC的面积大于”的概率为____．12、在三角形ABC中，a=1，b=2，角C=120°，则c=____．13、对于函数＝给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于(k∈Z)对称；④当且仅当(k∈Z)时，0＜≤其中正确命题的序号是____________(请将所有正确命题的序号都填上)14、【题文】函数的零点个数是________．15、【题文】若则集合的子集有______个.16、【题文】如图，A,B是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于A,B点，是这两个圆的公共点，则圆弧与线段围成图形面积的取值范围是____

17、数列：的一个通项公式为____________．18、关于函数f(x)=4sin(2x+娄脨3)(x隆脢R)

有下列命题：

(1)y=f(x)

是以2娄脨

为最小正周期的周期函数；

(2)y=f(x)

可改写为y=4cos(2x鈭�娄脨6)

(3)y=f(x)

的图象关于(鈭�娄脨6,0)

对称；

(4)y=f(x)

的图象关于直线x=鈭�娄脨6

对称；

其中真命题的序号为______．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)19、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．20、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．21、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．23、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．24、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分四、作图题(共1题，共4分)25、作出函数y=的图象．评卷人得分五、解答题(共2题，共10分)26、用五点法作函数的一个周期简图；并求使函数取得最大值的自变量x的集合．

27、【题文】已知函数

（Ⅰ）当时，讨论的单调性；

（Ⅱ）设时，若对任意存在使求实数的取值范围.评卷人得分六、综合题(共4题，共12分)28、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．29、如图，已知P为∠AOB的边OA上的一点，以P为顶点的∠MPN的两边分别交射线OB于M、N两点，且∠MPN=∠AOB=α（α为锐角）．当∠MPN以点P为旋转中心，PM边与PO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MPN保持不变）时，M、N两点在射线OB上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面积为S．若sinα=；OP=2．

（1）当∠MPN旋转30°（即∠OPM=30°）时；求点N移动的距离；

（2）求证：△OPN∽△PMN；

（3）写出y与x之间的关系式；

（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．30、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（1；-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）试判断抛物线上是否存在一点P；使∠POM=90°．若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

（3）试判断抛物线上是否存在一点K，使∠OMK=90°，若不存在，说明理由；若存在，求出K点的坐标．31、如图，直线y=-x+b与两坐标轴分别相交于A；B两点；以OB为直径作⊙C交AB于D，DC的延长线交x轴于E．

（1）写出A、B两点的坐标（用含b的代数式表示）；并求tanA的值；

（2）如果AD=4，求b的值；

（3）求证：△EOD∽△EDA，并在（2）的情形下，求出点E的坐标．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】

对应集合M，．因为N={α|}；

所以M⊆N．

故选A．

【解析】【答案】分别判断两个集合元素的关系；然后判断集合的关系．

2、C【分析】

∵{an+1-an}是等差数列；首项为2，公差为2

∴an+1-an=2+（n-1）×2=2n

当n≥2时；

a2-a1=2

a3-a2=4

an-an-1=2（n-1）

将上面n-1个等式两边相加：

an-a1=2+4++2（n-1）=n2-n

又a1=1

∴an=n2；-n+1（n∈N*）

∵43＜am＜73m∈N*

∴7＜m＜9

∴m=8

故选：C．

【解析】【答案】先由等差数列求得an+1-an=2n，然后叠加求an；再解不等式即可．

3、C【分析】试题分析：的图像应选C.考点：函数的图像.【解析】【答案】C.4、A【分析】试题分析：由于函数在区间（-∞，1）和区间[2，5）上单调递减，当x∈（-∞，1）时y∈（-∞，0），当x∈[2，5）时故选A.考点：函数的值域．【解析】【答案】A5、D【分析】试题分析：令即（I）当时，解得符合题意；（II）当时，当即时，解得符合题意；当即时，此时两根为一正一负或者一负一零，所以解得综上所述，的取值范围为或所以答案选考点：1.函数的零点；2.二次函数性质与应用.【解析】【答案】D6、D【分析】【解析】本试题主要是考查了立体几何中点的轨迹的求解问题。

如图可得；端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点；

由ND；DM，MN构成一个直角三角形；

设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得,不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面积,所以答案为故选D.

解决该试题的关键是根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得，不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1。【解析】【答案】D7、C【分析】【解答】指数函数、对数函数的底数大于1时,函数为增函数,反之,为减函数，对于幂函数而言，当时，在上递增，当时，在上递减，而所以故选C.8、A【分析】【解答】解：设点E（t，at），则点B坐标为（2t，2at）；

又因为2at=a2t；

所以at=2；

因为平行四边形OABC的面积=OC×AC=at×2t=4t；又平行四边形OABC的面积为8

所以4t=8；t=2；

所以．

故选：A．

【分析】首先设点E（t，at），则点B坐标为（2t，2at），又因为2at=a2t，所以at=2；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入at=2，求出a的值即可．9、A【分析】【解答】因为正三角形边长a与其外接圆半径r的关系是r=所以圆心角的弧度数选A。二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】【解析】试题分析：因为，点在圆外，所以，解得，m>1或故实数的取值范围是或考点：二元二次方程表示圆的条件，点与圆的位置关系。【解析】【答案】或11、略

【分析】

记事件A={△PBC的面积大于}；

基本事件空间是三角形ABC的面积；（如图）

事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（D；E分别是三角形的边上的三等分点）；

因为△ADE∽△ABC，且相似比为

∴=

∴阴影部分的面积是整个三角形面积的

所以P（A）==．

故答案为：．

【解析】【答案】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率；即可考虑画图求解的方法，然后根据图形分析出基本的事件空间与事件的几何度量是什么．再根据几何关系求解出它们的比例即可．

12、略

【分析】

根据余弦定理；

c2=a2+b2-2abcosC

=1+4+2×1×2×=7

∴c=

故答案为：．

【解析】【答案】根据余弦定理；直接代入求解．

13、略

【分析】【解析】试题分析：画出函数的图象可知该函数是以为最小正周期的周期函数，当(k∈Z)或(k∈Z)时，该函数取得最小值－1，所以①②均不正确.考点：本小题主要考查分段函数图象的画法和三角函数的图象和性质的应用，考查学生数形结合思想的应用.【解析】【答案】③④14、略

【分析】【解析】

试题分析：分别画出函数的图象；可以看出两个函数图象有两个交点，所以该函数有2个零点.

考点：本小题主要考查函数零点个数的判断；考查学生数形结合思想的应用.

点评：当一个函数表达式中含有两个以上函数类型时，一般转化为求函数图象交点个数问题，需要借助基本函数尽量准确的画出函数图象.【解析】【答案】215、略

【分析】【解析】

试题分析：所以故集合的子集有

考点：集合的子集，特殊角的三角函数值.【解析】【答案】16.16、略

【分析】【解析】如图，当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，∴随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，当C到直线l的距离d→0时，S→0，∴【解析】【答案】17、略

【分析】解：观察数列可知分母为以项数与项数加1的乘积的形式的数列；分母是常数1的数列，各项的符号正负相间；

故可得数列的通项公式an=(n∈Z*)；

故答案为：．【解析】18、略

【分析】解：函数f(x)=4sin(2x+娄脨3)

隆脿T=2娄脨2=娄脨

故(1)

不正确；

隆脽f(x)=4sin(2x+娄脨3)=4cos(娄脨2鈭�2x鈭�娄脨3)=4cos(2x鈭�娄脨6)

故(2)

正确；

把x=鈭�娄脨6

代入解析式得到函数值是0

故(3)

正确，(4)

不正确；

综上可知(2)(3)

两个命题正确；

故答案为：(2)(3)

．

根据所给的函数解析式；代入求周期的公式求出周期，得到(1)

不正确，利用诱导公式转化得到(2)

正确，把所给的对称点代入解析式，根据函数值得到(3)

正确而(4)

不正确．

本题考查正弦函数的周期和对称性即诱导公式，本题解题的关键是计算出需要的值，和原题所给的命题进行比较，得到结论．【解析】(2)(3)

三、证明题(共6题，共12分)19、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．20、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．21、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．23、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．24、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．四、作图题(共1题，共4分)25、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可五、解答题(共2题，共10分)26、略

【分析】

列表：

。π2πx030-30函数函数的在区间[]上的图象如下图所示：

由图可得：当x∈{x|x=+kπ；k∈Z}时，函数取最大值．

【解析】【答案】根据“五点法”作图的步骤，我们令相位角分别等0，π，2π，并求出对应的x，y值，描出五点后，用平滑曲线连接后，即可得到函数的一个周期简图；根据图象分析出函数取最大值时自变量x的值，及函数的周期，即可得到使函数取得最大值的自变量x的集合．

27、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为

所以

令

（1）当

所以，当函数单调递减；

当时，此时单调递。

（2）当

即解得

①当时，恒成立；

此时函数在（0；+∞）上单调递减；

②当

时，单调递减；

时，单调递增；

此时函数单调递减；

③当时，由于

时，此时函数单调递减；

时，此时函数单调递增。

综上所述：

当时，函数在（０；１）上单调递减；

函数在（１；＋∞）上单调递增；

当时，函数在（0；+∞）上单调递减；

当时，函数在（0；1）上单调递减；

函数在上单调递增；

函数上单调递减；

（Ⅱ）因为由（Ⅰ）知；

当

函数单调递减；当时，

函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为

由于“对任意存在使”等价于。

“在[1，2]上的最小值不大于在（0，2）上的最小值”（*）

又所以。

①当时，因为此时与（*）矛盾；

②当时，因为同样与（*）矛盾；

③当时，因为

解不等式可得

综上，的取值范围是

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值。

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，恒成立问题，往往通过“分离参数”，转化成求函数的最值。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。【解析】【答案】（Ⅰ）当时，函数在（０；１）上单调递减；

函数在（１；＋∞）上单调递增；

当时，函数在（0；+∞）上单调递减；

当时，函数在（0；1）上单调递减；

函数在上单调递增；

函数上单调递减；

（Ⅱ）六、综合题(共4题，共12分)28、略

【分析】【分析】（1）判定抛物线的顶点必在x轴的下方；根据开口方向，二次函数只要与x轴有两个交点即可．

（2）利用垂径定理；勾股定理可以求出

（3）利用三角形面积公式，以CD为底边，P到y轴的距离为高，可以求出．【解析】【解答】（1）证明：抛物线y=x2+4ax+3a2开口向上；且a＞0

又△=（4a）2-4×3a2=4a2＞0

∴抛物线必与x轴有两个交点

∴其顶点在x轴下方

（2）解：令x2+4ax+3a2=0

∴x1=-a，x2=-3a2

∴A（-a；0），B（-3a，0）

又圆M与y轴相切；

∴MA=2a

如图在Rt△MAC中，MA2=NA2+NM2即（2a）2=a2+（）2

∴a=±1（负值舍去）

∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3

（3）解：P（-2；-1），A（-1，0），C（0，3）

设直线PA的方程：y=kx+b，则-1=-2k+b

0=-k+b

∴k=1

b=1

∴y=x+1；令x=0得y=1

∴D（0；1）

∴S△CPA=S△PCD-S△CAD=×2×2-×2×1=129、略

【分析】【分析】（1）当PM旋转到PM′时；点N移动到点N′，点N移动的距离NN′=ON′-ON；

（2）已知两三角形两角对应相等；可利用AAA证相似。

（3）可由（2）问的三角形相似得到y与x之间的函数关系式．

（4）根据图形得出S的关系式，然后在图形内根据x的取值范围确定S的取值范围．【解析】【解答】（1）解：∵sinα=且α为锐角；

∴α=60°；即∠BOA=∠MPN=60°．（1分）

∴初始状态时；△PON为等边三角形；

∴ON=OP=2；当PM旋转到PM'时，点N移动到N'；

∵∠OPM'=30°；∠BOA=∠M'PN'=60°；

∴∠M'N'P=30°．（2分）

在Rt△OPM'中；ON'=2PO=2×2=4；

∴NN'=ON'-ON=4-2=2；

∴点N移动的距离为2；（3分）

（2）证明：在△OPN和△PMN中；

∠PON=∠MPN=60°，∠ONP=∠PNM，

∴△OPN∽△PMN；（4分）

（3）解：∵MN=ON-OM=y-x；

∴PN2=ON•MN=y（y-x）=y2-xy．

过P点作PD⊥OB；垂足为D．

在Rt△OPD中；

OD=OP•cos60°=2×=1，PD=POsin60°=；

∴DN=ON-OD=y-1．

在Rt△PND中；

PN2=PD2+DN2=（）2+（y-1）2=y2-2y+4．（5分）

∴y2-xy=y2-2y+4；

即y=；（6分）

（4）解：在△OPM中，OM边上的高PD为；

∴S=•OM•PD=•x•x．（8分）

∵y＞0；

∴2-x＞0；即x＜2．

又∵x＞0；

∴x的取值范围是0＜x＜2．

∵S是x的正比例函数，且比例系数；

∴0＜S＜×2，即0＜S＜．（9分）30、略

【分析】【分析】（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b；c的值；得出抛物线解析式；

（2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a）；过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可；

（3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标．【解析】【解答】解：（1）根据题意，得，解得；

∴抛物线的解析式为y=x2-4x；

（2）抛物线上存在一点P；使∠PO