2025年春新湘教版数学七年级下册课件 1.2 乘法公式

1.2乘法公式第一章整式的乘法逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2平方差公式完全平方公式应用乘法公式进行计算知1－讲感悟新知知识点平方差公式11.平方差公式：(x+y)(x－y)

=x2－y2.即多项式x+y

与x-y

的乘积，等于多项式x2-y2.感悟新知知1－讲特别解读 公式的特征：1.等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.2.等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.3.理解字母x，y的意义，平方差公式中的x，y既可代表一个单项式，也可代表一个多项式.感悟新知2.平方差公式的推导(1)代数运算证明法：(a+b)(a–b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.知1－讲感悟新知(2)几何图形证明法：图1.2-1①中阴影部分的面积为a2-b2，把它分割并拼接成图1.2-1②中的长方形，长为(a+b)，宽为(a–b)，故阴影部分的面积为(a+b)(a–b).故(a+b)(a–b)=a2-b2.知1－讲感悟新知3.平方差公式的几种常见变化形式及应用：知1－讲变化形式应用举例位置变化(b+a)(－b+a)=(a+b)(a－b)=a2－b2符号变化(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a)=(－b)2－a2=b2－a2感悟新知知1－讲系数变化(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2指数变化(a3+b2)(a3－b2)=(a3)2－(b2)2=a6－b4增项变化(a－b+c)(a－b－c)=(a－b)2－c2连用公式(a+b)(a－b)(a2+b2)=(a2－b2)(a2+b2)=a4－b4知1－练感悟新知易错警示1.平方差公式的右边是平方差，不是差的平方，不要把x2-y2

与(x-y)2混淆.2.只要多项式的乘法符合公式的结构特征，就可以运用这一公式简化计算.知1－练感悟新知

例1考向：利用平方差公式进行乘法计算题型1平方差公式在整式运算中的应用知1－练感悟新知解：(1)

(5m－3n)

(5m+3n)=

(

5m

)

2－(3n

)

2=25m2

－9n2.(2)

(－2a2+5b)

(－2a2－5b)=

(－2a2

)

2

－(

5b

)

2=4a4

－25b2.解题秘方：先确定公式中的“x”和“y”，然后根据平方差公式(x+y)(

x－y)

=x2－y2

进行计算.知1－练感悟新知

先把原式调整为(x+y

)

(x－

y)的形式，再用平方差公式进行计算.知1－练感悟新知解法提醒运用平方差公式计算的三个关键步骤：第1步：利用加法的交换律调整两个二项式中项的位置，使之与公式左边相对应，已对应的就不需调整，如(3)(4)就必须调整.第2步：找准哪个单项式或多项式分别代表公式中的“x”和“y”.第3步：套用公式计算，注意将底数带上括号.如(1)中(5m

)2不能写成5m2.知1－练感悟新知计算：(1)10.3×9.7；(2)2024×2026－20252.例2

解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算.题型2平方差公式在数的巧算中的应用知1－练感悟新知解：(1)

10.3×9.7=

(

10+0.3

)×

(

10－0.3

)=102

－0.32=100－0.09=99.91.(2)2024×2026－20252=

(

2025－1

)×

(2025+1

)－20252=20252

－1－20252=－1.知1－练感悟新知方法运用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两个的平均数，再将原数与这个平均数进行比较，变成两数的和与差的积的形式.感悟新知知2－讲知识点完全平方公式21.完全平方公式：完全平方公式1：(

x+y

)

2=x2+2xy+y2.即多项式x+y的平方等于x与y的平方和加上x与y的积的2倍.完全平方公式2：(x－y)

2=x2

－2xy+y2.即多项式x-y的平方等于x与y的平方和减去x与y的积的2倍.感悟新知知2－讲2.完全平方公式的推导：(1)代数运算证明法(a+b)

2=(a+b)

(a+b)

=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)

2=(a-b)

(a-b)

=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2感悟新知知2－讲(2)几何图形证明法（数形结合思想）图1.2-2①：大正方形的面积为(a+b)

2=

a2+b2+2ab；图1.2-2②：左下角正方形的面积为(a-b)

2=a2+b2-2ab.感悟新知知2－讲3.完全平方公式的几种常见变形公式：(1)a2+b2=(a+b)

2

－2ab=(

a－b)

2+2ab；(2)(a+b)

2=(a－b)

2+4ab；(3)(a-b)

2=(a+b)

2

－4ab；(4)(a+b)

2+(a－b)

2=2(

a2+b2)；(5)(a+b)

2

－(a－b)

2=4ab；感悟新知知2－讲

知2－讲感悟新知特别解读 1.弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，公式的右边是一个三项式，包括左边二项式的各项的平方和，另一项是这两项的乘积的2倍.2.理解字母x，y的意义：公式中的字母x，y可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式.3.口诀记忆：头平方和尾平方，头(乘)尾两倍在中央，中间符号照原样.感悟新知知2－练计算：(1)(x+7y

)

2；(2)(－4a+5b

)

2；(3)(－2m

－n

)

2；(4)(2x+3y

)(－2x

－3y

)

.例3两个二项式相乘，若有一项相同，另一项相反，则用平方差公式计算；若两项都相同或都相反，则用完全平方公式计算.考向：利用完全平方公式进行计算题型1完全平方公式在整式运算中的应用知2－练感悟新知解：(1)原式=x2+2·x·(

7y

)

+

(

7y

)

2=x2+14xy+49y2.(2)原式=

(

5b

－4a

)

2=

(

5b

)

2

－2·(

5b

)

·(

4a

)

+

(

4a

)

2=25b2

－40ab+16a2.解题秘方：先确定公式中的“x”和“y”，再利用完全平方公式进行计算即可.知2－练感悟新知(3)原式=

(2m+n

)

2=

(

2m

)

2+2·(

2m

)

·n+n2=4m2+4mn+n2.(4)原式=－(

2x+3y

)

2=－［(

2x

)

2+2·(

2x

)

·(

3y

)

+

(

3y

)

2］=－(

4x2+12xy+9y2

)=－4x2

－12xy

－9y2.知2－练感悟新知方法 1.利用完全平方公式进行整式运算的基本步骤：(1)确定公式中的“x”和“y”；(2)确定和差关系；(3)选择公式；(4)计算结果.2.两个易错点：(1)套用公式时千万不能漏掉“2xy”

这一项；(2)两个平方项的底数要带上括号.感悟新知知2－练

例4解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可.题型2完全平方公式在数的巧算中的应用知2－练感悟新知

解：(1)

9992=(

1000－1)

2=10002－2×1000×1+12=1000000－2000+1=998001.知2－练感悟新知方法 利用完全平方公式进行数值运算时，主要是将底数拆成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式：一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真分数的和或差.感悟新知知3－讲知识点运用乘法公式进行计算和推理3遇到多项式与多项式相乘时，要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式.对于一些题目，虽然原题不符合公式的结构特点，不能直接运用乘法公式进行计算，但经过整理后能够运用乘法公式.有的可以连续运用公式，有的可部分运用公式，但都能起到由繁化简、迅速解题的作用.运用乘法公式还可以解决代数推理问题，多为数学问题.知3－讲感悟新知特别解读为了体现乘法公式的结构特征，常运用交换律和结合律进行转化.知3－练感悟新知计算：(1)(

b

－3

)(

b2+9

)(

b+3

)；(2)(x+2y

－3

)(x

－2y+3

)；

(3)(

a+2b+c

)2.例5考向：利用乘法公式计算和推理题型1乘法公式在计算中的应用知3－讲感悟新知方法 三招利用乘法公式简化计算:1.移位置:有时交换位置，改变运算顺序，可利用乘法公式简化计算.2.整体

:有时将其中几项看成一个整体，从而构造出特殊的结构，利用乘法公式简化计算.3.转化

:将较复杂的未知问题，经过变形，转化为可轻易解决或已解决的问题.知3－练感悟新知解：(1)原式=

(b

－3

)(

b+3

)(

b2+9

)

=(b2

－9

)(

b2+9

)

=b4

－81.解题秘方：紧扣多项式之间的特征，运用移位置、整体或转化的方法寻找乘法公式，进行计算.知3－练感悟新知(2)原式=［x+

(2y

－3

)］［x

－(

2y

－3

)］=x2

－(

2y

－3

)

2=x2

－(4y2

－12y+9

)

=x2

－4y2+12y

－9.(3)原式=［(

a+2b

)+c］2=

(

a+2b

)2+2

(

a+2b

)

c+c2=a2+4ab+4b2+2ac+4bc+c2.知3－练感悟新知观察：(2+3)2-22=7×3；(4+3)2-42=11×3.嘉嘉发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除.验证：(1)(6+3)2-62

的结果是3的_______倍；(2)设偶数为2n，试说明比2n

大3的数与