2025年-专题46 图形的相似-中考数学考点（原卷版）

PAGEPAGE12017年中考数学备考之黄金考点聚焦考点四十六：图形的相似聚焦考点☆温习理解1、比和比例的有关概念：（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.（2）第四比例项：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例项.（3）比例中项：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项.（4）黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=AB·BC，AC=；一条线段的黄金分割点有两个.2.比例的基本性质及定理（1）（2）（3）3.平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．4.相似三角形.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．5．相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．6．相似三角形性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．7．相似多边形的性质(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．8．位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．名师点睛☆典例分类考点典例一、比例的基本性质、黄金分割【例1】已知，则的值是（）A． B． C． D．【举一反三】若4y-3x=0，则考点典例二、三角形相似的性质及判定【例2】（2016湖南怀化第21题）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．【举一反三】（2016湖北武汉第23题）（本题10分）在△ABC中，P为边AB上一点．(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；(2)若M为CP的中点，AC＝2，①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．考点典例三、相似三角形综合问题【例3】（2016湖北十堰第24题）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的长．【举一反三】（2016湖北鄂州第22题）（本题满分10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，AO是△ABC的角平分线。以O为圆心，OC为半径作⊙O。（1）（3分）求证：AB是⊙O的切线。（2）（3分）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值。（3）（4分）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长。考点典例四、相似多边形与位似图形【例4】（2016辽宁营口第15题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．【举一反三】（2016湖北十堰第5题）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：9课时作业☆能力提升1.（2016黑龙江哈尔滨第9题）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．2.（2016山东东营第8题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为EQ\F(1,3)，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是()A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）3.（2016湖南湘西州第17题）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（）A．3B．5C．6D．84.（2016河北第15题）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）第15题图5.（2016新疆生产建设兵团第7题）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是（）A．DE=BCB．C．△ADE∽△ABCD．S△ADE：S△ABC=1：26.（2016湖北随州第7题）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（）A．1：3B．1：4C．1：5D．1：257.（2016湖南湘西州第17题）如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（）A．3B．5C．6D．88.（2016湖南衡阳第16题）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．9.（2016辽宁沈阳第16题）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是．10.（2016新疆第13题）如图所示，△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，且满足EQ\F(AE,EB)=EQ\F(AF,FC)=EQ\F(1,2)，则△AEF与△ABC的面积比是．11.（2016湖南娄底第14题）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）12.（2016内蒙古巴彦淖尔第7题）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（）A．30B．27C．14D．3213.（凉山州）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB=．14.（辽宁沈阳）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB：DE=．15.（2016福建南平第21题）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．16.（2016福建莆田第25题）若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形，△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，各边上的高分别记为，，，各边上的内接正方形的边长分别记为，，．（1）模拟探究：如图，正方形EFGH为△ABC的BC边上