福建省南平市南山中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

福建省南平市南山中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数与的图像交点的横坐标所在区间为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.定义式子运算为将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是：第一个数是1，第二个数比第一个数大1，第三个数比第二个数大2，第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入A.

B.

C.

D.参考答案：D4.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：B【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N?平面AEF，AE?平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，=，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，==，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[，]．故选B．【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．5.等差数列的前n项和是Sn，若，，则S10的值为

A．55

B．60

C．65

D．70参考答案：C6.三条不重合的直线及三个不重合的平面，下列命题正确的是（）A．若，则

B．若，则C．若，则 D．若，则参考答案：D7.曲线与曲线之间具有的等量关系

有相等的长、短轴

有相等的焦距

有相等的离心率

有相同的准线参考答案：B8.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是A.

B.1

C.

D.

参考答案：A9.设则的值为

A1

B

0

C

-1

D

参考答案：B．是无理数，故选B.10.已知向量，满足?=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（）A．0 B． C．4 D．8参考答案：B【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】利用题中条件，把所求|2|平方再开方即可【解答】解：∵=0，||=1，||=2，∴|2|====2故选B．【点评】本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设集合，则=_________.参考答案：12.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣表示x的非负纯小数，则y=称为高斯函数，已知数列{an}满足：，则a2017=．参考答案：【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由于：，经过计算可得：数列{a2k﹣1}成等差数列，首项为，公差为3．即可得出．【解答】解：满足：，∴a2=1+=2+．a3=2+=3+=4+（﹣1），a4=4+=5+，a5=5+=6+=7+（﹣1）．a6=7+=8+，a7=8+=9+=10+（﹣1），…，可得：数列{a2k﹣1}成等差数列，首项为，公差为3．则a2017=+3×（1009﹣1）=3024+．故答案为：．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.已知复数，是z的共轭复数，则___________.参考答案：

14.已知为第二象限角，，则

．参考答案：略15.理：已知集合，，则

.参考答案：；16.已知tanα＝4，则的值为

参考答案：17.6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________种．参考答案：480略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为(为参数，)，

(Ⅰ)求C1的直角坐标方程；

(Ⅱ)当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围.参考答案：解：(Ⅰ)曲线的极坐标方程为,

即，

∴曲线的直角坐标方程为.

(Ⅱ)曲线的直角坐标方程为,为半圆弧，如下图所示，曲线为一组平行于直线的直线，当直线与相切时，由得，舍去，则，当直线过点、两点时，，∴由图可知，当时，曲线与曲线有两个公共点.19.（本题12分）在中，设角的对边分别是，，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若,求的面积．参考答案：略20.如图，在棱长为1的正方体ABCD—中，E是BC的中点，平面交于点F.（Ⅰ）指出点F在上的位置，并证明；（Ⅱ）判断四边形的形状,并求其面积；（Ⅲ）求三棱锥的体积.参考答案：（本小题满分12分）解:（Ⅰ）F为上的中点.证明如下:取上的中点F,连接DF,ED,,

平面交于的中点F.------------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平行四边形.

又,,..

--------8分（Ⅲ）过F作与H,连结EH,则,且.

------12分略21.如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点，直线AC与直线BD交于点．

（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线l的方程；（3）求证：为定值．

参考答案：解:（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.得

解得

所以，椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，设，因为，得，所以，

代入椭圆方程得或，所以或，所以的方程为：或.

（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程，联立椭圆方程得：解得,.

由，得直线BD的方程：，

①直线AC方程为，

②联立①②得，

从而=2为定值.

解法2：设D坐标为(x3，y3），由C,M,D三点共线得，所以，

①

由B,D,N三点共线得，将代入可得，

②

①和②相乘得，.

22.某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有两条巷道通往作业区(如下图)，巷道有三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是；巷道有两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为．

（Ⅰ）求巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（Ⅱ）若巷道中堵塞点个数为，求的分布列及数学期望，并按照＂平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线＂的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．

参考答案：解：（Ⅰ）设巷道中,三个易堵塞