2019届北京专版中考数学一轮复习第四章图形的认识4.4圆试卷讲义VIP

§4.4圆中考数学

(北京专用)2014-2018年北京中考题组五年中考1.(2014北京,7,4分)如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为

(

)

A.2

B.4

C.4

D.8答案

C∵CO=AO,∴∠COE=2∠A=45°.∵OC=4,∴CE=OC·sin∠COE=4×

=2

.∵AB⊥CD,∴CD=2CE=4

.故选C.2.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在☉O上, = ,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB=

°.

答案

70解析∵ = ,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.3.(2017北京,14,3分)如图,AB为☉O的直径,C,D为☉O上的点,

= .若∠CAB=40°,则∠CAD=

°.

答案

25解析连接BC,BD,∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°.∵

= ,∴∠ABD=∠CBD=

∠ABC=25°,∴∠CAD=∠CBD=25°.

4.(2018北京,22,5分)如图,AB是☉O的直径,过☉O外一点P作☉O的两条切线PC,PD,切点分别

为C,D,连接OP,CD.(1)求证:OP⊥CD;(2)连接AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP的长.

解析

(1)证明:∵PC,PD是☉O的两条切线,∴PD=PC,∠OPD=∠OPC,∴OP⊥CD.(2)设OP与CD交于点Q,连接OD.∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD=50°,∵∠CBA=70°,∴∠ADC=110°,∴∠ODC=60°.又∵OP⊥CD,∴∠OQD=90°,∴OQ=OD·sin60°=2×

=

,DQ=OD·cos60°=1.∵PD是切线,∴∠PDO=90°,∴∠PDC=30°,∴PQ=DQ·tan30°=1×

=

.∴OP=PQ+QO=

.思路分析

本题第(1)问可以通过切线的相关定理和等腰三角形“三线合一”来解决.本题第

(2)问需要添加辅助线构造三角形来推导角的度数,借助特殊角的三角函数解决问题.5.(2017北京,24,5分)如图,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求☉O的半径.

解析

(1)证明:∵BD是☉O的切线,∴∠OBD=90°.∵CE⊥OA,∴∠ACE=90°.∴∠OBA+∠EBD=∠A+∠AEC=90°.∵OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠EBD=∠AEC.又∵∠AEC=∠BED,∴∠BED=∠EBD,∴DB=DE.(2)如图,连接OE,则OE⊥AB,AE=BE=6.过点D作DM⊥AB于点M,∵DE=DB,∴BM=

BE=3,在Rt△BMD中,由勾股定理得,DM=4.易证∠OBE=∠BDM,又∠BEO=∠DMB,∴Rt△OBE∽Rt△BDM,∴

=

,∴OB=

.6.(2016北京,25,5分)如图,AB为☉O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交 于点D,过点D作☉O的切线,交BA的延长线于点E.(1)求证:AC∥DE;(2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路.

解析

(1)证明:连接OC,如图.

∵OA=OC,F为AC的中点,∴OD⊥AC.∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.∴AC∥DE.(2)求解思路如下:①在Rt△ODE中,由OA=AE=OD=a,可得△ODE,△OFA为含30°角的直角三角形;②由∠ACD=

∠AOD=30°,可知CD∥OE;③由AC∥DE,可知四边形ACDE是平行四边形;④由△ODE,△OFA为含有30°角的直角三角形,可求DE,DF的长,进而可求四边形ACDE的面

积.

思路分析

(1)要证明两条直线平行,在圆中可借助90°角的相关性质(切线的性质、等腰三角

形的三线合一、直径所对的圆周角等);(2)要从边的数量关系得特殊角的数量关系,从而求相

应的线段长.解题关键

解决本题第(2)问的关键是要从边的数量关系发现特殊角的数量关系,从而发现特

殊的直角三角形.7.(2015北京,24,5分)如图,AB是☉O的直径,过点B作☉O的切线BM,弦CD∥BM,交AB于点F,且

= ,连接AC,AD,延长AD交BM于点E.(1)求证:△ACD是等边三角形;(2)连接OE,若DE=2,求OE的长.

解析

(1)证明:∵AB是☉O的直径,BM是☉O的切线,∴AB⊥BM.∵CD∥BM,∴AB⊥CD.∴

= .∵

= ,∴

= = .∴AD=AC=DC.∴△ACD是等边三角形.(2)连接BD,如图.

∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠ABD=∠C=60°,∴∠DBE=30°.在Rt△BDE中,DE=2,可得BE=4,BD=2

.在Rt△ABD中,可得AB=4

.∴OB=2

.在Rt△OBE中,由勾股定理可得OE=2

.思路分析

(1)要证明等边三角形,可以借助弧等⇒弦等的性质.(2)多次应用勾股定理求线段

的长.解题关键

解决本题的关键是要熟练应用解直角三角形的相关知识,发现可解的直角三角形.8.(2014北京,21,5分)如图,AB是☉O的直径,C是 的中点,☉O的切线BD交AC的延长线于点D,E是OB的中点,CE的延长线交切线DB于点F,AF交☉O于点H,连接BH.(1)求证:AC=CD;(2)若OB=2,求BH的长.

解析

(1)证明:连接BC.

∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵C是 的中点,∴ = .∴AC=BC.∴∠CAB=∠CBA=45°.∵BD是☉O的切线,∴∠ABD=90°.∴∠CBD=∠D=45°.∴BC=CD.∴AC=CD.(2)连接OC.∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAB=45°.∴∠COE=90°.∵E是OB的中点,∴OE=BE.∵∠CEO=∠FEB,∴Rt△COE≌Rt△FBE.∴BF=OC.∵OB=2,∴BF=2.由勾股定理,得AF=2

.∵∠ABF=∠AHB=90°,∴BH=

=

.9.(2013北京,20,5分)如图,AB是☉O的直径,PA,PC与☉O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于

点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E.(1)求证:∠EPD=∠EDO;(2)若PC=6,tan∠PDA=

,求OE的长.

解析

(1)证明:∵PA,PC与☉O分别相切于点A,C,∴PA=PC,∠APO=∠EPD.∵AB是☉O的直径,∴PA⊥AB.∵DE⊥PO,∴∠A=∠E=90°.∵∠POA=∠DOE,∴∠APO=∠EDO.∴∠EPD=∠EDO.(2)连接OC,则OC⊥PD.

在Rt△PAD中,∠A=90°,PA=PC=6,tan∠PDA=

,可得AD=8,PD=10.∴CD=4.在Rt△OCD中,∠OCD=90°,CD=4,tan∠ODC=

,可得OC=3,OD=5.在Rt△PCO中,由勾股定理得,PO=3

.可证得Rt△DEO∽Rt△PCO.∴

=

,即

=

.∴OE=

.10.(2012北京,20,5分)已知:如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,OD⊥BC于点D,过点C作☉O

的切线,交OD的延长线于点E,连接BE.(1)求证:BE与☉O相切;(2)连接AD并延长交BE于点F,若OB=9,sin∠ABC=

,求BF的长.

解析

(1)证明:连接OC.

∵EC与☉O相切,C为切点,∴∠ECO=90°.∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC.∵OD⊥BC,∴DB=DC.∴直线OE是线段BC的垂直平分线.∴EB=EC.∴∠ECB=∠EBC.∴∠ECO=∠EBO.∴∠EBO=90°.∵AB是☉O的直径,∴BE与☉O相切.(2)过点D作DM⊥AB于点M,则DM∥FB.在Rt△ODB中,∵∠ODB=90°,OB=9,sin∠ABC=

,∴OD=OB·sin∠ABC=6.由勾股定理得BD=

=3

.在Rt△DMB中,DM=BD·sin∠ABC=2

,BM=

=5.∵O是AB的中点,∴AB=18.∴AM=AB-BM=13.∵DM∥FB,∴△AMD∽△ABF.∴

=

.∴BF=

=

.教师专用题组考点一圆的有关概念及性质1.(2018陕西,9,3分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与☉O

相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为

(

)

A.15°

B.25°

C.35°

D.45°答案

A∵AB=AC,∠BCA=65°,∴∠BCA=∠ABC=65°,∴∠BAC=50°,∵CD∥AB,∴∠BAC=

∠ACD=50°,根据圆周角定理的推论得∠ABD=∠ACD=50°,所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°,故选A.2.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在☉O中,点C在优弧

上,将弧 折叠后刚好经过AB的中点D.若☉O的半径为

,AB=4,则BC的长是

(

)

A.2

B.3

C.

D.

答案

B连接AO,并延长交☉O于点D',则∠ABD'=90°.连接BD',CD',DD',DD'交BC于点E,连接

OD,OB,OC,∵D为AB的中点,∴OD⊥AB,∵AB=4,∴BD=

AB=2,∵OB=

,∴OD=

=1,∴BD'=2OD=2,即BD=BD',显然点D与点D'关于直线BC对称.∵∠ABD'=90°,∴∠ABC=∠CBD'=45°,根据圆周角定理得∠AOC=90°,∴∠D'OC=90°,∴CD'=

OC=

,∵∠CBD'=45°,BD'=2,∴BE=ED'=

,根据勾股定理得CE=

=2

,所以BC=BE+CE=3

,故选B.

方法指导

在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段

或角或垂直关系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行

求解.3.(2017福建,8,4分)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定

与∠ACD互余的角是

(

)

A.∠ADC

B.∠ABD

C.∠BAC

D.∠BAD答案

D∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°,易知∠ACD=∠B,∴∠BAD+∠ACD=90°,故选D.4.(2017黑龙江哈尔滨,7,3分)如图,☉O中,弦AB、CD相交于点P,∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的

大小是

(

)

A.43°

B.35°

C.34°

D.44°答案

B由三角形外角的性质可得∠C=∠APD-∠A=77°-42°=35°,∵∠B与∠C所对的弧均

为 ,∴∠B=∠C=35°.故选B.5.(2017甘肃兰州,4,4分)如图,在☉O中,

= ,点D在☉O上,∠CDB=25°,则∠AOB=

(

)

A.45°

B.50°

C.55°

D.60°答案

B连接OC,∵∠CDB=25°,∴∠COB=50°,又

= ,∴∠AOB=∠COB=50°,故选B.6.(2017内蒙古呼和浩特,7,3分)如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M.若AB=12,OM∶MD

=5∶8,则☉O的周长为

(

)

A.26π

B.13π

C.

D.

答案

B连接OA,设OM=5x(x>0),则MD=8x,∴OA=OD=13x,又∵AB=12,AB⊥CD,∴AM=6.在

Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=

(舍负),∴半径OA=

,∴☉O的周长为13π.方法规律

如图,设圆的半径为r、弦长为a、弦心距为d,弓形的高为h,则

+d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其中任意两个量即可求出其余两个量.

7.(2017陕西,9,3分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠C=30°,☉O的半径为5.若点P是☉O上的

一点,在△ABP中,PB=AB,则PA的长为

(

)

A.5

B.

C.5

D.5

答案

D连接OB、OA、OP,

∵∠C=30°,∴∠AOB=60°,∵OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴AB=5.∵PB=AB=OA=OP,∴OB

⊥AP,∴AP=2AB·cos30°=2×5×cos30°=2×5×

=5

.故选D.8.(2016陕西,9,3分)如图,☉O的半径为4,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与

∠BOC互补,则弦BC的长为

(

)

A.3

B.4

C.5

D.6

答案

B∵∠BOC+∠CAB=180°,∠BOC=2∠CAB,∴∠BOC=120°,作OD⊥BC交BC于点D,∴BC=2BD.∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD=

=30°,∴BD=OBcos30°=2

,∴BC=2BD=4

,故选B.

9.(2016河北,9,3分)下图为4×4的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是

(

)

A.△ACD的外心

B.△ABC的外心C.△ACD的内心

D.△ABC的内心答案

B设每个小正方形的边长为1,则OA=OB=OC=

,所以点O到△ABC三个顶点的距离都相等,所以点O在三角形三边垂直平分线的交点上,故点O是△ABC的外心.10.(2015吉林长春,7,3分)如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形ABCO是平行四边形,则∠

ADC的大小为

(

)

A.45°

B.50°

C.60°

D.75°答案

C设∠ADC=x°,则∠AOC=2x°.∵四边形ABCO是平行四边形,∴∠B=∠AOC.∵∠B+

∠D=180°,∴x+2x=180.∴x=60.∴∠ADC=60°.故选C.11.(2015甘肃兰州,9,4分)如图,经过原点O的☉P与x、y轴分别交于A、B两点,点C是劣弧OB上

一点,则∠ACB=

(

)

A.80°

B.90°

C.100°

D.无法确定答案

B根据同弧所对的圆周角相等,得到∠ACB=∠AOB=90°,故选B.12.(2015河北,6,3分)如图,AC,BE是☉O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中,外心

点O的是

(

)

A.△ABE

B.△ACF

C.△ABD

D.△ADE答案

B外心即为三角形外接圆的圆心,∵△ACF的顶点F不在圆O上,∴圆O不是△ACF的

外接圆,∴点O不是△ACF的外心,故选B.13.(2015上海,6,4分)如图,已知在☉O中,AB是弦,半径OC⊥AB,垂足为点D,要使四边形OACB为

菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是

(

)

A.AD=BD

B.OD=CDC.∠CAD=∠CBD

D.∠OCA=∠OCB答案

B根据垂径定理知OD垂直平分AB,所以添加OD=CD即可判定四边形OACB是菱形,

故选B.14.(2018吉林,13,3分)如图,A,B,C,D是☉O上的四个点,

= .若∠AOB=58°,则∠BDC=

度.

答案

29解析连接OC(图略),∵

=

,∴∠AOB=∠BOC=58°,又点D在圆上,∴∠BDC=

∠BOC=29°.思路分析

连接OC,由

与 相等可得圆心角∠AOB=∠BOC,再根据同弧所对的的圆周角是圆心角的一半即可求得∠BDC的度数.15.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠

CAB,若AD=6,则AC=

.

答案

2

解析连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以

∠BAD=30°,因为

=cos30°,所以AB=

=

=4

.在Rt△ABC中,AC=AB×cos60°=4

×

=2

.16.(2018内蒙古包头,17,3分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,过点C的切线与BA的延长线

交于点D,点E在 上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC=

度.

答案

115解析如图,连接OC,AC,

∵CD是☉O的切线,∴∠DCO=90°,∴∠1=90°-∠D=50°.∵OA=OC,∴∠2=

(180°-∠1)=65°.∴∠BEC=180°-∠2=180°-65°=115°.17.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,

则∠DOE=

°.

答案

60解析∵AB,AC分别与圆O相切于点D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC,在菱形ABOC中,AB=BO,∵点D

是AB的中点,∴BD=

AB=

BO,∴∠BOD=30°,∴∠B=60°,又∵OB∥AC,∴∠A=120°,∴在四边形ADOE中,∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°.解题关键

由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键.18.(2017江苏南京,15,2分)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连

接AC、AE.若∠D=78°,则∠EAC=

°.

答案

27解析∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,CA平分∠DCB.∵∠D=78°,∴∠DCB=180°-∠D=102°,∴∠ACE=

∠DCB=51°.∵A、E、C、D四点共圆,∴∠D+∠AEC=180°,∴∠AEC=102°.在△AEC中,∠EAC=180°-∠AEC-∠ACE=180°-102°-51°=27°.解后反思

本题综合考查菱形的性质、圆的内接四边形对角互补的性质,掌握这两个性质是

解决问题的关键.19.(2016山东青岛,11,3分)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,若∠BCD=28°,则∠ABD=

°.

答案

62解析∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠BCD=28°,∴∠ACD=90°-28°=62°,∴∠ABD=∠ACD=62°.20.(2016新疆乌鲁木齐,13,4分)设I为△ABC的外心,若∠BIC=100°,则∠A的度数为

.答案

50°或130°解析当I在△ABC的内部时,如图1,∠A=

∠BIC=50°;当I在△ABC的外部时,如图2,∠A+

∠BIC=180°,∴∠A=130°.

图1图221.(2016江苏南京,13,2分)如图,扇形AOB的圆心角为122°,C是 上一点,则∠ACB=

°.

答案

119解析如图,在扇形AOB所在圆优弧AB上取一点D,连接DA,DB.∵∠AOB=122°,∴∠D=61°,∵

∠ACB+∠D=180°,∴∠ACB=119°.

22.(2015内蒙古包头,18,3分)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,若☉O的半径是4,

sinB=

,则线段AC的长为

.

答案

2解析连接CD,在☉O中,因为AD为直径,所以∠ACD=90°,因为∠B=∠D,所以AC=AD·sinD=8

×

=2.23.(2015江西南昌,10,3分)如图,点A,B,C在☉O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则

∠ADC的度数为

.

答案

110°解析在☉O中,∠BOC=2∠A=2×50°=100°,所以∠DOB=180°-∠BOC=180°-100°=80°,所以∠ADC=∠B+∠DOB=30°+80°=110°.24.(2015陕西,14,3分)如图,AB是☉O的弦,AB=6,点C是☉O上的一个动点,且∠ACB=45°.若

点M、N分别是AB、BC的中点,则MN长的最大值是

.

答案

3

解析依题意,知MN=

AC,且当AC为☉O的直径时,MN的长度最大.连接OB,∵∠ACB=45°,∴∠AOB=90°,设☉O的半径为r,则

r=6,解得r=3

,故MN的最大值为3

.

25.(2018安徽,20,10分)如图,☉O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧 的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.

解析

(1)尺规作图如图所示.

(4分)

(2)连接OE交BC于M,连接OC.因为∠BAE=∠CAE,所以

= ,易得OE⊥BC,所以EM=3.Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE的长为

.

(10分)思路分析

对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由∠BAE=∠CAE可得

= ,可推出OE⊥BC,最后利用勾股定理求出CE.26.(2015安徽,20,10分)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP

⊥PQ.(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ长;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.

解析

(1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB.在Rt△OPB中,OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=

.

(3分)如图,连接OQ,在Rt△OPQ中,

PQ=

=

=

.

(5分)(2)∵PQ2=OQ2-OP2=9-OP2,∴当OP最小时,PQ最大.此时,OP⊥BC.

(7分)OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=

.∴PQ长的最大值为

=

.

(10分)27.(2017江苏南京,24,8分)如图,PA、PB是☉O的切线,A、B为切点.连接AO并延长,交PB的延

长线于点C.连接PO,交☉O于点D.(1)求证:PO平分∠APC;(2)连接DB.若∠C=30°,求证:DB∥AC.

证明

(1)如图,连接OB.

∵PA、PB是☉O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP.又OA=OB,∴PO平分∠APC.

(4分)(2)∵OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠CAP=∠OBP=90°.∵∠C=30°,∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°,∵PO平分∠APC,∴∠OPC=

∠APC=

×60°=30°,∴∠POB=90°-∠OPC=90°-30°=60°.又OD=OB,∴△ODB是等边三角形,∴∠OBD=60°,∴∠DBP=∠OBP-∠OBD=90°-60°=30°,∴∠DBP=∠C,∴DB∥AC.

(8分)28.(2017湖南长沙,23,9分)如图,AB与☉O相切于点C,OA,OB分别交☉O于点D,E, = .(1)求证:OA=OB;(2)已知AB=4

,OA=4,求阴影部分的面积.

解析

(1)证明:如图,连接OC,则OC⊥AB,

∵ = ,∴∠AOC=∠BOC.在△AOC与△BOC中,

∴△AOC≌△BOC(ASA),∴OA=OB.(2)由(1)知AC=BC=

AB=2

,在Rt△AOC中,OC=

= =2=

OA,∴∠OAC=30°,∴∠COE=∠AOC=60°,∴S阴影=S△OBC-S扇形OCE=

×2×2

-

=2

-

π.思路分析

(1)连接OC,则OC⊥AB,然后根据等弧对等角求得∠AOC=∠BOC,再判定△AOC≌

△BOC,根据全等三角形的性质可得证;(2)由(1)可求得AC=2

,运用勾股定理求出OC的长,进而求得∠COE=60°,利用S阴影=S△OBC-S扇形OCE求得结果.29.(2017贵州贵阳,22,10分)如图,C,D是半圆O上的三等分点,直径AB=4,连接AD,AC,DE⊥AB,垂

足为E,DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数;(2)求阴影部分的面积.(结果保留π和根号).

解析

(1)如图,连接OD,OC,

∵C,D是半圆O的三等分点,∴

= = ,∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°,∴∠CAB=30°,∵DE⊥AB,∴∠AEF=90°,∴∠AFE=90°-30°=60°.

(5分)(2)由(1)可知,∠AOD=60°,∵OA=OD,AB=4,∴△AOD为等边三角形,OA=2,∵DE⊥AO,∴DE为△AOD的高,且DE=

,∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=

-

×2×

=

π-

.

(10分)思路分析

(1)先根据C、D为半圆的三等分点,求出∠CAB=30°,进而求出结果;(2)根据已知条

件得出△AOD为等边三角形,进而求出扇形AOD和等边三角形AOD的面积即可求出阴影部分

的面积.30.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD

于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.

证明

(1)∵∠B=∠D,∠B=∠E,∴∠D=∠E.∵CE∥AD,∴∠E+∠DAE=180°.∴∠D+∠DAE=180°.∴AE∥DC.∴四边形AECD是平行四边形.

(5分)(2)过点O作OM⊥EC,ON⊥BC,垂足分别为M、N.∵四边形AECD是平行四边形,∴AD=EC.又AD=BC,∴EC=BC,∴OM=ON,∴CO平分∠BCE.

(10分)思路分析

(1)根据“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等”可推出∠E=∠B,再由∠D=

∠B,CE∥AD可推出AE∥DC,问题得证;(2)作OM⊥CE,ON⊥BC,垂足分别为M、N,由已知及(1)

得出CE=BC,再根据“同一个圆内等弦对应的弦心距相等”可得OM=ON,从而由角平分线的

判定定理可得结论.解题关键

抓住“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦对应的弦心距相

等”是解决本题的关键.31.(2016宁夏,23,8分)已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2

,求CD的长.

解析

(1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C,又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.

(4分)(2)连接AE,则AE⊥BC,

∴BE=EC=

BC,在△ABC与△EDC中,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,

(6分)∴

=

,得DC=

=

,由AB=4,BC=2

,得DC=

=

.

(8分)评析

本题考查圆内接四边形的性质,三角形相似的判定与性质.属中档题.32.(2015山东威海,22,9分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的☉O交AB于点D,交BC于

点E.(1)求证:BE=CE;(2)若BD=2,BE=3,求AC的长.

解析

(1)证明:连接AE.

(1分)

∵AC为☉O的直径,∴∠AEC=90°.∴AE⊥BC.

(3分)又∵AB=AC,∴BE=CE.

(4分)(2)连接DE.

(5分)

∵四边形ACED为☉O的内接四边形,∴∠BED=∠BAC.又∵∠B=∠B,∴△BED∽△BAC.∴

=

.

(7分)∵BE=CE=3,∴BC=6.又∵BD=2,∴AB=9.

(8分)∴AC=9.

(9分)33.(2015江苏南京,26,8分)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BC的延长线与AD的延长线

交于点E,且DC=DE.(1)求证∠A=∠AEB;(2)连接OE,交CD于点F,OE⊥CD.求证:△ABE是等边三角形.

证明

(1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠A+∠BCD=180°.又∠DCE+∠BCD=180°,∴∠A=∠DCE.∵DC=DE,∴∠DCE=∠AEB.∴∠A=∠AEB.

(4分)(2)∵∠A=∠AEB,∴△ABE是等腰三角形.∵OE⊥CD,∴CF=DF.∴OE垂直平分CD.∴ED=EC.又DC=DE,∴DC=DE=EC.∴△DCE是等边三角形.∴∠AEB=60°.∴△ABE是等边三角形.

(8分)34.(2015江苏苏州,26,10分)如图,已知AD是△ABC的角平分线,☉O经过A、B、D三点,过点B作

BE∥AD,交☉O于点E,连接ED.(1)求证:ED∥AC;(2)若BD=2CD,设△EBD的面积为S1,△ADC的面积为S2,且

-16S2+4=0,求△ABC的面积.

解析

(1)证明:∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠DAC.∵∠E=∠BAD,∴∠E=∠DAC.∵BE∥AD,∴∠E=∠EDA.∴∠EDA=∠DAC.∴ED∥AC.(2)∵BE∥AD,∴∠EBD=∠ADC.由(1)知∠E=∠DAC,∴△EBD∽△ADC,且相似比k=

=2.∴

=k2=4,即S1=4S2,∵

-16S2+4=0,∴16

-16S2+4=0,即(4S2-2)2=0,∴S2=

.∵

=

=

=

=3,∴S△ABC=

.35.(2014山东烟台,24,8分)如图,AB是☉O的直径,延长AB至P,使BP=OB.BD垂直于弦BC,垂足为

点B,点D在PC上.设∠PCB=α,∠POC=β.求证:tanα·tan

=

.

证明连接AC.

(1分)则∠A=

∠POC=

.

(2分)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴tan

=

.

(3分)∵BD⊥BC,∴tanα=

,

(4分)又易知BD∥AC,∴△PBD∽△PAC.∴

=

.

(6分)∵PB=OB=OA,∴

=

=

.

(7分)∴tanα·tan

=

·

=

=

.

(8分)36.(2014福建福州,20,11分)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=3

,点D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,☉O为△ACD的外接圆.(1)求BC的长;(2)求☉O的半径.

解析

(1)过点A作AE⊥BC,垂足为E.∴∠AEB=∠AEC=90°.在Rt△ABE中,∵sinB=

,∴AE=AB·sinB=3

·sin45°=3

×

=3.∵∠B=45°,∴∠BAE=45°.∴BE=AE=3.在Rt△ACE中,∵tan∠ACB=

,∴EC=

=

=

=

.∴BC=BE+EC=3+

.

(2)由(1)得,在Rt△ACE中,∠EAC=30°,EC=

,∴AC=2

.解法一:连接AO并延长交☉O于M,连接CM.∵AM为直径,∴∠ACM=90°.在Rt△ACM中,∵∠M=∠D=∠ACB=60°,sinM=

,∴AM=

=

=4.∴☉O的半径为2.解法二:连接OA,OC,过点O作OF⊥AC,垂足为F,则AF=

AC=

.∵∠D=∠ACB=60°,∴∠AOC=120°.∴∠AOF=

∠AOC=60°.在Rt△OAF中,∵sin∠AOF=

,∴AO=

=2,即☉O的半径为2.考点二与圆有关的位置关系及综合运用1.(2018重庆,9,4分)如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点

B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为

(

)

A.4

B.2

C.3

D.2.5答案

A连接DO,∵PD与☉O相切于点D,∴∠PDO=90°.∵BC⊥PC,∴∠PCB=90°,∴DO∥

BC,∴△POD∽△PBC,∴

=

,∴

=

,∴PA=4,故选A.思路分析

利用切线的性质得出∠PDO=90°,再利用相似三角形的判定和性质求出结果.2.(2017湖北武汉,9,3分)已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为

(

)A.

B.

C.

D.2

答案

C如图,AB=7,BC=5,AC=8.过点A作AD⊥BC于点D,设BD=x,则CD=5-x.由勾股定理得AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2,则72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,∴AD=4

.设△ABC的内切圆的半径为r,则有

×(5+7+8)r=

×5×4

,解得r=

.故选C.3.(2015重庆,9,4分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,AE是☉O的切线,A为切点,连接BC并延

长交AE于点D.若∠AOC=80°,则∠ADB的度数为

(

)

A.40°

B.50°

C.60°

D.20°答案

B∵AE是☉O的切线,∴∠BAE=90°,∵∠B=

∠AOC=40°,∴∠ADB=90°-∠B=50°,故选B.4.(2015江苏南京,6,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与☉O相切于E、

F、G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为

(

)

A.

B.

C.

D.2

答案

A在矩形ABCD中,☉O分别与边AD、AB、BC相切,又DM为☉O的切线,所以由切线

长定理得AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,设MN=MG=x,在Rt△DCM中,

DM2=MC2+DC2,即(3+x)2=(3-x)2+42,解得x=

,则DM=3+

=

.故选A.5.(2018山西,15,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径

作☉O,☉O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作☉O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为

.

答案

解析如图,连接OF.

∵FG为☉O的切线,∴OF⊥FG.∵Rt△ABC中,D为AB中点,∴CD=BD,∴∠DCB=∠B.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC,∴∠CFO=∠B,∴OF∥BD,∴AB⊥FG.∵O为CD的中点,∴F为BC的中点,∴CF=BF=

BC=4.∵Rt△ABC中,AB=

=10,∴sin∠B=

=

,∴在Rt△BGF中,FG=BFsin∠B=4×

=

.思路分析

连接OF,可判断OF⊥FG,由∠OCF=∠OFC,∠OCF=∠B可得∠OFC=∠B,所以OF

∥BD,所以AB⊥FG.在Rt△ABC中求出sin∠B,再在Rt△BFG中,利用FG=BFsin∠B求得FG.6.(2016黑龙江哈尔滨,18,3分)如图,AB为☉O的直径,直线l与☉O相切于点C,AD⊥l,垂足为D,

AD交☉O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为

.

答案

4解析设OC与BE相交于点F,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∵AO=5,∴AB=10.在Rt△AEB中,AE=6,∴BE=

=8.∵直线l是☉O的切线,∴OC⊥CD,又∵AD⊥CD,AE⊥EB,∴四边形CDEF为矩形,∴DC=EF=

BE=4.

7.(2015江苏镇江,10,2分)如图,AB是☉O的直径,OA=1,AC是☉O的弦,过点C的切线交AB的延长

线于点D.若BD=

-1,则∠ACD=

°.

答案

112.5解析连接OC,因为DC是☉O的切线,所以OC⊥CD.因为OC=OB=OA=1,OD=OB+BD=

,所以DC=

=1,所以OC=CD,所以∠COD=45°,所以∠ACO=

∠COD=22.5°,所以∠ACD=22.5°+90°=112.5°.8.(2014山东青岛,12,3分)如图,AB是☉O的直径,BD,CD分别是过☉O上点B,C的切线,且∠BDC

=110°.连接AC,则∠A的度数是

°.

答案

35解析连接BC,易知DB=DC,所以∠DBC=

(180°-∠BDC)=35°,又∠A+∠ABC=∠DBC+∠ABC=90°,所以∠A=∠DBC=35°.9.(2018天津,21,10分)已知AB是☉O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°.(1)如图①,若D为 的中点,求∠ABC和∠ABD的大小;(2)如图②,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.

解析

(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠ABC=90°.又∠BAC=38°,∴∠ABC=90°-38°=52°.由D为 的中点,得 = .∴∠ACD=∠BCD=

∠ACB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.(2)如图,连接OD.

∵DP切☉O于点D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°.由DP∥AC,又∠BAC=38°,∴∠P=∠BAC=38°.∵∠AOD是△ODP的外角,∴∠AOD=∠ODP+∠P=128°.∴∠ACD=

∠AOD=64°.又OA=OC,得∠ACO=∠BAC=38°.∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.思路分析

(1)根据直径所对的圆周角是直角,等弧所对的圆周角相等可以求解;(2)连接OD,根

据平行线的性质,圆的切线的性质求得∠P,∠AOD的度数,即可求得∠OCD的大小.10.(2018内蒙古包头,24,10分)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC长为半径的圆

交AB于点D,BA的延长线交☉A于点E,连接CE,CD,F是☉A上一点,点F与点C位于BE两侧,且∠

FAB=∠ABC,连接BF.(1)求证:∠BCD=∠BEC;(2)若BC=2,BD=1,求CE的长及sin∠ABF的值.

解析

(1)证明:∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°.∵DE是☉A的直径,∴∠DCE=90°,∴∠BEC+∠CDE=90°.∵AD=AC,∴∠CDE=∠ACD,∴∠BCD=∠BEC.

(3分)(2)∵∠BCD=∠BEC,∠EBC=∠CBD,∴△BDC∽△BCE,∴

=

=

.∵BC=2,BD=1,∴BE=4,EC=2CD,∴DE=BE-BD=3.在Rt△DCE中,DE2=CD2+CE2=5CD2=9,∴CD=

,∴CE=

.

(6分)过点F作FM⊥AB于点M,∵∠FAB=∠ABC,∠FMA=∠ACB=90°,∴△AFM∽△BAC,∴

=

.∵DE=3,∴AD=AF=AC=

,∴AB=

,∴FM=

.过点F作FN⊥BC于点N,∴∠FNC=90°.∵∠FAB=∠ABC,∴FA∥BC,∴∠FAC=∠ACB=90°,∴四边形FNCA是矩形.∴FN=AC=

,NC=AF=

,∴BN=

.在Rt△FBN中,BF=

.∴在Rt△FBM中,sin∠ABF=

=

.

(10分)

思路分析

(1)由∠ACB=90°得∠BCD+∠ACD=90°,由DE是☉A的直径知∠DCE=90°,所以∠BEC+∠CDE=90°,由AD=AC得∠CDE=∠ACD,根据等角的余角相等可得结论;(2)证得△BDC

∽△BCE,求出Rt△DCE的各边边长,作FM⊥AB,构造直角三角形,由相似求得FM,作FN⊥BC于

点N,得矩形FNCA和Rt△FNB,求得FB的长,在Rt△FBM中,由

求得sin∠ABF的值.解后反思

本题考查了圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质等知识.由△BDC∽△BCE不仅要求得BE的长,还需得到结论EC=2CD,这是求得CE的关键,作出辅助线构造直角三

角形和矩形是求相应线段长度的有效途径.11.(2018湖北武汉,21,8分)如图,PA是☉O的切线,A是切点,AC是直径,AB是弦,连接PB、PC,PC

交AB于点E,且PA=PB.(1)求证:PB是☉O的切线;(2)若∠APC=3∠BPC,求

的值.

解析

(1)证法一:连接OP,OB.在△OAP和△OBP中,

∴△OAP≌△OBP,∴∠OAP=∠OBP,∵PA是☉O的切线,∴∠OBP=∠OAP=90°,∴PB是☉O的切线.证法二:连接OB.∵PA是☉O的切线,∴∠PAO=90°.∵OA=OB,PA=PB,∴∠OAB=∠OBA,∠PAB=∠PBA.∴∠PBO=∠PAO=90°,∴PB是☉O的切线.(2)连接BC,设OP交AB于点F,∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.∵PA,PB是☉O的切线,∴PO垂直平分AB,PO平分∠APB,∴BC∥PO,∴∠OPC=∠PCB.∵∠APC=3∠BPC,∴∠OPC=∠BPC,∴∠PCB=∠BPC,∴BC=BP.设OF=t,则BC=BP=2t,由△PBF∽△POB,得PB2=PF·PO,即(2t)2=PF·(PF+t).解得PF=

t(取正值).∵△PFE∽△CBE,∴

=

=

.解题技巧

对于含有切线的解答题,首先要想到的是作“辅助线”,由此获得更多能够证明题

目要求的条件.一般作“辅助线”的方法为“见切点,连圆心”,构造直角三角形(或垂直),然后

利用切线性质及直角三角形的边角关系、勾股定理进行证明或计算.12.(2018湖北黄冈,18,7分)如图,AD是☉O的直径,AB为☉O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交

于点P,过B点的切线交OP于点C.(1)求证:∠CBP=∠ADB;(2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长.

解析

(1)证明:连接OB,则OB⊥BC,∴∠OBD+∠DBC=90°,又AD为☉O的直径,∴∠DBA=90°,

∴∠DBP=∠DBC+∠CBP=90°,∴∠OBD=∠CBP,又OD=OB,∴∠OBD=∠ODB,∴∠ODB=∠CBP,即∠ADB=∠CBP.(2)在Rt△ADB和Rt△APO中,∠DAB=∠PAO,∴Rt△ADB∽Rt△APO,∴

=

,∵AB=1,AO=2,∴AD=4,∴AP=

=8,∴BP=7.13.(2018辽宁沈阳,22,10分)如图,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切

线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.

解析

(1)连接OA,

∵AC为☉O的切线,OA是☉O的半径,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°,∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°,∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵ = ,∴∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C,∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴3∠C=90°,∴∠C=30°,∵∠OAC=90°,∴OA=

OC,设☉O的半径为r,∵CE=2,∴r=

(r+2),∴r=2,∴☉O的半径为2.14.(2018江西,20,8分)如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切

于点C,过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.(1)求证:AB为☉O的切线;(2)若BC=6,tan∠ABC=

,求AD的长.

解析

(1)证明:过点O作OE⊥AB于点E,即∠OEB=90°.∵BC切☉O于点C,∴∠OCB=∠OEB=90°.∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°.∵∠AOD=∠BOC,∴∠CBD=∠OAD.∵∠D=90°,∠AOD=∠BAD,∴∠OAD=∠ABD,∴∠ABD=∠CBO.∴OE=OC.∴AB为☉O的切线.(2)∵BC=6,tan∠ABC=

,∠ACB=90°,∴AC=BC·tan∠ABC=8.∴AB=

=10.∵AB与BC均为☉O的切线,∴BE=BC=6.∴AE=AB-BE=10-6=4.设OC=OE=x,则在Rt△AEO中,有(8-x