2025年鲁人新版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年鲁人新版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、已知向量=（1，2），=（0，1），设=+=2-若∥则实数k的值为（）

A.-1

B.1

C.

D.-

2、【题文】若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体外接球的表面积是。

A.cm2B.cm2C.cm2D.cm23、【题文】下面几个空间图形中，虚线、实线使用不正确的有()

A.②③B.①③C.③④D.④4、设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥n，m⊥α，则n⊥αD.若m∥α，α⊥β，则m⊥β5、与函数y=x有相同的图象的函数是（）A.B.C.D.6、已知函数有2个不同的零点x1、x2，则()A.B.C.D.7、设且tanα=则下列正确的是（）A.B.C.D.8、等差数列{an}的通项公式an=2n-1，设数列{}，其前n项和为Sn，则Sn等于（）A.B.C.D.以上都不对9、集合M={（x，y）|x≥1}，P={（x，y）|x-y+1≤0}，S={（x，y）|2x-y-2≤0}，若的取值范围是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、求值sin75°=____．11、已知U=R，A={x|x2＞4}，B={x|＞0}，则A∩（CUB）=____．12、已知向量．若向量则实数的值是___________13、【题文】已知函数（），数列满足则与中，较大的是____；的大小关系是____．14、【题文】1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为1%，经过年后世界人口数为（亿），则与的函数解析式为____15、对于△ABC；有如下四个命题：

①若sin2A=sin2B；则△ABC为等腰三角形；

②若sinB=cosA；则△ABC是直角三角形；

③若sin2A+sin2B＞sin2C；则△ABC是锐角三角形；

④若则△ABC是等边三角形．

其中正确的项有______．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)16、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．17、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．18、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．19、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．20、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．21、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分四、计算题(共4题，共40分)22、若x2-6x+1=0，则=____．23、同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的拿法有____种．24、如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．25、已知函数f（x），g（x）同时满足：g（x﹣y）=g（x）g（y）+f（x）f（y）；f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，求g（0），g（1），g（2）的值．评卷人得分五、综合题(共3题，共27分)26、在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD．求D点的坐标．27、如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交△BGF的外接圆于H；连接GH，BH．

（1）求证：△DFA∽△HBG；

（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3；CF：FB=1：2，求AB的长；

（3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．28、如图，已知：⊙O1与⊙O2外切于点O，以直线O1O2为x轴，点O为坐标原点，建立直角坐标系，直线AB切⊙O1于点B，切⊙O2于点A，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M．BO的延长线交⊙O2于点D；且OB：OD=1：3．

（1）求⊙O2半径的长；

（2）求线段AB的解析式；

（3）在直线AB上是否存在点P，使△MO2P与△MOB相似？若存在，求出点P的坐标与此时k=的值，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、D【分析】

=2-=（2-0；4-1）=（2，3）；

=+k=（1+k×0；2+k）=（1，k+2）；

∵∥∴=2⇒k=-．

故选D

【解析】【答案】根据向量坐标运算求出的坐标表示；再根据共线向量定理求解．

2、B【分析】【解析】

考点：球内接多面体；由三视图求面积；体积；球的体积和表面积．

专题：计算题．

分析：画出三视图复原后几何体是正方体去掉一个角后的几何体；如图，推断出几何体的外接球的直径，直接求出几何体的外接球的表面积．

解答：解：三视图复原几何体如图：

是正方体去掉一个角后的几何体；

它的外接球就是展开为正方体的外接球；外接球的直径就是正方体的体对角线的长度；

体对角线的长度为：

所以外接球的半径为：

所以外接球的表面积为：4π()=3π．

故选B．

点评：本题考查由三视图复原几何体的空间想象能力，几何体的外接球的半径的求解是解题的关键，考查逻辑思维能力，计算能力．三视图复原几何体与几何体的三视图的关系必须多练习多思考，才能解题得心应手．【解析】【答案】B3、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C4、C【分析】【解答】解：A；m∥α；n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；

B；m∥α；m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；

C；m∥n；m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．

D；m∥α；α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；

故选C．

【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．5、D【分析】【解答】解：A：y=的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误B：与y=x的对应法则不一样；故B错误。

C：=x；（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误。

D：与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确。

故选D

【分析】要使得所求函数与y=x的图象相同，则应与y=x是相同的函数，即函数的定义域、值域、对应法则完全相同，即可6、D【分析】【分析】因为函数有2个不同的零点，则等价于的图像有两个不同的交点，那么结合图像的变换可知作出图像，确定边界点，可知两个交点的横坐标都是正数，一个大于零小于1，一个大于1，结合条件得到选D.

【点评】解决该试题的关键是运用函数与方程思想来解决。将零点问题转换为图像与图像的交点个数来处理得到结论。7、C【分析】解：由tanα=可得：tanαcosβ-tanαsinβ=cosβ+sinβ，即tanβ==tan（）

∵

∴β=即

故选C

根据正切的和与差公式化解可得答案．

本题考查了正切的和与差公式的逆运用．属于基础题．【解析】【答案】C8、B【分析】解：∵等差数列{an}的通项公式an=2n-1；

==

∴Sn=（1-+++）

=

=．

故选：B．

==利用错位相减法能求出Sn．

本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项法的合理运用．【解析】【答案】B9、A【分析】解：∵T=M∩P∩S

∴E（x，y）∈T={（x，y）|}．

先根据约束条件画出可行域；如图阴影．

由得A（3；4）．

∵表示可行域内点P与点（-1，-1）连线的斜率；

当P在点A（3，4）时，u最小，最小值为

当P与点（-1；-1）的连线接近平行于直线x=1时，u→+∞．

故u的取值范围是：．

故选A．

将满足M∩N∩P的点E（x；y）∈T看成平面区域，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与点（-1，-1）构成的直线的斜率问题．

本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．【解析】【答案】A二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】

sin75°=sin（45°+30°）

=sin45°cos30°+cos45°sin30°

=×+×

=

故答案为：

【解析】【答案】把75°变为45°+30°；然后利用两角和的正弦函数公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．

11、略

【分析】

∵x2＞4；

∴x＞2或x＜-2；

∴A={x|x＞2或x＜-2}；

同理，由＞0得-1＜x＜3；

∴B={x|-1＜x＜3}；

∴CUB=CRB={x|x≤-1或x≥3}；

∴A∩（CUB）=A∩（CRB）={x|x＜-2或x≥3}．

故答案为：{x|x＜-2或x≥3}．

【解析】【答案】由题意可求得A，B，再由交集与补集的定义可求得A∩（CUB）．

12、略

【分析】【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：函数是单调递减的，因为

所以所以那么有所以则与中，较大的是同理可得。

所以函数从第一项开始；函数值先增大后减小再增大。

再减小；最后趋于平稳值，奇数项的值慢慢变大趋于平稳值，偶数项慢慢变小趋于平稳值，所以偶数项的。

值总是大于奇数项的值，所以的大小关系是

考点：1.数列的递推公式；2.数列的函数特性；3.指数函数的单调性【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】54.8(1+1%)x15、略

【分析】解：①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=则△ABC为等腰或直角三角形，∴①错误．

②若sinB=cosA；则sinB=cosA＞0．

即A是锐角，sinB=cosA=sin（-A）；

∴B=-A或B+-A=π，即A+B=或B-A=则△ABC不一定为直角三角形，∴②错误．

③若sin2A+sin2B＞sin2C，则根据正弦定理得a2+b2＞c2；∴C为锐角，∴△ABC不一定是锐角三角形，∴③错误．

④若则由正弦定理可得：即：tanA=tanB=tanC，由于，A+B+C=π，可得：A=B=C，可得△ABC为等边三角形；

故正确的是④．仅有一个。

故答案为：④．

①根据三角函数的倍角公式进行判断．②根据三角形的图象和性质进行判断．③根据正弦定理去判断．④根据正弦定理和三角函数的公式进行判断．

本题主要考查正弦定理和三角公式的应用，要求熟练掌握三角函数的运算公式，考查学生的运算能力．【解析】④三、证明题(共6题，共12分)16、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．17、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．18、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．19、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．20、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．21、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、计算题(共4题，共40分)22、略

【分析】【分析】两边都除以x求出x+，两边平方后能求出x2+的值，代入求出即可．【解析】【解答】解：∵x2-6x+1=0；

∴x-6+=0；

∴x+=6；

两边平方得：x2+2•x•+=36；

∴x2+=36-2=34；

∴x2+-1=34-1=33．

故答案为：33．23、略

【分析】【分析】可以列举出所有的结果，首先列举甲和另外一个人互换的情况，共有三种，再列举不是互换的情况共有6种结果．【解析】【解答】解：根据分类计数问题；可以列举出所有的结果；

1；甲乙互换；丙丁互换；

2；甲丙互换；乙丁互换；

3；甲丁互换；乙丙互换；

4；甲要乙的乙要丙的丙要丁的丁要甲的；

5；甲要乙的乙要丁的丙要甲的丁要丙的；

6；甲要丙的丙要乙的乙要丁的丁要甲的；

7；甲要丙的丙要丁的乙要丁的丁要甲的；

8；甲要丁的丁要乙的乙要丙的丙要甲的；

9；甲要丁的丁要丙的乙要甲的丙要乙的．

通过列举可以得到共有9种结果．

故答案为：9．24、略

【分析】【分析】过C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度数，只需求出∠BCE的度数即可．设DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的长；在Rt△AEC中，可根据勾股定理列出等式，从而求出x的值，继而得出BE=CE，求出∠BCE的值．【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E；

设DE=x；则AE=2-x；

在Rt△DCE中；∠ADC=60°；

∴CE=x；

在Rt△AEC中；

根据勾股定理得：AE2+CE2=AC2；

∴（2-x）2+（x）2=（）2；

解得：；

∴BE=CE=；

又∠BEC=90°；

∴∠BCE=45°；又∠DCE=90°-∠ADC=90°-60°=30°；

∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=15°．25、解：由题设条件，令x=y=0；则有。

g（0）=g2（0）+f2（0）

又f（0）=0，故g（0）=g2（0）

解得g（0）=0；或者g（0）=1

若g（0）=0，令x=y=1得g（0）=g2（1）+f2（1）=0

又f（1）=1知g2（1）+1=0；此式无意义，故g（0）≠0

此时有g（0）=g2（1）+f2（1）=1

即g2（1）+1=1；故g（1）=0

令x=0；y=1得g（﹣1）=g（0）g（1）+f（0）f（﹣1）=0

令x=1；y=﹣1得g（2）=g（1）g（﹣1）+f（1）f（﹣1）=﹣1

综上得g（0）=1；g（1）=0，g（2）=﹣1

【分析】【分析】由题设条件知，可以采用赋值的方法来求值，可令x求g（0），再令x=y=1求g（1）的值，令x=1，y=﹣1求g（2）的值五、综合题(共3题，共27分)26、略

【分析】【分析】先根据一次函数的解析式求出点A及点B的坐标，利用勾股定理解出线段BC、AB的坐标，分一下三种情况进行讨论，（1）若D点在C点上方时，（2）若D点在AC之间时，（3）若D点在A点下方时，每一种情况下求出点D的坐标即可．【解析】【解答】解：∵A；B是直线与y轴、x轴的交点；

令y=0，解得；

∴；

令x=0；解得y=-3；

∴A（0；-3）；

由勾股定理得，；

（1）若D点在C点上方时；则∠BCD为钝角；

∵∠BCD=∠ABD；又∠CDB=∠ADB；

∴△BCD∽△ABD；

∴；

设D（0；y），则y＞1；

∵；

∴；

∴8y2-22y+5=0；

解得或（舍去）；

∴点D的坐标为（0，）；

（2）若D点在AC之间时；则∠BCD为锐角；

∵∠ABD=∠BCD；又∠BAD=∠CAB；

∴△ABD∽△ACB，∴；

设D（0，y），则-3＜y＜1，又；

∴；

整理得8y2-18y-5=0；

解得或（舍去）；

∴D点坐标为（0，-）；

（3）若D点在A点下方时；有∠BAC=∠ABD+∠ADB＞∠ABD；

又显然∠BAC＜∠BCD；

∴D点在A点下方是不可能的．

综上所述，D点的坐标为（0，）或（0，-）．27、略

【分析】【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理的推论可以证明三角形中的两个角对应相等；从而证明三角形相似；

（2）根据平行线分线段成比例定理得到AB和BG的比；再根据切割线定理列方程求解；

（3）根据勾股定理以及上述结论求得有关的边没再根据90°的圆周角所对的弦是直径，发现FG是直径，根据圆周角定理的推论把要求的角转换到直角三角形中，根据锐角三角函数的概念求解．【解析】【解答】证明：（1）∵∠HBG=∠HFG；∠HFG=∠AFD；

∴∠HBG=∠AFD．

∵∠BHG=∠BFG=∠CFD=∠ADG；

∴△DFA∽△HBG．（4分）

（2）∵CD∥AB；CD=AB；

∴．

即AG=3AB．

∵AE为⊙O的切线；

∴AE2=AB•AG．

∴AB=3．（8分）

（3）∵AD=BC=6；CF：FB=1：2；

∴CF=2；BF=4．

∵∠ABC=90°；

∴AF=．

∵AE2=AF•AH；

∴AH=FH=AH-AF=．

∴FH=AH-AF=．

∵∠FBG=90°，FG=；

∵FG为圆