2025届高考数学二轮复习专题能力训练19排列组合与二项式定理理含解析

PAGE专题实力训练19排列、组合与二项式定理专题实力训练第44页

一、实力突破训练1.某电视台的一个综艺栏目对含甲、乙在内的六个不同节目排演出依次,第一个节目只能排甲或乙,最终一个节目不能排甲,则不同的排法共有()A.192种 B.216种 C.240种 D.288种答案:B解析:完成这件事,可分两类:第一类,第一个节目排甲,其余位置有A55=120种不同的排法;其次类,第一个节目排乙,最终一个节目有4种排法,其余位置有A44=24种不同的排法.所以共有A55+2.已知x2+1xn的绽开式的各项系数和为32,则绽开式中xA.5 B.40 C.20 D.10答案:D解析:令x=1,得2n=32,所以n=5,则C5r(x2)5-r1xr=C5rx10-3r.令10-3r=4,得r=2,所以绽开3.(2024天津,理10改编)2x-18x38的绽开式中的常数项为(A.8 B.14 C.21 D.28答案:D解析:Tr+1=C8r(2x)8-r1-=C8r·28-r·-18r·x8-4令8-4r=0,解得r=2.故常数项为C8226-182=C822614.若x6+1xxn的绽开式中含有常数项,A.3 B.4 C.5 D.6答案:C解析:绽开式的通项为Tr+1=Cnr(x6)n-r1xxr=Cnrx6n-152r,因为绽开式中含常数项,所以6n-152r=0成立,5.(2024全国Ⅰ,理8)x+y2x(x+y)5的绽开式中x3y3A.5 B.10 C.15 D.20答案:C解析:因为(x+y)5的通项公式为C5r·x5-r·yr(r=0,1,2,3,4,5),所以当r=1时,y2x·C51x4y=5x3y3,当r=3时,x·C53x2y3=10x3y3,6.某学校组织演讲竞赛,打算从甲、乙等八名同学中选派四名同学参与,要求甲、乙两名同学至少有一人参与,且若甲、乙同时参与时,他们的演讲依次不能相邻,那么不同的演讲依次的种数为()A.1860 B.1320 C.1140 D.1020答案:C解析:依题意,就甲、乙两名同学中实际参与演讲竞赛的人数进行分类计数:第一类,甲、乙两名同学中实际参与演讲竞赛的恰有一人,满意题意的不同的演讲依次的种数为C21·C63·A44=960;其次类,甲、乙两名同学中实际参与演讲竞赛的恰有两人,满意题意的不同的演讲依次的种数为C22·C62·7.若二项式(3-x)n(n∈N*)中全部项的系数之和为a,全部项的系数的肯定值之和为b,则ba+abA.2 B.52 C.答案:B解析:令x=1,a=2n,令x=-1,b=4n,ba+ab=2n+12n,令t=2n,t≥2,则ba+ab=2n8.在某市记者款待会上,须要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问,两家电视台均有记者5人,主持人须要从这10名记者中选出4名记者提问,且这4人中,既有甲电视台记者,又有乙电视台记者,且甲电视台的记者不行以连续提问,则不同的提问方式的种数为()A.1200 B.2400 C.3000 D.3600答案:B解析:若4人中,有甲电视台记者1人,乙电视台记者3人,则不同的提问方式总数是C51C53A44=1200,若4人中,有甲电视台记者2人,乙电视台记者2人,则不同的提问方式总数是C52C52A22A32=1200,若4人中,9.在(1+x)6(1+y)4的绽开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45 B.60 C.120 D.210答案:C解析:∵(1+x)6绽开式的通项为Tr+1=C6rxr,(1+y)4绽开式的通项为Th+1=C4∴(1+x)6(1+y)4绽开式的通项可以为C6rC4h∴f(m,n)=C∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C10.已知二项式x+12ax9的绽开式中含x3的系数为-212,A.e2+12 B.答案:C解析:二项式x+12ax9的绽开式的通项公式为Tr+1=C9rx9-r12axr=C9r12arx9-2r,令9-2r=3,r=3,11.(2024全国Ⅲ,理14)x2+2x6的绽开式中常数项是.答案:240解析:∵x2+2x6的通项为Tr+1=C6r(x2)6-r2xr∴当且仅当12-3r=0,即r=4时,Tr+1为常数项,即T5=C64·2412.已知(1+3x)n的绽开式中含有x2项的系数是54,则n=.

答案:4解析:二项绽开式的通项Tr+1=Cnr(3x)r=3r·Cnr·xr,令r=2,得32·13.(2024全国Ⅱ,理14)4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少支配1名同学,则不同的支配方法共有种.

答案:36解析:由题意可知,必有两名同学去同一个小区,故不同的支配方法共有C42A3314.在3x-2xn的二项式中,全部项的二项式系数之和为答案:112解析:由二项式定理,得全部项的二项式系数之和为2n,由题意,得2n=256,所以n=8.二项式绽开式的通项为Tr+1=C8r(3x)8-r-2x求常数项则令83-43r=0,所以r=2,所以T15.现将6张连号的门票分给甲、乙等六人,每人1张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有种不同的分法.(用数字作答)

答案:240解析:甲、乙分得的门票连号,共有5A22=5×2=10种状况,其余四人每人分得1张门票,共有A44=24种状况,所以共有10×2416.已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.

答案:164解析:由二项式绽开式可得通项公式为C3rx3-rC2mx2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×217.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,一般队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)

答案:660解析:由题意可得,总的选择方法为C84C41C31种方法,其中不满意题意的选法有C64C18.某高三毕业班有40名同学,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)

答案:1560解析:该问题是一个排列问题,故共有A402=40×39=1560二、思维提升训练19.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是()A.210 B.84 C.343 D.336答案:D解析:7个台阶上每一个只站一人有A73种;若有一个台阶有2人,则共有C31A72种20.设m为正整数,(x+y)2m绽开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1绽开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=()A.5 B.6 C.7 D.8答案:B解析:由题意可知,a=C2mm,∵13a=7b,∴13·(2m)!即137=2m+1m+121.某学校支配甲、乙、丙、丁四位同学参与数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参与,且甲、乙不能参与同一学科,则不同的支配方法有()A.36种 B.30种 C.24种 D.6种答案:B解析:首先从四个人中选择2个人作为一组,其余2个人各自一组分派到三个竞赛区,共有C42·A33种方法,再将甲、乙参与同一学科的种数A33解除,继而所求的支配方法有22.若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则log2(a1+a3+a5+…+a11)等于()A.27 B.28 C.7 D.8答案:C解析:令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28,①令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0,②由①-②,得2(a1+a3+…+a11)=28,∴a1+a3+…+a11=27,∴log2(a1+a3+…+a11)=7.23.若一个四位数的各位数字相加和为10,则称该数为“完备四位数”,如数字“2017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2017的“完备四位数”的个数为()A.71 B.66 C.59 D.53答案:A解析:依据题意,四位数字相加和为10的状况有①0,1,3,6;②0,1,4,5;③0,1,2,7;④0,2,3,5;⑤1,2,3,4;共5种状况,①当四个数字为0,1,3,6时,千位数字可以为3或6,有2种状况,将其余3个数字全排列,有A33=6种状况,此时有2×6=12个“完备四位数②当四个数字为0,1,4,5时,千位数字可以为4或5,有2种状况,将其余3个数字全排列,有A33=6种状况,此时有2×6=12个“完备四位数③当四个数字为0,1,2,7时,千位数字为7时,将其余3个数字全排列,有A33=6种状况,千位数字为2时,有2071,2107,2170,2701,2710,共5种状况,此时有6+5=11个“完备四位数④当四个数字为0,2,3,5时,千位数字可以为2或3或5,有3种状况,将其余3个数字全排列,有A33=6种状况,此时有3×6=18个“完备四位数⑤当四个数字为1,2,3,4时,千位数字可以为3或4或2,有3种状况,将其余3个数字全排列,有A33=6种状况,此时有3×6=18个“完备四位数则一共有12+12+11+18+18=71个“完备四位数”.24.1-90C101+902C102-903C103+…+(-1)k90kC10k+…+90A.-1 B.1 C.-87 D.87答案:B解析:1-90C101+902C102+…+(-1)k90kC10k+…+9010C1010=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C101889+…+C10988+25.某人依据自己爱好,希望从{W,X,Y,Z}中选2个不同字母,从{0,2,6,8}中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母Z和数字2不能相邻,那么满意要求的车牌号有()A.198个 B.180个 C.216个 D.234个答案:A解析:不选2时,有A33A42=72种;选2,不选Z时,有C21C32A22A32=72种;选2,选Z时,2在数字的中间,有A32C21C31=36种,当226.已知(2+ax)(1+x)5的绽开式中含x2项的系数为15,则绽开式中全部项的系数和为.

答案:32解析:∵(1+x)5的绽开式的通项为Tr+1=C5rx∴(2+ax)(1+x)5的绽开式中含x2项的系数为2C52+aC51=15,设(2-x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=25=32.27.用数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字且为5的倍数的四位数,把所组成的全部四位数从小到大排列起来,则3125是第个数.

答案:54解析:当千位数字为1时,末位数字有C21种选择,另外两个数位有A42种选择,所以共有C21A42=24个数;当千位数字为2时,末位数字有C21种选择,另外两个数位有A42种选择,所以共有C综上,比3125小的数共有53个,所以3125是第54个数.28.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参与;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有C63种选法