2025届高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第2讲排列与组合创新教学案含解析新人教版

PAGE第2讲排列与组合[考纲解读]理解排列、组合的概念及排列数与组合数公式，并能用其解决一些简洁的实际问题．(重点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲是高考中的一个热点命题方向．预料2024年将会考查：①有条件限制的排列、组合问题；②排列、组合与其他学问的综合问题．试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型.1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素依据eq\o(□,\s\up1(01))肯定的依次排成一列组合合成一组2．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的eq\o(□,\s\up1(01))全部不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用eq\o(□,\s\up1(02))Aeq\o\al(m,n)表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的eq\o(□,\s\up1(03))全部不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用eq\o(□,\s\up1(04))Ceq\o\al(m,n)表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝eq\o(□,\s\up1(01))n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\o(□,\s\up1(02))eq\f(n！,m！n－m！)性质(1)0！＝eq\o(□,\s\up1(03))1；Aeq\o\al(n,n)＝eq\o(□,\s\up1(04))n!(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝eq\o(□,\s\up1(05))Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)4．常用结论(1)①Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n)；②Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Aeq\o\al(m,n－1)；③Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(2)①nAeq\o\al(n,n)＝Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n)；②Aeq\o\al(m,n＋1)＝Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n).(3)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！＝(n＋1)！－1.(4)①Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n－m＋1,m)Ceq\o\al(m－1,n)；②Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)；③Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,m)Ceq\o\al(m－1,n－1).(5)①kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)；②Ceq\o\al(r,r)＋Ceq\o\al(r,r＋1)＋Ceq\o\al(r,r＋2)＋…＋Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r＋1,n＋1).1．概念辨析(1)全部元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，则x＝m成立．()(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)考生甲填报某高校专业意向，准备从5个专业中选择3个，分别作为第一、其次、第三志愿，则不同的填法有()A．10种 B．60种C．125种 D．243种答案B解析由题意，知不同的填法有Aeq\o\al(3,5)＝60(种)．(2)从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有________种．答案36解析分两类：第1类是有1名女生，共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,6)＝2×15＝30种；第2类是有2名女生，共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,6)＝1×6＝6种．由分类加法计数原理，得共有30＋6＝36种．(3)有大小和形态完全相同的3个红色小球和5个白色小球，将它们排成一排，共有________种不同的排列方法．答案56解析8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有依次，是组合问题．这样共有Ceq\o\al(3,8)＝56种排法．(4)支配3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共有________种．答案36解析先将4项工作分为3组，再排列，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36种不同的方法．题型一排列问题7位同学站成一排：(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必需相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必需相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？解(1)其中甲站在中间的位置，共有Aeq\o\al(6,6)＝720种不同的排法．(2)甲、乙只能站在两端的排法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝240种．(3)7位同学站成一排，共有Aeq\o\al(7,7)种不同的排法；甲排头，共有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法；乙排尾，共有Aeq\o\al(6,6)种不同的排法；甲排头且乙排尾，共有Aeq\o\al(5,5)种不同的排法；故共有Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720种不同的排法．(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有Aeq\o\al(6,6)种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有Aeq\o\al(2,2)种方法，所以这样的排法一共有Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(2,2)＝1440种．(5)甲、乙两同学必需相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有Aeq\o\al(2,5)种方法；将剩下的4个元素进行全排列有Aeq\o\al(4,4)种方法；最终将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有Aeq\o\al(2,2)种方法，所以这样的排法一共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＝960种方法．解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素．若丙站在排头或排尾有2Aeq\o\al(5,5)种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5))·Aeq\o\al(2,2)＝960种方法．解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有Aeq\o\al(1,4)种方法．再将其余的5个元素进行全排列共有Aeq\o\al(5,5)种方法，最终将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,2)＝960种方法．(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：解法一：(间接法)Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(2,2)＝3600种．解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有Aeq\o\al(5,5)种方法，此时他们留下六个位置(称为“空”)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有Aeq\o\al(2,6)种方法，所以一共有：Aeq\o\al(2,6)·Aeq\o\al(5,5)＝3600种．(7)甲总在乙的前面则依次肯定，共有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(2,2))＝2520种．结论探究1若将本例中的结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相邻”，则有多少种不同的排法？解先将其余四个同学排好，有Aeq\o\al(4,4)种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位支配甲、乙、丙，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440种方法．结论探究2若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？解7位同学站成一排，共有Aeq\o\al(7,7)种不同的排法；甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)＝720种．故共有Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)＝4320种不同的排法．结论探究3(1)若将7人站成两排，前排3人，后排4人，共有多少种不同的排法？(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？解(1)站成两排(前3后4)，共有Aeq\o\al(7,7)＝5040种不同的排法．(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，其次步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，依据分步乘法计数原理有3×4×5×6＝360种方法．1．求解有限制条件排列问题的主要方法干脆法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事务分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数．见举例说明(3)分步法选定一个适当的标准，将事务分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．见举例说明(4)捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时留意捆绑元素的内部排列．见举例说明(5)插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中．见举例说明(6)解法二除法对于定序问题，可先不考虑依次限制，排列后，再除以已定元素的全排列．见举例说明(7)间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法．见举例说明(3)，(5)解法二，(6)解法一2．解决有限制条件排列问题的策略(1)依据特别元素(位置)优先支配进行分步，即先支配特别元素或特别位置．(2)依据特别元素当选数量或特别位置由谁来占进行分类．提示：(1)分类要全，以免遗漏．(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要留意捆绑后元素的个数及相邻元素的排列数．(3)用间接法求解时，事务的反面数状况要精确.1．(2024·六盘山高级中学月考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车须要停放，假如要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A．18 B．24C．32 D．64答案B解析首先支配3辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当3辆车都在最左边时，不同的停放方法的种数为Aeq\o\al(3,3)，当左边2辆，最右边1辆时，不同的停放方法的种数为Aeq\o\al(3,3)，当左边1辆，最右边2辆时，不同的停放方法的种数为Aeq\o\al(3,3)，当最右边3辆时，不同的停放方法的种数为Aeq\o\al(3,3)，综上可知，共有不同的停放方法4×Aeq\o\al(3,3)＝24种．2．(2024·青岛模拟)在高三某班进行的演讲竞赛中，共有5位选手参与，其中3位女生，2位男生，假如2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场依次的排法种数为________．答案60解析2位男生不能连续出场的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,4)＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不能连续出场的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝12(种)，所以出场依次的排法种数为N＝N1－N2＝60.题型二组合问题1．将12个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个桶中，要求每个桶中放入球的数量不得少于该桶的编号，则安排方案有()A．10种 B．12种C．14种 D．16种答案A解析解法一：依据题意，先在编号为2,3,4的3个桶中分别放入1,2,3个小球，编号为1的桶里不放球，再将剩下的6个小球放入四个桶里，每个桶里至少一个，将6个球排成一排，中间有5个空，插入3块挡板分为四堆放入四个桶中即可，共Ceq\o\al(3,5)＝10种方法．解法二：先在编号为1,2,3,4的四个桶中分别放入与编号相同的球数，剩余2个球，把2个球放入同一个桶中有4种方法，2个球放入不同的桶中有Ceq\o\al(2,4)＝6种方法，所以安排方案有4＋6＝10种．2．(2024·泉州二模)某校开设物理、化学、生物、政治、历史、地理6门选修课，甲同学需从中选修3门，其中化学、生物两门中至少选修一门，则不同的选法种数有________(用数字填写答案)．答案16解析解法一：甲同学需从6门中选修3门，化学、生物至少选修一门，分为两类：第一类，化学、生物只选修1门，有Ceq\o\al(1,2)种选法，再从另外4门中选修2门，有Ceq\o\al(2,4)种选法，因此第一类共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)种选法；其次类，化学、生物2门都选修，有Ceq\o\al(2,2)种选法，再从另外4门中选修1门，有Ceq\o\al(1,4)种选法，因此其次类共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)种选法．所以不同的选法共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝16种．解法二：甲同学需从6门中选修3门，共有Ceq\o\al(3,6)种选法．若甲同学化学、生物都不选修，即从物理、政治、历史、地理4门中选修3门，共有Ceq\o\al(3,4)种选法，所以甲同学需从6门中选修3门，其中化学、生物至少选修一门，共有Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝16种选法．3．从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声个数为________(用数字作答)．答案968解析依题意共有8类不同的和声，当有k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有Ceq\o\al(k,10)种不同的和声，则和声总数为Ceq\o\al(3,10)＋Ceq\o\al(4,10)＋Ceq\o\al(5,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210－Ceq\o\al(0,10)－Ceq\o\al(1,10)－Ceq\o\al(2,10)＝1024－1－10－45＝968个．1．组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等．(2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较困难的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将困难问题通过两个原理化归为简洁问题．见举例说明2.2．两类带有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用干脆法或间接法都可以求解，通常用干脆法分类困难时，用间接法求解.1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同取法的种数是()A．60 B．63C．65 D．66答案D解析因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使取出的4个不同的数的和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)＝66种不同的取法．2．(2024·丹东模拟)从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，一般队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有()A．156种 B．168种C．180种 D．240种答案B解析从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，一般队员2人组成4人服务队有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝6×5×eq\f(4×3,2)＝180种选法，服务队中没有女生的选法有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,2)＝4×3×1＝12种，所以要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有180－12＝168种．题型三排列组合的综合应用角度1排列组合的简洁应用1．(2024·华中师范高校第一附中模拟)学校组织学生参与社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的支配方法有()A．70种 B．140种C．840种 D．420种答案D解析解法一：若选出的是2名男同学，1名女同学，则有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)种选法；若选出的是1名男同学，2名女同学，则有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)种选法．所以不同的支配方法有(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4))Aeq\o\al(3,3)＝420种．解法二：从9名同学中任选3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查的支配方法有Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,3)种，3名同学全是男同学或全是女同学的支配方法有(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,4))Aeq\o\al(3,3)种，故选出的同学中男女均有的不同的支配方法有Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,3)－(Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,4))Aeq\o\al(3,3)＝420(种)．2．(2024·开封模拟)某班主任准备请2025届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参与，若甲、乙同时参与，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言依次共有________种(用数字作答)．答案1080解析若甲、乙同时参与，则有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝120种，若甲、乙有一人参与，则有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(4,4)＝960种，从而总共的发言依次有1080种．角度2分组安排问题3．将6名同学平均分成三组，每组两人，则不同的分组方法的种数为()A．60 B．30C．15 D．10答案C解析平均分成三组的方法种数为eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15.4．(2024·湖南师大附中高考模拟)习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为协作国家精准扶贫战略，某省示范性中学支配6名高级老师(不同姓)到基础教化薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作须要，其中李老师不去甲校，则安排方案种数为________．答案360解析解法一：依据6名高级老师到甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种状况：①甲校支配1名老师，安排方案种数有Ceq\o\al(1,5)(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2))＝150；②甲校支配2名老师，安排方案种数有Ceq\o\al(2,5)(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2))＝140；③甲校支配3名老师，安排方案种数有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝60；④甲校支配4名老师，安排方案种数有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝10；由分类计数原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(种)安排方案．解法二：由6名老师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组状况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.①对于第一种状况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有Ceq\o\al(1,2)种，其余5名分成一人组和四人组有Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)种，共Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝20(种)；李老师安排到四人组且该组不去甲校有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝40(种)，则第一种状况共有20＋40＝60(种)；②对于其次种状况，李老师安排到一人组有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝40(种)，李老师安排到三人组有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝120(种)，李老师安排到两人组有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,2)＝80(种)，所以其次种状况共有40＋80＋120＝240(种)；③对于第三种状况，共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝60(种)；综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)安排方案．1．解决简洁的排列与组合综合问题的思路(1)依据附加条件将要完成事务先分类．(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列．(3)由分类加法计数原理计算总数．2．分组、安排问题的求解策略(1)对不同元素的安排问题①对于整体均分，解题时要留意分组后，不管它们的依次如何，都是一种状况，所以分组后肯定要除以Aeq\o\al(n,n)(n为均分的组数)，避开重复计数．见举例说明3.②对于部分均分，解题时留意重复的次数是匀称分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的匀称分组，就要除以几个这样的全排列数．③对于不等分组，只需先分组，后排列，留意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不须要除以全排列数．(2)对于相同元素的“安排”问题，常用方法是采纳“隔板法”.1．(2024·山东省试验中学模拟)给甲、乙、丙、丁四人支配泥工、木工、油漆工三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能支配木工，则不同的支配方法共有()A．12种 B．18种C．24种 D．64种答案C解析完成这件事情分两类：(1)1人做木工，分两步．第一步，从除甲以外的3人中任选1人做木工，有Ceq\o\al(1,3)种方法；其次步，支配余下3人做泥工、油漆工，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)种方法，因此，1人做木工共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝18(种)方法．(2)2人做木工，也分两步．第一步，从除甲以外的3人中选2人做木工，有Ceq\o\al(2,3)种方法；其次步，支配余下2人做泥工、油漆工，有Aeq\o\al(2,2)种方法．因此，2人做木工共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6(种)方法．综上所述，不同的支配方法共有18＋6＝24(种)．2．在其次届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了便利接待，现将其中的五个参会国的人员支配酒店住宿，这五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，则这样的支配方法共有()A．96种 B．124种C．130种 D．150种答案D解析∵五个参会国要在a，b，c三家酒店选择一家，且这三家都至少有一个参会国入住，∴可以把5个参会国分成三组，一种是依据1,1,3；另一种是1,2,2.当依据1,1,3来分时，共有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝60(种)；当依据1,2,2来分时，共有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(种)，依据分类加法计数原理，知共有60＋90＝150(种)．组基础关1．从10名高校毕业生中选3个人担当村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28答案C解析分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选；甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＝49.2．(2024·昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法()A．Aeq\o\al(5,5)种 B．Aeq\o\al(2,2)种C．Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)种 D．Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)种答案D解析由红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则红色菊花两边各一盆白色、黄色菊花，故有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)种摆放方法．3．(2024·石家庄摸底)第十四届全国运动会将于2024年在陕西举办，为宣扬地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参与，但2名女记者不参与“负重扛机”工作，则不同的支配方案数共有()A．150 B．126C．90 D．54答案B解析依据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参与，当由1名男记者参与“负重扛机”工作时，有Ceq\o\al(1,3)种方法，剩余2男2女记者可分为3组参与其余三项工作，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)种方法，故由1名男记者参与“负重扛机”工作时，有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)种方法；当由2名男记者参与“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参与一项工作，有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)种方法．故满意题意的不同支配方案数共有Ceq\o\al(1,3)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝108＋18＝126.故选B.4．某次联欢会要支配3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出依次，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168答案B解析解法一：先支配小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．支配小品类节目和相声类节目的依次有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种状况，形式为“eq\x()，小品1，歌舞1，小品2，eq\x()，相声，eq\x()”，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36种支配方法；同理，第三种状况也有36种支配方法；对于其次种状况，三个节目形成4个空，其形式为“eq\x()，小品1，eq\x()，相声，eq\x()，小品2，eq\x()”．有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,4)＝48种支配方法，故共有36＋36＋48＝120种支配方法．解法二：先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的状况，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种)．5．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌四周开会．A是会议的中心发言人，必需坐最北面的椅子，B，C二人必需坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有()A．60种 B．48种C．30种 D．24种答案B解析B，C二人必需坐相邻的两把椅子，有4种坐法，B，C可以交换，有Aeq\o\al(2,2)＝2种坐法，其余三人坐剩余的三把椅子有Aeq\o\al(3,3)＝6种坐法，故共有4×2×6＝48种坐法．故选B.6．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别探讨四个不同课题，且每组只探讨一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的安排方案有()A.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)种 B．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·34种C.eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))·43种 D．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·43种答案B解析要将12名同学平均分成四组，则有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))种，每个组选一名组长，故有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))·34种，每个组还要探讨一个课题，并且只能探讨一个课题，所以相当于四个组排列选课题，故有eq\f(C\o\al(3,12)C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(4,4))Aeq\o\al(4,4)·34＝Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)·34种．7．(2024·湖南衡阳质检)现要给一长、宽、高分别为3,2,1的长方体工艺品各面涂色，有红、橙、黄、蓝、绿五种颜色的涂料可供选择，要求相邻的面不能涂相同的颜色，且橙色跟黄色二选一，红色要涂两个面，则不同的涂色方案有()A．48种 B．72种C．96种 D．108种答案C解析若蓝绿选一个，由橙黄二选一，共三种颜色涂6个面，每一种颜色只能涂相对的面，故有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝24(种)；若蓝绿选两个，由橙黄二选一，故共有4种颜色，红色只能涂相对的面，还有4个面，故不同的涂色方案有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝72(种)，依据分类加法计数原理，共有24＋72＝96(种)．故选C.8．(2024·柳州模拟)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．答案472解析解法一：从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为Ceq\o\al(3,16)，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,4)，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为Ceq\o\al(3,16)－Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,12)－Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,4)＝472.解法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝192，剩余2张同色时，不同取法的种数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．9．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答)．答案1260解析若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3).综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝720＋540＝1260.10．(2024·郑州三模)12本相同的资料书安排给三个班级，要求每班至少1本且至多6本，则不同的安排方法共有________种．答案25解析12本相同的资料书安排给三个班级，共有6类安排方法：三个班级的资料书的数量分别为1,5,6，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)安排方法；三个班级的资料书的数量分别为2,4,6，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)安排方法；三个班级的资料书的数量分别为2,5,5，有Ceq\o\al(1,3)＝3(种)安排方法；三个班级的资料书的数量分别为3,3,6，有Ceq\o\al(1,3)＝3(种)安排方法；三个班级的资料书的数量分别为3,4,5，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)安排方法；三个班级的资料书的数量分别为4,4,4，有1种安排方法．故共有6＋6＋3＋3＋6＋1＝25(种)安排方法．组实力关1．(2024·长沙模拟)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A．72种 B．144种C．240种 D．288种答案D解析第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6种排法．其次步，假设剩下的两对夫妻是x1，x2和y1，y2，分成三种状况探讨：①x1，x2中间有一个元素，假如是A，则y1，y2在两端，有2种排法，假如是y1，y2中的一个，有12种排法；②x1，x2中间有两个元素，只能是A和y1，y2中的一个，总共有8种排法；③x1，x2中间有三个元素，有2种排法．因为x1，x2有依次，所以仅有一对夫妻相邻的排法有6×2×(2＋12＋8＋2)＝288(种)．2．(2024·泸州模拟)若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完备四位数”，如数字“2017”．试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2024的“完备四位数”有________个()A．53 B．59C．66 D．71答案D解析从0,1,2,3,4,5,6,7中取四位相加和为10的可能组合包括{1,2,3,4}，{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}，用{1,2,3,4}组成的无重复数字的“完备四位数”有Aeq\o\al(4,4)个；因为0不能放在千位上，所以{0,1,2,7}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}，{0,2,3,5}组成的无重复数字的“完备四位数”有4(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))个；因此用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字的“完备四位数”共有Aeq\o\al(4,4)＋4(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＝96个，其中由{1,2,3,4}，{0,1,3,6}，{0,1,4,5}组成的“完备四位数”中小于2024的分别各有Aeq\o\al(3,3)＝6个，由{0,1,2,7}组成的“完备四位数”中小于等于2024的有Aeq\o\al(3,3)＋1＝7个，由{0,2,3,5}组成的“完备四位数”中小于等