高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和1课件新人教版A

§2.3

等差数列的前n项和(一)第二章数列1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．学习目标题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点一等差数列前n项和公式的推导高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？答案不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]．两式相加，得2Sn＝n(a1＋an)，梳理根据等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，代入上式可得Sn＝na1＋___________.知识点二等差数列前n项和公式的特征思考1

答案等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？思考2

我们对等差数列的通项公式变形：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下Sn答案梳理等差数列{an}的前n项和Sn，有下面几种常见变形：知识点三等差数列前n项和公式的性质思考

如果{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列吗？答案(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10)＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10)＝

＝100d，类似可得(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d.∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差数列．

梳理(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.(2)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝

，且S偶－S奇＝

，(3)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝

，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)·an，

n(an＋an＋1)nd(2n－1)an题型探究命题角度1方程思想例1已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？类型一等差数列前n项和公式的应用解答

方法一由题意知S10＝310，S20＝1220，

②－①得a20－a10＝60，∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4.(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用；(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．反思与感悟跟踪训练1

在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

解答命题角度2实际应用例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解答

设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．

反思与感悟跟踪训练2

甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？

设n分钟后第1次相遇，依题意，解答解之得n＝7，n＝－20(舍去)．所以第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？

设n分钟后第2次相遇，依题意，解答整理得n2＋13n－420＝0.解之得n＝15，n＝－28(舍去)．所以第2次相遇是在开始运动后15分钟．类型二等差数列前n项和的性质的应用例3

(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；解答

方法一在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.

解答反思与感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3

设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列

的前n项和，求Tn.解答

设等差数列{an}的公差为d，∵S7＝7，S15＝75，

当堂训练1.在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是A.12 B.24C.36 D.48√答案解析

12342.记等差数列的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d等于A.2 B.3C.6 D.7√答案解析

解得d＝3.方法二由S4－S2＝a3＋a4＝a1＋2d＋a2＋2d＝S2＋4d，所以20－4＝4＋4d，解得d＝3.12343.在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝____.

＝19a10

＝19×10＝190.1234190答案解析4.已知等差数列{an}中，

整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，1234解答∴n＝12，an＝a12＝－4.(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.

解得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.解答1234规律与方法1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中