2025届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第6节双曲线教学案含解析新人教A版

PAGE1-第6节双曲线考试要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简洁的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的肯定值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c，则集合P为双曲线；(2)若a＝c，则集合P为两条射线；(3)若a>c，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2[常用结论与微点提示]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq\f(2b2,a).2.离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).3.等轴双曲线的渐近线相互垂直，离心率等于eq\r(2).4.若渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.7.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq\f(b2,tan\f(θ,2)).诊断自测1.推断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的肯定值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()(5)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与eq\f(x2,b2)－eq\f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝1.()解析(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2.(老教材选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________________________.解析设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1.答案eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝13.(老教材选修2－1P61A1改编)已知双曲线x2－eq\f(y2,16)＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到同侧焦点的距离的最小值为c－a＝eq\r(17)－1，故|PF2|＝6.答案64.(2024·北京卷)已知双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率是eq\r(5)，则a＝()A.eq\r(6) B.4 C.2 D.eq\f(1,2)解析由双曲线方程eq\f(x2,a2)－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).结合a>0，解得a＝eq\f(1,2).答案D5.(2024·全国Ⅲ卷)已知F是双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,2) C.eq\f(7,2) D.eq\f(9,2)解析由F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＝3，,\f(xeq\o\al(2,0),4)－\f(yeq\o\al(2,0),5)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＝\f(56,9)，,yeq\o\al(2,0)＝\f(25,9)，))所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，\f(5,3)))，所以S△OPF＝eq\f(1,2)|OF|·y0＝eq\f(1,2)×3×eq\f(5,3)＝eq\f(5,2).答案B6.(2024·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________.解析因为双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)经过点(3，4)，所以9－eq\f(16,b2)＝1(b>0)，解得b＝eq\r(2)，即双曲线方程为x2－eq\f(y2,2)＝1，其渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.答案y＝±eq\r(2)x考点一双曲线的定义及应用【例1】(1)(2024·合肥质检)eq\r(x2＋（y－3）2)－eq\r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲线方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≤－2) B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1(x≥2)C.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y≤－2) D.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y≥2)(2)(2024·长春质检)双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(2\r(3),3)x，一个焦点为F(0，－eq\r(7))，点A(eq\r(2)，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置改变时，△PAF周长的最小值为()A.8 B.10 C.4＋3eq\r(7) D.3＋3eq\r(17)解析(1)eq\r(x2＋（y－3）2)的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，eq\r(x2＋（y＋3）2)的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则eq\r(x2＋（y－3）2)－eq\r(x2＋（y＋3）2)＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4<|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则eq\r(x2＋（y－3）2)－eq\r(x2＋（y＋3）2)＝4表示的曲线方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1(y≤－2)，故选C.(2)由已知得双曲线方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,3)＝1，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，故△PAF的周长的最小值为10.答案(1)C(2)B规律方法1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而依据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，常常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.【训练1】(1)(2024·郑州一模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±eq\f(1,3)x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋eq\r(6))2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为()A.8 B.9 C.10 D.11(2)(2024·济南调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.解析(1)由题意知2a＝6，则a＝3，又由eq\f(b,a)＝eq\f(1,3)得b＝1，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(10)，则F1(－eq\r(10)，0).依据双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所以|MN|＋|MF2|＝|MN|＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝eq\r(（\r(10)）2＋（－\r(6)）2)＋5＝9，当且仅当F1，M，N，E共线时取等号，故选B.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.依据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又依据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1).答案(1)B(2)x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1)考点二双曲线的标准方程【例2】(1)(一题多解)(2024·东北三省四校联考)经过点(2，1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1 B.eq\f(x2,2)－y2＝1C.eq\f(y2,\f(11,3))－eq\f(x2,11)＝1 D.eq\f(y2,11)－eq\f(x2,\f(11,3))＝1(2)(2024·洛阳二模)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，eq\r(3))在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为()A.x2－y2＝1 B.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1C.x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1解析(1)法一设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得eq\f(|k×0－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\r(3).因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，将(2，1)代入可得eq\f(4,a2)－eq\f(1,b2)＝1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(4,a2)－\f(1,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(11,3)，,b2＝11，))故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1.法二设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，将(2，1)代入方程可得，4m－n＝1.①双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(\f(m,n))x，圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，可得eq\f(2,\r(1＋\f(m,n)))＝1，即eq\f(m,n)＝3，②由①②可得m＝eq\f(3,11)，n＝eq\f(1,11)，所以该双曲线的标准方程为eq\f(x2,\f(11,3))－eq\f(y2,11)＝1，故选A.(2)∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴|PF1|＋|PF2|＝4c.∵点P位于第一象限，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c＋a，|PF2|＝2c－a，∴cos∠PF2F1＝eq\f(4c2＋（2c－a）2－（2c＋a）2,4c（2c－a）)＝eq\f(c－2a,2c－a)，又点P(2，eq\r(3))在双曲线上，∴sin∠PF2F1＝eq\f(\r(3),2c－a)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c－2a,2c－a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,（2c－a）2)＝1，化简得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，即c2－a2＝b2＝1，又eq\f(4,a2)－eq\f(3,b2)＝1，∴a2＝1，∴双曲线的方程为x2－y2＝1，故选A.答案(1)A(2)A规律方法1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，假如焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再依据条件求解.2.与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).【训练2】(1)(2024·昆明调研)“0<n<2”是“方程eq\f(x2,n＋1)＋eq\f(y2,n－3)＝1表示双曲线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(eq\r(6)，2)，则双曲线的方程为________________.解析(1)若方程eq\f(x2,n＋1)＋eq\f(y2,n－3)＝1表示双曲线，则(n＋1)·(n－3)<0，解得－1<n<3，则0<n<2的范围小于－1<n<3，所以“0<n<2”是“方程eq\f(x2,n＋1)＋eq\f(y2,n－3)＝1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.(2)由双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(2,3)x，可设双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝λ(λ≠0).因为双曲线过点P(eq\r(6)，2)，所以eq\f(6,9)－eq\f(4,4)＝λ，λ＝－eq\f(1,3)，故所求双曲线方程为eq\f(y2,\f(4,3))－eq\f(x2,3)＝1.答案(1)A(2)eq\f(y2,\f(4,3))－eq\f(x2,3)＝1考点三双曲线的性质多维探究角度1求双曲线的渐近线【例3－1】(2024·广州模拟)设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是()A.eq\r(3)x±y＝0 B.2x±eq\r(7)y＝0C.eq\r(3)x±2y＝0 D.2x±eq\r(3)y＝0解析∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，又知|PF1|＋|PF2|＝4a，∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos60°＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，即eq\f(1,2)＝eq\f(（3a）2＋a2－4c2,2×3a×a)，∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),2)x，即eq\r(3)x±2y＝0，故选C.答案C规律方法双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答.角度2求双曲线的离心率【例3－2】(2024·全国Ⅱ卷)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2 D.eq\r(5)解析设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).则c＝eq\r(a2＋b2)，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2).在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，故eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即e＝eq\r(2).答案A规律方法求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)干脆求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.角度3双曲线几何性质的综合应用【例3－3】(1)已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，则y0的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))(2)(2024·太原模拟)已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq\f(2π,3)，则eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝()A.1 B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析(1)因为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3<0，即3yeq\o\al(2,0)－1<0，解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).(2)如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝eq\f(2,3)π，所以S△AF1F2＝eq\f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝eq\f(1,2)×2a×4a×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)a2.由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，所以S△ABF2＝eq\f(\r(3),4)|AB|2＝eq\f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq\r(3)a2，所以eq\f(S△AF1F2,S△ABF2)＝eq\f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq\f(1,2).故选B.答案(1)A(2)B规律方法1.双曲线几何性质的综合应用涉及学问较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的学问，在解决此类问题时要留意与平面几何学问的联系.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系干脆变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要擅长发觉隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.【训练3】(1)(角度1)(2024·郑州模拟)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2eq\r(3)，则双曲线的渐近线方程为()A.y＝±eq\f(1,2)x B.y＝±eq\f(\r(2),2)xC.y＝±eq\r(2)x D.y＝±2x(2)(角度2)(2024·石家庄模拟)设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是()A.(0，2) B.(1，3]C.[2，3) D.[3，＋∞)(3)(角度3)(2024·长沙统一考试改编)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则△PF1F2的面积为________.解析(1)因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x.(2)由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a＋|PF2|，∴eq\f(|PF1|2,|PF2|)＝eq\f(（2a＋|PF2|）2,|PF2|)＝eq\f(4a2＋|PF2|2＋4a|PF2|,|PF2|)＝eq\f(4a2,|PF2|)＋|PF2|＋4a≥2eq\r(|PF2|·\f(4a2,|PF2|))＋4a＝8a，当且仅当|PF2|＝eq\f(4a2,|PF2|)，即|PF2|＝2a时，等号成立.∵eq\f(|PF1|2,|PF2|)的最小值为8a，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.∵点P在双曲线右支上，∴|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，当且仅当P，F1，F2三点共线且点P为右顶点时等号成立，即6a≥2c，∴e≤3，又∵e>1，∴e∈(1，3]，故选B.(3)设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x－y＝0上，因此可得x0－y0＝0.F1(0，eq\r(2))，F2(0，－eq\r(2))，所以|F1F2|＝2eq\r(2)，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝0，,xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2))得|x0|＝1，于是S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|x0|＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2).答案(1)B(2)B(3)eq\r(2)A级基础巩固一、选择题1.(2024·浙江卷)双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是()A.(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D.(0，－2)，(0，2)解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).答案B2.(2024·全国Ⅱ卷)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，则其渐近线方程为()A.y＝±eq\r(2)x B.y＝±eq\r(3)xC.y＝±eq\f(\r(2),2)x D.y＝±eq\f(\r(3),2)x解析由题意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a，即eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.答案A3.(2024·全国Ⅰ卷)双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为()A.2sin40° B.2cos40°C.eq\f(1,sin50°) D.eq\f(1,cos50°)解析由题意可得－eq\f(b,a)＝tan130°，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋tan2130°)＝eq\r(1＋\f(sin2130°,cos2130°))＝eq\f(1,|cos130°|)＝eq\f(1,cos50°).故选D.答案D4.(一题多解)(2024·全国Ⅲ卷)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(2)，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A.eq\r(2) B.2 C.eq\f(3\r(2),2) D.2eq\r(2)解析法一由离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，得c＝eq\r(2)a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).法二离心率e＝eq\r(2)的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，∴点(4，0)到C的渐近线的距离为eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).答案D5.已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(－1，3) B.(－1，eq\r(3))C.(0，3) D.(0，eq\r(3))解析∵方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由双曲线性质，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3，故选A.答案A6.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,5) C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,5)解析由x2－y2＝2，知a＝b＝eq\r(2)，c＝2.由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝2eq\r(2)，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4eq\r(2)，|PF2|＝2eq\r(2)，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(3,4).答案C7.设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于()A.4 B.3 C.2 D.1解析连接PF2，OT，则有|MO|＝eq\f(1,2)|PF2|＝eq\f(1,2)(|PF1|－2a)＝eq\f(1,2)(|PF1|－6)＝eq\f(1,2)|PF1|－3，|MT|＝eq\f(1,2)·|PF1|－|F1T|＝eq\f(1,2)|PF1|－eq\r(c2－32)＝eq\f(1,2)|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|PF1|－3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)|PF1|－4))＝1，故选D.答案D8.(2024·沈阳模拟)已知双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，eq\r(2))，则△APF周长的最小值为()A.4＋eq\r(2) B.4(1＋eq\r(2))C.2(eq\r(2)＋eq\r(6)) D.eq\r(6)＋3eq\r(2)解析由题意知F(eq\r(6)，0)，设左焦点为F0，则F0(－eq\r(6)，0)，由题意可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝eq\r(（0＋\r(6)）2＋（\r(2)－0）2)＋eq\r(（\r(6)－0）2＋（0－\r(2)）2)＋2×2＝4eq\r(2)＋4＝4(eq\r(2)＋1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“＝”，故选B.答案B二、填空题9.直线l：y＝2x＋10过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_________________________.解析由题意得一个焦点为F(－5，0)，c＝5，eq\f(b,a)＝2，又a2＋b2＝c2，所以a2＝5，b2＝20，所以双曲线方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.答案eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝110.(多填题)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq\r(5)，0)，则a＝________；b＝________.解析由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以eq\f(b,a)＝2.又c＝eq\r(5)，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.答案1211.设椭圆C1的离心率为eq\f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的肯定值等于8，则曲线C2的标准方程为________________.解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知，a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1.即eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.答案eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝112.设双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________.解析a2＝9，b2＝16，故c＝5.∴A(3，0)，F(5，0)，不妨设直线BF的方程为y＝eq\f(4,3)(x－5)，代入双曲线方程解得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,5)，－\f(32,15))).∴S△AFB＝eq\f(1,2)|AF|·|yB|＝eq\f(1,2)·2·eq\f(32,15)＝eq\f(32,15).答案eq\f(32,15)B级实力提升13.(2024·长沙雅礼中学模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满意2|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|≤|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1，2] B.[2，＋∞)C.(1，eq\r(2)] D.[eq\r(2)，＋∞)解析当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP，因为OP为△PF1F2的边F1F2上的中线，所以eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→)))；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满意上述等式.因为双曲线上存在点P满意2|eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))|≤|eq\o(F1F2,\s\up6(→))|，所以4|eq\o(PO,\s\up6(→))|≤2c，由|eq\o(PO,\s\up6(→))|≥a，可知4a≤2c，则e≥2，选B.答案B14.(2024·石家庄模拟改编)已知双曲线C：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A，B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|的值为________.解析由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，由于|AF1|＝|BF1|，所以两式相加可得|AF2|－|BF2|＝4a，而|AB|＝|AF2|－|BF2|，∴|AB|＝4a，由双曲线方程知a＝4，∴|AB|＝16.答案1615.(2024·南昌联考)点P是椭圆eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)和双曲线eq\f(x2,aeq\o\al(2,2))－eq\f(y2,beq\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则eq\f(b1,b2)的值是_______