2025年春新湘教版七年级数学下册全册教学课件

新湘教版数学七年级下册全册教学课件2025年春季新版教材同底数幂的乘法湘教版·七年级数学下册①复习导入aaa2aa3＝a·a＝a·a·a23a4a5a6an＝a·a·a·a＝a·a·a·a·a＝a·a·a·a·a·a＝a·a········an个有理数naan＝a·a········an个求n个相同因数的乘积的运算，叫作乘方.复习导入底数指数乘方幂≈n个相同的因数乘积的简便记号，叫作幂.公元1607年，利玛窦和徐光启合译欧里几得的《原本》时，对“幂”字做了注解：“自乘之数曰幂.”拓展知识探究新知22×24＝____________;a2·a4＝____________;a3·am＝____________(m是正整数).观察22aaaa同底数幂相乘.22×24＝（2×2）×（2×2×2×2）＝2×2×2×2×2×2＝26.2个24个2（2＋4）个2a2·a4＝（a·a）·（a·a·a·a）＝a·a·a·a·a·a＝a6.2个a4个a（2＋4）个aa3·am＝(a·a·a)·(a·a·····a)＝a·a·a·····a＝a3+m.3个am个a（3＋m）个a通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？222aaaaaa2462463m3+m底数不变，指数相加.26a6a3+m探究新知22×24＝____________;a2·a4＝____________;a3·am＝____________（m是正整数）;观察22aaaa同底数幂相乘.22×24＝（2×2）×（2×2×2×2）＝2×2×2×2×2×2＝26.2个24个2（2＋4）个2222246a2·a4＝（a·a）·（a·a·a·a）＝a·a·a·a·a·a＝a6.2个a4个a（2＋4）个aaaa246a3·am＝（a·a·a)·(a·a·

····a）＝a·a·a·····a＝a3+m.3个am个a（3＋m）个aaaa3m3+m抽象我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即猜想am·an

am+n.＝26a6a3+m26a6a3+m24243m我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即am·an

am+n.＝观察抽象猜想论证am·an＝（a·a·····a）·（a·a·····a）m个an个a＝a·a·a·····a（m＋n）个a＝am+n（m，n都是正整数）.证明：

am+n←乘方的意义←乘法结合律←乘方的意义22×24＝____________;a2·a4＝____________;a3·am＝____________（m是正整数）;22aaaa26a6a3+m26a6a3+m24243m探究新知同底数幂相乘.探究新知我们把上述运算过程推广到一般情况（即am·an），即观察抽象猜想论证am·an＝

am+n（m，n都是正整数）.也就是am·an＝（a·a·····a）·（a·a·····a）m个an个a＝a·a·a·····a（m＋n）个a＝am+n（m，n都是正整数）.证明：

am+n于是，我们得到：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.22×24＝____________;a2·a4＝____________;a3·am＝____________（m是正整数）;22aaaa26a6a3+m26a6a3+m24243m同底数幂相乘.“特殊”“一般”严格的证明乘法法则探究新知例1计算:（1）105×103；（2）x3·x4.解：

105×103=105+3=108.解:

x3·x4=x3+4=x7.[教材P3例题1]下列计算对不对？如果不对，应该怎样改正？(1)a2·a5=

a10.(2)a3·a3=

2a6.(3)a

·a4=

a4.(1)a2·a5=

a7.(2)a3·a3=

a6.(3)a

·a4=

a5.×××探究新知（1）-a·a3;解:

-a·a3=(-1)·a1+3=﹣a4（2）-y

n·y

n+1

(n为正整数).解：

-yn·yn+1=(-1)·yn+n+1=-y2n+1.例2计算:[教材P3例题2]探究新知思考：当三个或三个以上的同底数幂相乘时，怎样用公式表示运算的结果呢？am·an·ak＝（a·a·····a）·（a·a·····a）·（a·a·····a）m个an个a＝a·a·a·····a（m＋n＋k）个a＝am+n+k(m，n，k都是正整数).证明：

am+n+kam·an·ak=?(m，n，k都是正整数).k个a也就是am·an·ak＝am+n+k同理可知，若三个以上的同底数幂相乘，底数______，指数______.不变相加探究新知例3计算：（2）(-x)×(-x2)×(-x3)；

（1）y·y2·y4.解:

y·y2·y4=(y·y2)·y4=y7.=y3·y4或:

y·y2·y4=y1+2+4=y7.解:

(-x)×(-x2)×(-x3)=-(x·x2·x3)=-x6或:

(-x)×(-x2)×(-x3)=-x1+2+3=-x6.=-(x3·x3)[选自教材P3例题3]幂的乘方湘教版·七年级数学下册①复习导入幂：＝ana·a········an个n个相同的因数乘积的简便记号，叫作幂.同底数幂的乘法法则：am·an＝

am+n（m，n都是正整数）.同底数幂相乘，底数不变，指数相加.an幂乘方≈求n个相同因数的乘积的运算，叫作乘方.乘方：“自乘之数曰幂.”（22）3＝___________；（a2）3＝__________;（a2）m＝____________（m是正整数）.探究新知观察求幂的乘方.（22）3＝22·22·22＝22×3＝26.（a2）3＝a2·a2·a2＝a2+2+2＝a6.（a2）m＝（a2·a2·····a2）＝a2+2+···+2＝a2×mm个a2m个2通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？2aaa232362m底数不变，指数相乘.26a6a2m＝a2×3＝a2ma2m262aa23232m26a62m26a6a探究新知（22）3＝___________；（a2）3＝__________;（a2）m＝____________（m是正整数）.观察求幂的乘方.（22）3＝22·22·22＝22×3＝26.（a2）m＝（a2·a2·····a2）＝a2+2+···+2＝a2×mm个a2m个2＝a2m（a2）3＝a2·a2·a2＝a2+2+2＝a6.＝a2×32aa23232m26a6a2ma2m26a6抽象同样，我们把上述运算过程推广到一般情况，即（am）n＝猜想amn探究新知（22）3＝___________；（a2）3＝__________;（a2）m＝____________（m是正整数）.观察求幂的乘方.2aa23232m26a6a2ma2m26a6抽象同样，我们把上述运算过程推广到一般情况，即猜想论证（am)

n＝am·am·····amn个am＝am+m+···+mn个m（m，n都是正整数）.证明：（am）n＝amn＝amn

amn←乘方的意义←同底数幂的乘法法则（22）3＝___________；（a2）3＝__________;（a2）m＝____________（m是正整数）.观察求幂的乘方.2aa23232m26a6a2ma2m26a6抽象同样，我们把上述运算过程推广到一般情况，即猜想论证探究新知（am)

n＝am·am·····amn个am＝am+m+···+mn个m（m，n都是正整数）.证明：＝amn

amn于是，我们得到：幂的乘方，底数不变，指数相乘.“特殊”“一般”严格的证明(am)n＝

amn(m，n都是正整数).也就是幂的乘方乘法法则探究新知（am）n＝

amn（m，n都是正整数）.幂的乘方，底数不变，指数相乘.am·an＝

am+n（m，n都是正整数）.同底数幂相乘，底数不变，指数相加.同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则的区别与联系.m+nn

mmnn

maaaaa底数不变底数不变议一议下列计算对不对？如果不对，应该怎样改正？(1)(a2)5=a7(2)(a3)2=a9(1)(a2)5=a2×5=a10(a3)2

=a2×3

=a6××[教材P5议一议]探究新知例4计算：（1）(105)2；（2）﹣(a3)4.解：(105)2＝105×2＝1010.解：﹣(a3)4＝﹣a3×4＝﹣a12.[教材P5例4]探究新知探究新知例5计算：（1）(xm)4(m是正整数)；（2）(a4)3·a3.解：(xm)4＝xm×4＝x4m.解：(a4)3

·a3

＝a4×3·a3

＝a12+3

＝a15.[教材P5例5]积的乘方湘教版·七年级数学下册①复习导入幂乘方≈an??同底数幂的乘法幂的运算am·an＝

am+n（m，n都是正整数）.同底数幂相乘，底数不变，指数相加.m+nn

maaa幂的乘方（am）n＝

amn（m，n都是正整数）.幂的乘方，底数不变，指数相乘.mnn

maa积的乘方探究新知（3x）2＝______；

（ab）3＝_______.观察(3x)2＝3x·3x＝（3×3）·（x·x）＝9x2.(ab)3＝（ab）·（ab）·（ab）＝（a·a·a）·（b·b·b）通过观察，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？9x2a3b3＝a3b3抽象猜想论证（乘方的意义）(乘法交换律和结合律)积的乘方.观察抽象猜想论证探究新知(3x)2＝______；

(ab)3＝_______.通过观察运算过程，你能推导出下面的公式吗？9x2a3b3求积的乘方.（ab）n＝anbn（n是正整数）anbn（3x）2＝______；

（ab）3＝_______.通过观察运算过程，你能推导出下面的公式吗？9x2a3b3（ab）n＝观察抽象猜想论证(ab)n＝（ab）·（ab）·····（ab）n个abn个b＝（a·a·····a）·（b·b·····b）n个a＝anbn（n都是正整数）.证明：

anbn←乘方的意义←乘法分配律和结合律←乘方的意义（ab）n＝

anbn（n都是正整数）.于是，我们得到：积的乘方，求积的乘方.探究新知等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.abnbann（n是正整数）探究新知(abc)n＝anbncn(n是正整数)成立吗？试说明理由.(abc)n＝(abc)·(abc)·····(abc)n个abcn个b＝(a·a·····a)·(b·b·····b)·(c·c·····c)n个a＝anbncn（n是正整数）.证明：anbncnn个c←乘方的意义←乘法分配律和结合律←乘方的意义探究新知积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.（ab）n＝anbn（n都是正整数）.积的乘方同底数幂的乘法幂的运算幂的乘方（am）n＝

amn（m，n都是正整数）.mnn

maa幂的乘方，底数不变，指数相乘.am·an＝

am+n（m，n都是正整数）.m+nn

maaa同底数幂相乘，底数不变，指数相加.正整数指数幂正整数指数幂探究新知（am）n＝

amn（m，n都是正整数）.mnn

maa幂的乘方，底数不变，指数相乘.am·an＝

am+n（m，n都是正整数）.m+nn

maaa同底数幂相乘，底数不变，指数相加.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.（ab）n＝anbn（n都是正整数）.底数相等指数相等逆用例6计算：（1）(﹣2x)3;（2）(xy2)5;解：（1）(﹣2x)3＝(﹣2)3·x3＝﹣8x3.（2）(xy2)5＝x5·y2×5＝x5y10.[教材P6例题6]（3）(-xy)2;（3）(-xy)2＝(-x)2·y2＝x2y2.做一做下列计算对不对？如果不对，请改正(1)(ab3)2=ab6(2)(2xy)3=6x3y3(3)(-3a2b)2=9a4b(4)(-x3y)5=x15y5(1)(ab3)2=a2b6××(2)(2xy)3=8x3y3×(3)(-3a2b)2=9a4b2(4)(-x3y)5=-x15y5×[教材P7做一做]例7计算：（1）(3x5)4－(2x4)5解：(3x5)4－(2x4)5＝81x20－32x20＝49x20[教材P7例7]（2）(-x2y2)3－(4x3y3)2解：(-x2y2)3－(4x3y3)2＝-x6y6－16x6y6＝

-17x6y6巩固练习1.计算：（2）(﹣xy)4解：(﹣xy)4＝

（﹣1）4·

x4·

y4＝

x4y4.（3）(﹣5x3y)3

解：(﹣5x3y)3＝(﹣5)3·(x3)3·(y)3＝﹣125x9y3.

（4）(﹣3ab2c3)4解：(﹣3ab2c3)4

＝(﹣3)4·a4·(b2)4·

(c3)4

＝81a4b8c12（1）(x)3

解：

(x)3＝()3·x3＝

x3.[教材P7练习第1题]单项式的乘法湘教版·七年级数学下册①复习导入同底数幂的乘法幂的运算幂的乘方am·an＝

am+n（m，n都是正整数）.同底数幂相乘，底数不变，指数相加.m+nn

maaa底数不变（am）n＝

amn（m，n都是正整数）.幂的乘方，底数不变，指数相乘.mnn

maa底数不变积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.（ab）n＝anbn（n都是正整数）.复习导入=(-a3)·a2=﹣a5=x·x2=

x3=x2·(-x3)=﹣x5=(-a3)·a2·(-a)=a6探究新知怎样计算单项式4xy与单项式﹣3xy2的乘积？4xy·(﹣3xy2)＝[4×(-3)](x·x)(y·y2)＝_______________________﹣12x2y3一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘.（利用乘法交换律及结合律）单项式的乘法法则思考各因式系数的积作为积的系数相同字母指数的和作为积中这几个字母的指数探究新知例8计算：（1）(﹣2xy2)·3x2y（2）(4x)3·(-5xy3)解：（1）(﹣2xy2)·3x2y=[(﹣2)·3](x·x2)(y2·y)=﹣6x3y3.（2）(4x)3·(-5xy3)=[43·(﹣5)](x3·x)·y3=-320x4y3.[教材P8例8]只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。探究新知例8计算：解：(n是正整数)做一做计算，并将结果与同学交流解[教材P9做一做]例9计算：2xy2·x3y3+(-5x3y4)·(-3xy)2xy2·x3y3+(-5x3y4)·(-3xy)解：=2x1+3y2+3+15x3+1y4+1=2x4y5+15x4y5=17x4y5[教材P9例9]步骤:(1)应先确定积的符号，再计算积的绝对值；(2)相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；(3)只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏。探究新知例10

天文学上计算天体之间的距离常用“光年”作为单位，1光年就是光在真空中沿直线传播一年所经过的距离.光在真空中的速度约为3×108m/s，1年约为3.15×107s.计算1光年约多少米.解：根据题意得3×108×3.15×107＝（3×3.15）×（108×107

）＝9.45×1015(m)答：1光年约9.45×1015米.分析：距离=速度×时间；即（3×108）×（3.15×107）.[教材P9例10]巩固练习1.计算：解：[教材P9练习第1题]巩固练习2.计算（其中n是正整数）：解：[教材P9练习第2题]巩固练习3.下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正？××[教材P9练习第3题]习题1.1湘教版·七年级数学下册①1.填空(1)a2·a3=______(2)x·x3·x4=______(3)(-x)2·(-x)3=______(4)(-a)3·(-a)2·(-a)

=______a5x8-x5a62.计算(1)(a2)4(2)(-xm)5(m是正整数)(3)-(3xy3)2(4)(p2q)n(n是正整数)解(1)(a2)4=a8(2)(-xm)5=-x5m(3)-(3xy3)2=-9x2y6(4)(p2q)n=p2nqn3.计算(1)(2×105)×(3×106)(2)(1.2×104)×(-2.5×107)解(1)(2×105)×(3×106)=(2×3)×(105×106)=6×1011(2)(1.2×104)×(-2.5×107)=1.2×(-2.5)×(104×107)=-3×10114.从太阳系外距地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光，大约需要4.2年时间才能到达地球。光的速度约为3×108m/s,1年以3.15×107s计算，求这颗恒星与地球的大概距离。解：路程=时间×速度3.15×107×4.2×3×108=3.969×1016(m)答：这颗恒星与地球的大概距离3.969×1016m。5.计算(1)2x3·3xy(2)4x2y·(-5xy2)(3)axn-1y·axyn-1(其中a是非零常数，n>1，且n是正整数)解：2x3·3xy=6x4y4x2y·(-5xy2)=-20x3y3axn-1y·axyn-1=a2xnyn6.计算(1)(2x2y-xy)·3xy(2)解：(2x2y-xy)·3xy=2x2y·3xy-xy·3xy=6x3y2-3x2y2(3)3x2·(-2xy)2-x3·(xy2-2)(4)4x·(x2y-xy2)-3y·(5x3+x2y)3x2·(-2xy)2-x3·(xy2-2)解：=3x2·4x2y2-x3·xy2+2x3=12x4y2-x4y2+2x3=11x4y2+2x34x·(x2y-xy2)-3y·(5x3+x2y)=4x·x2y-4x·xy2-3y·5x3-3y·x2y=4x3y-4x2y2-15x3y-3x2y2=-11x3y-7x2y27.计算(1)(3x+2y)(7x-6y)(2)(2x-5y)(2xy-3y2)解：(3x+2y)(7x-6y)=3x(7x-6y)+2y(7x-6y)=3x·7x-3x·6y+2y·7x-2y·6y

=21x2-18xy+14xy-12y2

=21x2-4xy-12y2

(2x-5y)(2xy-3y2)=2x(2xy-3y2)-5y(2xy-3y2)=2x·2xy-2x·3y2-5y·2xy+5y·3y2

=4x2y-6xy2-10xy2+15y3

=4x2y-16xy2+15y3

(3)(4x+3y)(x-2y)-(3x-2y)·x(4x+3y)(x-2y)-(3x-2y)·x解：=4x(x-2y)+3y(x-2y)

-(3x-2y)·x=4x·x-4x·2y+3y·x-3y·2y-3x·x+2y·x=4x2-8xy+3xy-6y2-3x2+2xy=x2-3xy-6y2(4)2x·(x2-4x)-(x2+1)(2x-3)2x·(x2-4x)-(x2+1)(2x-3)=2x·(x2-4x)-x2(2x-3)-(2x-3)=2x·x2-2x·4x-x2·2x+3x2-2x+3=2x3-8x2-2x3+3x2-2x+3=-5x2-2x+38.(1)计算(2x-y)(3x+2y)-(4x-3y)(2x-5y)(2x-y)(3x+2y)-(4x-3y)(2x-5y)解：=2x(3x+2y)-y(3x+2y)-4x(2x-5y)+3y(2x-5y)=2x·3x+2x·2y-y·3x-y·2y-4x·2x+4x·5y+3y·2x-3y·5y=6x2+4xy-3xy-2y2-8x2+20xy+6xy-15y2=-2x2+27xy-17y2(2)当x取,y取1时，求(1)中多项式的值解：将x=，y=1,代入算式得-2x2+27xy-17y2=-319.一个长方体的长是2.4×104cm，宽是1.5×103cm，高是0.6×103cm，求这个长方体的体积及表面积。解：V=2.4×104×1.5×103×0.6×103=2.16×1010(cm3)S

=2×2.4×104×1.5×103+2×2.4×104×0.6×103+2×1.5×103×0.6×103=1.026×108(cm2)答：这个长方体的体积为2.16×1010cm3,表面积为1.026×108cm2。10.填空(1)()·(-3xy)=-15x2y3(2)2ab·()=-8a2bc(3)(-x2)·()=7x2y(4)(a2)2·()=-2a5b5xy2-4ac-7y-2ab11.下列计算对不对？如果不对应该怎样改正？(1)[(a+b)2]3=(a+b)5(2)-[-(x+y)3]2=(x+y)6解：(1)[(a+b)2]3=(a+b)6(2)-[-(x+y)3]2=-(x+y)6××单项式与多项式相乘湘教版·七年级数学下册①复习导入单项式的乘法整式的乘法幂的运算多项式的乘法某街道为美化环境，对街道进行了大整治。其中一项就是把一块矩形的空地补上了彩色地砖，成为市民休闲健身的场所。你能够表示出这块矩形空地的面积吗？mambmcmabcm(a+b+c)ma+mb+mc你能解释一下这个式子是怎么来的吗？m(a+b+c)=ma+mc+mb=乘法分配率怎样计算单项式2x与多项式3x2－x－5的乘积？探究新知可以运用乘法对加法的分配律.2x·（3x2－x－5）＝2x·3x2＋2x·(－x)＋2x·(－5)＝6x3－2x2－10x

一般地，单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加.多项式的乘法法则要将3x2-x-5看作各项的代数和。探究新知例11计算：解：[教材P10例11]运算时要注意的问题：1.不能漏乘：即单项式要乘遍多项式的每一项；2.去括号时注意符号的确定。下列计算对不对？如果不对，应怎样改正？(1)(2)(3)(1)(2)××√探究新知例12(1)计算解：探究新知(2)当x取2，y取-1时,求(1)中多项式的值解：将x用2代入，y用-1代入,(1)中多项式的值为2×23×(-1)+3×22×(-1)2=-16+12=-4巩固练习1.计算：[选自教材P11练习第1题]多项式与多项式相乘湘教版·七年级数学下册①复习导入我们学了“幂的运算性质”有哪些？同底数幂的乘法：am·an

=am+n幂的乘方：(am)n=amn（m、n都是正整数）积的乘方：(ab)n=anbn单项式乘以多项式的法则是什么？m(a+b+c)=ma+mb+mc复习导入一般地，单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加．(1)设a,b,c都是正数，计算(a+b)(a+c)的值(2)一个长方形的长为a+b，宽为a+c，试着画出这个长方形，并利用这个长方形解释(1)的结果。解：(1)(a+b)(a+c)=a2+ac+ba+bc(2)abcaa2acbabc怎样计算多项式x-2y与多项式3x+y的乘积？探究新知可以运用乘法对加法的分配律.(x-2y)

·（3x+y）＝x·(3x+y)+(-2y)·(3x+y)

＝x·3x+x·y+(-2y)·3x+(-2y)·y＝3x2+xy-6xy-2y2

＝3x2-5xy-2y2

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.多项式的乘法法则

(a+n)(b+m)=ab+

am+

nb+nm归纳总结例13计算(1)(2x+y)(x-3y)(2)(5x-2)(3x2-x-5)解：(1)(2x+y)(x-3y)=2x·x+2x·(-3y)+y·x+y·(-3y)=2x2-6xy+xy-3y2=2x2-5xy-3y2(2)(5x-2)(3x2-x-5)=15x3-5x2-25x-6x2+2x+10=15x3-5x2-6x2-25x+2x+10=15x3-11x2-23x+10例14计算(1)(x-y)(x2+xy+y2)(2)(x+y)(x2-xy+y2)解：(1)(x-y)(x2+xy+y2)=x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3=x3-y3(2)(x+y)(x2-xy+y2)=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3从同一面积的不同表达式入手，借助分配律得到多项式的乘法法则。由法则可知:(1)多项式与多项式相乘的结果仍是多项式；(2)结果的项数应该是原两个多项式项数的积(没有合并之前)，检验项数常常作为检验解题过程的有效方法；(3)多项式与多项式相乘的结果中，要把同类项合并。思考：多项式乘以多项式，展开后项数有什么规律？巩固练习1.计算(1)(x-2y)(4x+3y)(2)(x-5y)(3x-y)解：(x-2y)(4x+3y)=x·4x+x·3y-2y·4x-2y·3y=4x2+3xy-8xy-6y2=4x2-5xy-6y2(x-5y)(3x-y)=x·3x-x·y-5y·3x-5y·(-y)=3x2-xy-15xy+5y2=3x2-16xy+5y2[教材P13练习第1题]平方差公式湘教版·七年级数学下册①复习导入

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明.探究新知计算下列各式，你能发现什么规律：(x+2)(

x–2)=x2-2x+2x

-22=

，(x+1)(

x

-1)=x2-

x+x

-12=

，(x+3)(

x

-3)=x2-3x+3x-32=

，(x+4)(

x

-4)=x2–4x+4x

-42=

.x2-12x2-22x2-32x2-42(x+y

)(

x

-

y

)=x2-

xy+xy

-y2=

.x2-y2(x+y)(

x

-

y

)=x2-

xy+xy

-y2=

.x2-y2(x+y

)(

x

-

y)=x2-y2

即多项式x+y与x-y的乘积，等于多项式x2-y2由此我们可以得到平方差公式(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.设a,b都是正数，且a>b，将平方差公式中的x用a代入，y用b代入可得平方差公式适用条件：括号前后有两项相同括号前后有两项相反(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2前提：两多项式相乘结果：(同)2-(反)2使用条件：①两多项式相乘。②前后出现两项相同，两项相反。(a+b)(a-b)=a2-b2应用平方差公式时应注意些什么呢？(1)注意平方差公式的适用范围;(2)字母

a、b可以是数，也可以是整式;(3)注意计算过程中的符号和括号.如图(1)，将边长为a

的大正方形剪去一个边长为b

的小正方形，则剩余部分面积为多少？将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图(2).此时新图形的面积为多少？(1)的剩余面积：a2-b2(2)的面积：(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2几何背景分析(1)(2)（1）(2x+1)(2x-1)；

（2）(x+2y)(x-2y).计算：分析:(1)(2)中两个多项式的乘法都满足平方差公式的特征，因而可以利用该公式进行计算。解（1）(2x+1)(2x-1)=(2x)2-12=4x2-1（2）(x+2y)(x-2y)=x2-(2y)2=x2-4y2与不用平方差公式计算相比，哪种方法更简便？(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2运用平方差公式计算：例3运用平方差公式计算：(4a+b)(-b+4a)解：由平方差公式得(4a+b)(-b+4a)=(4a+b)(4a-b)=(4a)2-b2=16a2-b2将括号内的式子转化为平方差的形式。计算：1002×998.解：由平方差公式得

1002×998=(1000+2)(1000-2)=10002-22=1000000-4=999996.例4因此：1002×998=999996.运用平方差公式可以简化一些运算。1.运用平方差公式计算：（1）(3x+y)(3x-y)；（2）解：(3x+y)(3x-y)=(3x)2-y2=9x2-y2[教材P127练习第1题]（3）(-1+5x)(-1-5x)；（4）(-4a-b)(4a-b).解：(-1+5x)(-1-5x)=(-1)2-(5x)2

=1-25x2

(-4a-b)(4a-b).=(-b-4a)(-b+4a)

=(-b)2–(4a)2=b2–16a2（1）202×198；（2）49.8×50.2.2.计算：解:

202×198=(200+2)(200-2)=40000–4=39996

49.8×50.2=(50-0.2)(50+0.2)=2500-0.04=2499.96[教材P17练习第2题]3.下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－2；（2）(－2x－1)(2x－1)＝4x2－1．解：（1）不对，(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－4；（2）不对，(－2x－1)(2x－1)＝(-1-2x)(-1+2x)＝1-4x2

.随堂练习(x+6)(x-6)=_________.1.填空题：(-x+)(-x-)=_________.(-2a2-5b)()=4a4-25b2.x2-36-2a2+5b2.下列式中能用平方差公式计算的有（）

①

②

(3a-bc)(-bc-3a)

③

(3-x+y)(3+x+y)

④

(100+1)(100-1)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个(x-y)(x+y)D完全平方公式湘教版·七年级数学下册①复习导入

同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗？(x+3)2=______________________，(x-3)2=_______________________,(x+3)(x+3)=x2+6x+9(x-3)(x-3)=x2-6x+9这些式子的左边和右边有什么规律?(2m+3n)2=________________________________,(2m-3n)2=______________________________.(2m+3n)(2m+3n)=4m2+12mn+9n2(2m-3n)(2m-3n)=4m2-12mn+9n2探究新知计算:

(x+y)2由多项式与多项式相乘的法则可得(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+xy+yx+y2=x2+2xy+y2得到完全平方公式1：(x+y)2=x2+2xy+y2即多项式x+y的平方等于x与y的平方加上x与y的积的2倍(x+y)2=

x2+2xy+y2若将完全平方公式1中的y用-y代替，则可得(x-y)2=x2+2x·(-y)

+(-y)2=x2-2xy+y2得到完全平方公式2：(x-y)2=x2-2xy+y2即多项式x-y的平方等于x与y的平方减去x与y的积的2倍(x+y)2=x2+2xy+y2设a,b都是正数，将完全平方公式1、2中的x用a代入，y用b代入可得(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.

公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。

(a+b)2=

a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b24.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.1.积为二次三项式.2.首项、末项为两数的平方和.3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.如图，把一个边长为a＋b

的正方形分割成4部分，观察图形的面积你能发现什么？(a+b)2

a2+ab+ab+b2分割前的面积分割后的面积abb2a2ab(a+b)2=a2+2ab+b2几何背景分析运用完全平方公式计算(1)解:将完全平方公式1中的x用a代入，y用代入,可得（2）(3m+n)2;

(3m+n)2=(3m)2+2·3m·n+n2=9m2+6mn+n2解:将完全平方公式1中的x用3m代入，y用n代入,可得（3）(2x-3y)2

(2x-3y)2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=4x2–12xy+9y2解:将完全平方公式2中的x用2x代入，y用3y代入,可得填表(2a+b)2(5a-4b)22ab4a2+4ab+b25a4b25a2-40ab+16b2请你阅读课本“说一说”至““例5”的内容。思考:当底数互为相反数时，完全平方的结果有什么关系?1.算一算(1)(a-b)2=_________；(b-a)2=_________(2)(a+b)2=_________；(-a-b)2=_________比较每一组算式中的两个等式,等号左边的底数有什么关系?结果有什么关系?2.比一比等号左边的底数互为相反数，右边的结果相等。a2-2ab+b2b2-2ab+a2a2+2ab+b2a2+2ab+b2怎样计算解法一：解法二：计算(1)1042(2)1982解：由于1042=(100+4)2运用完全平方公式1得1042=(100+4)2=1002+2×100×4+42=10000+800+16=10816解：由于1982=(200-2)2运用完全平方公式2得1982=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40000-800+4=392041.运用完全平方公式计算：(1)(2x+3)2(2)解：(2x+3)2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9[教材P19练习第1题](3)(5x-2y)2(4)(-4a-3b)2解：(5x-2y)2=(5x)2-2·5x·

2y+(2y)2=25x2-20xy+4y2(-4a-3b)2=(-4a)2-2·(-4a)·3b+(3b)2=16a2+24ab+9b22.计算：[教材P19练习第2题](1)1032(2)29721032=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10000+600+9=10609解：2972=(300-3)2=3002-2×300×3+32=90000-1800+9=882093.试利用右图解释(a-b)2=a2-2ab+b2[教材P19练习第3题]abbab2由图可知把一个边长为a

的正方形分割成4部分则(a-b)2为图中黄色部分的面积黄色部分的面积=总面积-红色部分的面积-蓝色部分的面积可得:(a-b)2=a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+2b2-b2=a2-2ab+b2所以(a-b)2=a2-2ab+b2解：随堂练习1.下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？（1）(

x＋2

)

2＝

x2＋4；（2）(－a－b

)2＝a2－2ab＋b2

.解：（1）不对，应为(

x＋2

)

2＝

x2＋4x+4；（2）不对，应为(－a－b

)2＝(a+b)2=a2＋2ab＋b2

.2．运用完全平方公式计算：（1）(x＋4)2；（2）(2a－3)2；（3）(5m-)2解：（1）(x＋4)2

=

x2+8x+16（2）(2a－3)2

=

(2a)2-2·2a·3+32=4a2-12a+9（3）(5m-)2=(5m)2-2·5m·+()2=25m2-5m+3.填空题：(x+3y)2=_____________;x2+6xy+9y2________=y2–y+;(y

–)2

(______)2=9a2-______+16b2;3a-4b24abx2+10x+____=(x+_____)2;255(-x-y)_______=x2+2xy+y2.(-x-y)4.下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算（）

A.(a+b)(a+c)B.(x+y)(－y+x)C.(ab－3x)(－3x+ab)D.(－m－n)(m-n)C5.计算：(x

–2y)2

（2）(2xy

+x)2

（1）解：原式=(x)2-2(x)(2y)+(2y)2=x2-2xy+4y2解：原式=(2xy)2+2(2xy)(x)+(x)2=4x2y2+x2y+x2利用乘法公式进行计算和推理湘教版·七年级数学下册①复习导入完全平方公式(a+b)2=

a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减.(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式

注意：

公式中的

a与b既可以是数，又可以是单项式和

多项式.探究新知运用乘法公式计算：(x+1)(x2+1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x-1)利用多项式的乘法的交换律和结合律以及平方差公式，可得=[(x+1)(x-1)](x2+1)=(x2-1)(x2+1)=x4-1运用乘法公式计算：(1)(a+b+c)2解:将完全平方公式1中的x用a+b代入，y用c代入,可得(a+b+c)2=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2将(a+b)看作一个整体提示：遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的.(2)(a-b+c)(a+b-c)解:利用平方差公式，可得(a-b+c)(a+b-c)=[a-(b-c)][a+(b-c)]=a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-b2+2bc-c2添括号时注意符号的变化。将(b-c)看作一个整体运用乘法公式注意事项：1.要根据具体情况灵活运用乘法公式、幂的运算性质(正用与逆用)。2.式子变形添括号时注意符号的变化。运用乘法公式计算：(1)(a+b)2+(a-b)2(a+b)2+(a-b)2解：=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2=2a2+2b2(a+b)2-(a-b)2(a+b)2-(a-b)2=a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=4ab(2)(a+b)2-(a-b)2(a+b)2-(a-b)2=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]=2a·2b=4ab还有其他方法吗？运用乘法公式计算：(x+y)3(x+y)3解：=(x+y)

(x+y)2=(x+y)

(x2+2xy+y2)=x3+2x2y+xy2+yx2+2xy2+y3=x3+3x2y+3xy2+y3先填空：(1)152=100×1×______+25(2)252=100×2×______+25(3)352=100×______×______+______由此猜测：十位数字是a、各位数字是5的两位数可以表示为__________,它的平方可表示为100×______×______+______23342510a+5a(a+1)251.运用乘法公式计算：（1）(x-2)(x+2)(x2+4)；解:

(x-2)(x+2)(x2+4)=(x2-4)(x2+4)=x4-16（2）(x+1)2(x-1)2；解:

(x+1)2(x-1)2=[(x+1)(x-1)]2=(x2-1)2

=x4-2x2+1[教材P21练习第1题]解:(a-b-c)2=[a-(b+c)]2=a2-2a(b+c)+(b+c)2=a2-2ab-2ac+b2+2bc+c2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc.(3)(a-b-c)2（4）(x+2y-1)(x+2y+1)；解：(x+2y-1)(x+2y+1)=(x+2y)2-1=x2+4xy+4y2-1（5）(2x+y-1)(2x-y+1)；解：[2x+(y-1)][2x-(y-1)]=(2x)2-(y-1)2

=4x2-(y2-2y+1)=4x2-y2+2y-1[教材P22练习第2题]2.运用乘法公式计算：(3x-2)2-(2x+5)2

解：(3x-2)2-(2x+5)2

=[(3x-2)+(2x+5)][(3x-2)-(2x+5)]

=(5x+3)(x-7)

=5x2-32x-21

3.若n是整数，则(n+3)2-(5n+9)一定能被2整除，试说明理由