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文档简介

曲边梯形面积与定积分

教学目标1.知识与技能：了解求简单曲边梯形（轴上方）的面积的一般求法（即“分割以直代曲作和逼近”），在“以直代曲”方案比较中建构出定积分的概念，初步理解定积分的几何意义，能利用定积分求曲边梯形的面积.

2.过程与方法：在问题解决（求曲边梯形）的过程中，体会“以直代曲”的方法和极限的思想；在方案比较中建构数学知识；初步体会数学的思维过程，学会猜想、比较、验证.

3.情感态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，培养借助信息技

术探究数学问题的意识，感受数学思维的全过程，改善数学学习信念.图1(1)(2)(3)一、情境创设已知某物体做变速直线运动，设经过ts后的运动速度为v(t)（单位：m/s），v(t)的图象如图1中曲线所示，试求内物体运动的总路程.由物理学知识可知，s即对应曲线下方的“曲边梯形”的面积.因此，问题即转化为求如何求一曲边梯形的面积，如果说图（2）中“曲边梯形”面积可分解为三个梯形的面积，那么图（3）中“曲边梯形”面积又该如何求呢？求直线和曲线所围成的图形（曲边三角形）的面积s.二、操作探究活动1方案提出几何画板演示基本思想：1、分割等分成个小区间（思考：为什么要等分区间？）：，，…，，…，,活动2、方案落实（以左端点对应的函数值为矩形的边长为例）把区间，，每个区间的长度为.过各区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作，，…，.即

2、以直代曲上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即.对区间图2(1)(2)(3)(4)3、作和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形的面积之和就是所求曲边三角形面积的近似值，其中.4、逼近（亦即）时，.由

当分割无限变细，即，从而.活动3方案比较(1)(2)(3)图4三种方案，即分别以矩形ABCD、矩形ABEF、梯形ABDE来近似代替相应曲边梯形的面积.具体方案中虽然面积会有差异即，但当时，其和式均无限趋近于同一结果，即均能用来求曲边梯形的所对应的函数值作为小矩形一边的长.和式近似表示曲边梯形面积.

面积（一方面通过电脑操作让学生感受，同时借助公式简单推导从而强化认识）.从而可将“以直代曲”的方案加以拓展，即可以取小区间内任意一点三、概念揭示对于一般函数，可以采用上述方法求相应曲边梯形的面积.等分成，个小区间，每个小区间长度为以直代曲：在每个小区间上任取一点，依次为，…，；分割：将区间求和：；逼近：（亦即）时，.1、概念：称该常数S为函数在区间上的定积分，记为，其中称为被积函数，为积分区间，称为积分下限，为积分上限.非负时，即为轴上方的曲边梯形的面积2、定积分的几何意义，当四、初步应用例1、试用定积分表示下列曲边梯形的面积，并借助于信息技术求出相应结果.（1）、计算直线x=-4，x=2，y=0，和曲线（1）、曲边梯形面积为（2）、曲

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