求数列通项方法归纳总结

求数列通项公式的方法一、公式法：适用于求符合定义的等差数列或等比数列的通项公式。例1.已知数列满足求数列的通项公式。解：∵∴数列是首项为公比为的等比数列∴数列的通项公式是。练习.已知数列满足,求数列的通项公式。解：∵∴∴数列是首项为公差为的等差数列∴数列的通项公式为二、累加法：适用于------这是广义的等差数列例2.已知数列满足求数列的通项公式。解：∵∴∴时,时,适合上式∴数列的通项公式为。练习2.在数列中，，，求数列的通项公式.解：∵∴∴时,又时,适合上式∴数列的通项公式是评注：已知，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.=1\*GB3①若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;=2\*GB3②若是关于n的二次函数，累加后可分组求和;=3\*GB3③若是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;=4\*GB3④若是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。三、累乘法例3：在数列中，，，求数列的通项公式。解：∵，∴时，时，适合上式。∴数列的通项公式是。练习3.设是首项为1的正项数列，(n=1，2，3，…)，求数列的通项公式。解：∵∴∵是正项数列∴即∴时，时，适合上式。∴数列的通项公式是评注：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法。四、倒数变换法：适用于分式关系的递推式,分子只有一项。例4：已知数列中,求数列的通项公式。解：∵∴∴ ∴是首项为公差为的等差数列. ∴ ∴数列的通项公式.是。练习4．设数列满足求数列的通项公式。解：∵∴∴∴数列是首项为，公比为3的等比数列∴∴∴数列的通项公式是五、 利用与的的关系若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例5：已知数列的前n项和满足，求的通项公式。解：时,===3时,不适合上式∴的通项公式是评注：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。练习5：已知数列的前项和为，，，,求解法1：∵∴即∴数列是首项为，公比为的等比数列∴解法2：∵∴时， 即 ∵∴ ∴时，数列是首项，公比为的等比数列 六、辅助数列法(换元法)有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列(换元)为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例6：已知数列中,,求数列的通项公式。解法一：∵∴,∴是首项为公比为的等比数列∴∴解法二：∵∴∴两式相减得 ∴数列是首项为2,公比为的等比数列∴,∴时,时,适合上式∴数列的通项公式是练习6：在数列中，，求数列的通项公式。解：∵∴∴∴数列是首项为公比为3的等比数列∴∴数列的通项公式是练习7：.在数列中，，，，求数列的通项公式。解：∵∴∴数列是常数列∴∴∴数列是首项为，公比为的等比数列∴∴数列的通项公式是=练习8.已知数列{}中，，，求数列{}的通项公式。解：∵∴两边都除以，得∴∴数列是首项为，公比为的等比数列∴∴∴数列{}的通项公式练习9.已知数列{}中,当时,,求数列{}的通项公式。解：∵当时,∴∴∴是首项为，公比为的等比数列∴∴时, 又时，适合上式∴数列{}的通项公式为练习10．设数列的首项．（1）求的通项公式； 解：∵ ∴∴∴是首项为，公比为的等比数列∴，∴∴的通项公式为评注：(1)一般地，对递推关系式(p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成则{}成等比数列，实际上这里的是特征方程x=px+q的根。(2)f(n)为等比数列，如f(n)=(q为常数)，两边同除以qn，得，令，可转化为的形式。七、待定系数法1.可构造为形如的等比数列。例7.已知数列，其中，且，求数列的通项公式。解：将原递推变形为，设bn＝……①得……②设②式可化为，比较得于是有数列是一个以为首项，公比是－3的等比数列。所以，即，代入①式中得：为所求。2.己知型递推式,可构造形如的等比数列。例8.在数列中，，求数列的通项公式。解：原递推式可化为，比较系数可得：，，设,则上式即为∴是一个等比数列，首项，公比为的等比数列。所以。即，故数列的通项公式为。练习11.在数列中，求数列的通项公式。解：设原递推式可化为，则比较系数可得，解得∴∴∴数列是首项为，公比为的等比数列∴∴数列的通项公式为八、逐项相减法（阶差法）：已知和的混合式用此法例9.在数列中，,求数列的通项公式解：∵…………(1)∴…………(2)(1)(2)得∴∴时，时,适合上式∴数列的通项公式是练习12..已知数列{an}中，求数列的通项公式解：∵∴两式相减，得∴当是奇数时，数列是首项为，公差为2的等差数列，这时∵∴∴当是偶数时，数列是首项为，公差为2的等差数列，这时∴数列的通项公式是。练习13．设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.解：(Ⅰ)依题意,,又,所以；(Ⅱ)当时,,两式相减得整理得,即,又故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.(Ⅲ)当时,；当时,；当时,,此时综上,对一切正整数,有.练习14．设数列的前项和为，满足，且成等差数列。（1）求的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数，有解：（1）由已知得∴由已知得∴∵成等差数列∴∴解得（2）∵…………①∴…………②②①得：∴∴∴（3）法一、当时，当时，由上式得：对一切正整数，有法二、∴∴法三、∵∴∴当时，，，…… 累乘得∴评注：有时我们从递推关系中把换成有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式,九、特征根法例10.已知数列中，,求数列的通项公式。解：由特征方程得∵∴∴∴ ∴是首项为公差为的等差数列∴∴练习15．已知数列中，,求数列的通项公式。解：由特征方程，得∵∴令，则∴数列是首项为,公比为2的等比数列∴即,从而∴数列的通项公式为练习16已知数列中，,求数列的通项公式。 解：由特征方程，得∵∴令,则∴数列是首项为,公比