2025届高考物理一轮复习第五章天体运动第22讲天体运动的热点问题教学案新人教版

PAGE26-第22讲天体运动的热点问题实力命题点一卫星运行参量的分析与比较1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在eq\x(\s\up1(01))赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在eq\x(\s\up1(02))垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道。留意：①全部卫星的轨道平面肯定通过地球的球心。②除过特别的椭圆轨道的卫星，一般卫星的运行轨道可认为是圆。2．卫星的运行参数随轨道半径改变的规律由Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝m·4π2n2r可得：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(v＝\r(\f(GM,r)),ω＝\r(\f(GM,r3)),T＝\r(\f(4π2r3,GM)),n＝\r(\f(GM,4π2r3)),a＝\f(GM,r2)))⇒当r增大时eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(v减小,ω减小,T增大,n减小,a减小))越高越慢3．地球同步卫星的特点(2024·安徽宣城二模)有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未放射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面旁边近地轨道上正常运行，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有()A．a的向心加速度等于重力加速度gB．b在相同时间内转过的弧长最长C．c在4h内转过的圆心角是eq\f(π,6)D．d的运动周期有可能是20h解析同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a与c的角速度相同，依据a＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度，由Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得：a＝eq\f(GM,r2)，可知卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，故a的向心加速度小于重力加速度g，A错误；由v＝ωr知，a的线速度小于c的线速度，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得：v＝eq\r(\f(GM,r))，可知卫星的轨道半径r越大，线速度v越小，所以b的线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，B正确；c是地球同步卫星，周期是24h，则c在4h内转过的圆心角是eq\f(2π,24)×4＝eq\f(π,3)，故C错误；由开普勒第三定律得：eq\f(r3,T2)＝k，可知卫星的轨道半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24h，故D错误。答案B近地卫星、赤道上静止物体和同步卫星的比较如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为地球同步卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。近地卫星(r1、ω1、v1、a1)同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r2>r3＝r1角速度由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，故ω1>ω2同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3ω1>ω2＝ω3线速度由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，故v1>v2由v＝ωr得v2>v3v1>v2>v3向心加速度由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)，故a1>a2由a＝ω2r得a2>a3a1>a2>a31．(2024·河北省衡水市武邑中学高三下第一次质检)2017年11月21日，我国以“一箭三星”方式将吉林一号视频04、05、06星胜利放射。其中吉林一号04星的工作轨道高度约为535km，比同步卫星轨道低许多，同步卫星的轨道又低于月球的轨道，其轨道关系如图所示。下列说法正确的是()A．吉林一号04星的放射速度肯定小于7.9km/sB．同步卫星绕地球运行的角速度比月球绕地球的角速度大C．吉林一号04星绕地球运行的周期比同步卫星的周期大D．全部卫星在运行轨道上完全失重，重力加速度为零答案B解析第一宇宙速度是7.9km/s，为卫星的最小放射速度，故A错误；卫星做匀速圆周运动，万有引力供应向心力，依据牛顿其次定律，有：Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，故ω＝eq\r(\f(GM,r3))，同步卫星离地球比月球近，可知同步卫星绕地球运行的角速度比月球绕地球的角速度大，故B正确；卫星做匀速圆周运动，万有引力供应向心力，依据牛顿其次定律，有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(2π,T)2r，故T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，吉林一号04星离地球比同步卫星近，可知吉林一号04星绕地球运行的周期比同步卫星的周期小，故C错误；全部卫星做匀速圆周运动，在运行轨道上完全失重，但重力加速度不为零，故D错误。2．(2024·天津高考)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天幻想的嫦娥四号探测器胜利放射，“实现人类航天器首次在月球背面巡察探测，领先在月背刻上了中国踪迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的()A．周期为eq\r(\f(4π2r3,GM)) B．动能为eq\f(GMm,2R)C．角速度为eq\r(\f(Gm,r3)) D．向心加速度为eq\f(GM,R2)答案A解析探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力供应向心力，对探测器，由牛顿其次定律得，Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，解得周期T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，A正确；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)知，动能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，B错误；由Geq\f(Mm,r2)＝mrω2得，角速度ω＝eq\r(\f(GM,r3))，C错误；由Geq\f(Mm,r2)＝ma得，向心加速度a＝eq\f(GM,r2)，D错误。3.(2024·四川高考)国务院批复，自2024年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次胜利放射的人造卫星东方红一号，目前仍旧在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km；1984年4月8日胜利放射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为()A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3答案D解析卫星围绕地球运行时，万有引力供应向心力，对于东方红一号，在远地点时有Geq\f(Mm1,R＋h12)＝m1a1，即a1＝eq\f(GM,R＋h12)，对于东方红二号，有Geq\f(Mm2,R＋h22)＝m2a2，即a2＝eq\f(GM,R＋h22)，由于h2>h1，故a1>a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，依据a＝ω2r，故a2>a3，所以a1>a2>a3，D正确，A、B、C错误。实力命题点二宇宙速度的理解与计算1．环绕速度与放射速度的比较近地卫星的环绕速度v＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(gR)＝eq\x(\s\up1(01))7.9_km/s，通常称为第一宇宙速度，它是地球四周的全部卫星绕地球做匀速圆周运动的最大eq\x(\s\up1(02))运行速度，是在地面上放射卫星的最小eq\x(\s\up1(03))放射速度。2．三种宇宙速度宇宙速度数值(km/s)意义第一宇宙速度eq\x(\s\up1(04))7.9这是卫星的最小放射速度，若7.9km/s≤v<11.2km/s，卫星绕地球运行其次宇宙速度eq\x(\s\up1(05))11.2这是卫星摆脱地球引力束缚的最小放射速度，若11.2km/s≤v<16.7km/s，卫星绕太阳系内除地球外的其他星体运行第三宇宙速度eq\x(\s\up1(06))16.7这是卫星摆脱太阳引力束缚的最小放射速度，若v≥16.7km/s，卫星将脱离太阳系在宇宙空间运行(多选)在星球表面放射探测器，当放射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当放射速度达到eq\r(2)v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有()A．探测器的质量越大，脱离星球所须要的放射速度越大B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C．探测器分别脱离两星球所须要的放射速度相等D．探测器脱离星球的过程中，势能渐渐增大解析放射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动，由eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))，M为星球的质量，要使探测器脱离星球的吸引，则放射速度为v脱＝eq\r(2)v＝eq\r(\f(2GM,R))，该速度与探测器的质量无关，由此式可知，探测器分别脱离地球和火星所须要的放射速度不同，A、C错误；探测器在星球表面受到的引力F＝eq\f(GMm,R2)，在两星球表面受到的引力之比eq\f(F地,F火)＝eq\f(M地,M火)·eq\f(R\o\al(2,火),R\o\al(2,地))＝eq\f(5,2)，B正确；探测器脱离星球的过程中，万有引力做负功，势能渐渐增大，D正确。答案BD(1)第一宇宙速度的推导有两种方法：①由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(2,1),R)得v1＝eq\r(\f(GM,R))；②由mg＝meq\f(v\o\al(2,1),R)得v1＝eq\r(gR)。(2)第一宇宙速度的公式不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M、R、g必需与相应星球对应，不能套用地球的参数。1．(2024·河北衡水中学高三二调)(多选)使物体成为卫星的最小放射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所须要的最小放射速度称为其次宇宙速度v2，v2与v1的关系是v2＝eq\r(2)v1，已知某星球半径是地球半径R的eq\f(1,3)，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)，地球的平均密度为ρ，不计其他星球的影响，则()A．该星球上的第一宇宙速度为eq\f(\r(3gR),3)B．该星球上的其次宇宙速度为eq\f(\r(gR),3)C．该星球的平均密度为eq\f(ρ,2)D．该星球的质量为eq\f(8πR3ρ,81)答案BC解析该星球上的第一宇宙速度v1′＝eq\r(g′R′)＝eq\r(\f(g,6)·\f(R,3))＝eq\f(\r(2gR),6)，故A错误；依据题意，该星球上的其次宇宙速度v2′＝eq\r(2)v1′＝eq\f(\r(gR),3)，故B正确；依据公式gR2＝GM，且M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，故ρ＝eq\f(3g,4GRπ)，所以该星球的平均密度ρ′＝eq\f(\f(1,6),\f(1,3))ρ＝eq\f(ρ,2)，故C正确；该星球的质量M′＝ρ′·eq\f(4,3)πR′3＝eq\f(ρ,2)×eq\f(4,3)πeq\f(R,3)3＝eq\f(2πR3ρ,81)，故D错误。2．(2024·天津高考模拟)近来，有越来越多的天文观测现象和数据证明黑洞的确存在。科学探讨表明，当天体的逃逸速度(即其次宇宙速度，为第一宇宙速度的eq\r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的第一宇宙速度为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于()A.eq\f(2kv\o\al(2,1)R,c2) B.eq\f(2kc2R,v\o\al(2,1))C.eq\f(v\o\al(2,1)R,kc2) D.eq\f(c2R,kv\o\al(2,1))答案A解析地球的第一宇宙速度为v1，则Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，设天体成为黑洞时其半径为r，第一宇宙速度为v2，则eq\f(GkMm,r2)＝meq\f(v\o\al(2,2),r)，而c＝eq\r(2)v2，联立解得：r＝eq\f(2kv\o\al(2,1)R,c2)，故A正确。实力命题点三卫星的变轨问题1．卫星的放射及变轨过程人造卫星的放射要经过多次变轨才能到达预定轨道，如图所示。(1)为了节约能量，在赤道上顺着地球自转方向放射卫星到圆轨道Ⅰ上。(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以供应在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。2．变轨过程各物理量分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时的加速度也相同。(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径(半长轴)分别为r1、r2、r3，由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒，若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。3．卫星回收过程与放射过程的对比卫星放射与回收过程，可以看成可逆过程去理解。(2024·湖南常德高三一模)(多选)2018年12月8日放射胜利的“嫦娥四号”探测器经过约110小时奔月飞行，到达月球旁边，胜利实施近月制动，顺当完成“太空刹车”，被月球捕获并顺当进入环月轨道。若将整个奔月过程简化如下：“嫦娥四号”探测器从地球表面放射后，进入地月转移轨道，经过M点时变轨进入距离月球表面100km的圆形轨道Ⅰ，在轨道Ⅰ上经过P点时再次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，之后将择机在Q点着陆月球表面。下列说法正确的是()A．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行时，在P点的加速度大于在Q点的加速度B．“嫦娥四号”沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运行速度小于月球的第一宇宙速度D．“嫦娥四号”在地月转移轨道上M点的速度大于在轨道Ⅰ上M点的速度解析依据牛顿其次定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，可知卫星加速度大小只与卫星到月心的距离有关，距离越大加速度越小，A错误；依据开普勒第三定律可知卫星在轨道Ⅱ上运行轨道的半长轴小于在轨道Ⅰ上的轨道半径，所以卫星在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅰ上运行的周期，B错误；月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的轨道半径大于月球半径，可知“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小，C正确；“嫦娥四号”在地月转移轨道上经过M点若要进入轨道Ⅰ，需减速，所以在地月转移轨道上经过M点的速度比在轨道Ⅰ上经过M点的速度大，D正确。答案CD卫星变轨问题中参量的比较(1)速度(动能)①卫星变轨前后在同一位置不同轨道的速度大小比较：可以依据发动机做功的正负比较，还可以依据变轨后是做近心运动还是离心运动比较。②卫星在同一轨道不同位置速度的比较：可以依据开普勒其次定律比较，还可以依据万有引力做功的正负比较。③卫星在变轨前后稳定圆轨道的速度比较：依据v＝eq\a\vs4\al(\r(\f(GM,r)))比较。(2)加速度：依据a＝eq\f(GM,r2)比较。(3)周期：依据开普勒第三定律比较。(4)能量：机械能改变依据发动机做功状况推断，或者依据引力势能与动能之和的改变推断。引力势能的改变依据万有引力做功状况推断。1．(2024·河南开封一模)2018年12月12日16时45分“嫦娥四号”探测器经过约110小时的奔月飞行到达月球旁边。假设“嫦娥四号”在月球上空某高度处做圆周运动，运行速度为v1，为胜利实施近月制动，使它进入更靠近月球的预定圆轨道，运行速度为v2。对这一变轨过程及变轨前后的速度对比，正确的是()A．发动机向后喷气进入低轨道，v1>v2B．发动机向后喷气进入低轨道，v1<v2C．发动机向前喷气进入低轨道，v1>v2D．发动机向前喷气进入低轨道，v1<v2答案D解析为胜利实施近月制动，使“嫦娥四号”进入更靠近月球的预定圆轨道，故发动机应向前喷气减速，使“嫦娥四号”做近心运动，进入低轨道；在更靠近月球的预定圆轨道上运动时，轨道半径变小，依据万有引力供应向心力，则有：eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，解得：v＝eq\r(\f(GM,r))，其中r为轨道半径，所以运行速度增大，即v1＜v2，故D正确。2．(2024·湖北八校联合二模)中国志愿者王跃参加人类历史上第一次全过程模拟从地球来回火星的试验“火星－500”。假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经验如图所示的变轨过程，则下列说法不正确的是()A．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P点的速度大于在Q点的速度B．飞船在轨道Ⅰ上运动时在P点的速度大于在轨道Ⅱ上运动时在P点的速度C．飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，测出飞船在轨道Ⅰ上运动的周期，就可以推知火星的密度答案B解析在轨道Ⅱ上，由Q点到P点，万有引力做正功，依据动能定理知，速度增大，则在P点的速度大于在Q点的速度，故A正确；卫星在轨道Ⅰ上的P点进入轨道Ⅱ，要做离心运动，需加速，可知在轨道Ⅱ上时在P点的速度大于在轨道Ⅰ上时在P点的速度，故B错误；在不同轨道上的P点，由于所受的万有引力相等，依据牛顿其次定律知，加速度大小相等，故C正确；设火星的半径为R，依据Geq\f(Mm,R2)＝mReq\f(4π2,T2)得火星的质量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，则火星的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4πR3,3))＝eq\f(3π,GT2)，故D正确。实力命题点四卫星的追及相遇问题对于卫星的追及相遇问题一般存在下列两种状况：1．卫星对接、摧毁，最常见的是由低轨道向高轨道正常运行的卫星对接。2．绕行方向相同的两卫星和天体的连线在同始终线上，处于内轨道的卫星周期T1小，处于外轨道的卫星周期T2大。(1)当两卫星都在天体同侧时，那么当t满意下列式子时两卫星相距最近：eq\f(2π,T1)t－eq\f(2π,T2)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)。(2)当两卫星在天体异侧时，那么当t满意下列式子时两卫星相距最近：eq\f(2π,T1)t－eq\f(2π,T2)t＝π＋2nπ(n＝0,1,2,3，…)。(2024·安徽定远重点中学高三二模)(多选)2018年4月2日8时15分左右，中国第一个目标飞行器“天宫一号”再入大气层，落到南太平洋中部区域，绝大部分器件在再入大气层过程中由于空气阻力的作用烧蚀销毁，对航空活动以及地面造成危害的可能性微小。如图所示，a是“天宫一号”飞行器，b、c是地球同步卫星，此时a、b恰好相距最近。已知地球质量为M，半径为R，地球自转的角速度为ω，“天宫一号”飞行器a的轨道半径为r，引力常量为G，则()A．“天宫一号”飞行器a的周期小于24小时B．卫星b的机械能肯定等于卫星c的机械能C．若“天宫一号”飞行器a在下落的过程中质量保持不变，则“天宫一号”飞行器a的机械能将增加D．若“天宫一号”飞行器a和卫星b均逆时针方向转动，则到下一次相距最近，还需经过时间t＝eq\f(2π,\r(\f(GM,r3))－ω)解析依据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，可知卫星的轨道半径越大，周期越大，因b、c的周期为24h，则“天宫一号”飞行器a的周期小于24小时，A正确；卫星的机械能等于其动能与势能之和，因不知道卫星b、c的质量大小关系，故不能确定卫星b与c的机械能大小关系，B错误；“天宫一号”飞行器a在下落的过程中质量保持不变，但因下落过程中空气阻力做负功，则“天宫一号”飞行器a的机械能将减小，C错误；依据万有引力供应向心力有Geq\f(mM,r2)＝mωeq\o\al(2,α)r，可得a卫星的角速度ωα＝eq\r(\f(GM,r3))，卫星轨道半径越大角速度越小，卫星a、b由相距最近至再次相距最近时，圆周运动转过的角度差为2π，即ωαt－ωt＝2π，可得经验的时间t＝eq\f(2π,\r(\f(GM,r3))－ω)，D正确。答案AD绕同一天体运动且绕向相同的两卫星，从第一次相距最近到其次次相距最近，实际状况就是周期小的比周期大的多转过了2π弧度(即一圈)。1.(2024·天津高考)我国放射了“天宫二号”空间试验室，之后放射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间试验室的对接，下列措施可行的是()A．使飞船与空间试验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间试验室实现对接B．使飞船与空间试验室在同一轨道上运行，然后空间试验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间试验室半径小的轨道上加速，加速后飞船渐渐靠近空间试验室，两者速度接近时实现对接D．飞船先在比空间试验室半径小的轨道上减速，减速后飞船渐渐靠近空间试验室，两者速度接近时实现对接答案C解析飞船在同一轨道上加速追逐空间试验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间试验室的对接，A错误；同理，空间试验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间试验室做近心运动，也不能实现对接，B错误；当飞船在比空间试验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，渐渐靠近空间试验室，可实现对接，C正确；当飞船在比空间试验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间试验室，不能实现对接，D错误。2．(多选)太阳系中某行星运行的轨道半径为R0，周期为T0。但天文学家在长期观测中发觉，其实际运行的轨道总是存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离(行星仍旧近似做匀速圆周运动)。天文学家认为形成这种现象的缘由可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星。假设两行星的运行轨道在同一平面内，且绕行方向相同，则这颗未知行星运行轨道的半径R和周期T是(认为未知行星近似做匀速圆周运动)()A．T＝eq\f(t\o\al(2,0),t0－T0) B．T＝eq\f(t0,t0－T0)T0C．R＝R0eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t0,t0－T0)))2) D．R＝R0eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t0－T0,t0)))2)答案BC解析行星的轨道发生最大的偏离时肯定是行星与未知行星相距最近时，设某时刻行星和未知行星相距最近，经过t0时间，行星和未知行星再次相距最近，则行星转过的角度为θ1＝eq\f(2π,T0)·t0，未知行星转过的角度为θ2＝eq\f(2π,T)·t0，有θ1－θ2＝2π，解得T＝eq\f(t0,t0－T0)T0，A错误，B正确；依据开普勒第三定律有eq\f(R3,T2)＝eq\f(R\o\al(3,0),T\o\al(2,0))，故有R＝R0eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t0,t0－T0)))2)，C正确，D错误。实力命题点五双星与多星问题1．双星系统(1)双星系统的特点①是一个绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，不受其他星体影响。如图所示。②各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互供应，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2。③两个星体的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。④两个星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。(2)两个星体到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq\f(m1,m2)＝eq\f(r2,r1)，与星体运动的线速度成正比，即eq\f(v1,v2)＝eq\f(r1,r2)。(3)双星的运动周期T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))。(同学们自己可以证明)(4)双星的总质量m1＋m2＝eq\f(4π2L3,T2G)。(同学们自己可以证明)2．多星系统(1)三星系统①三星同线：如图甲所示。特点：三星转动方向相同，角速度大小相等，都绕O点转动。②三星在三角形三个顶点处：如图乙所示。特点：万有引力的合力指向圆心O点，合力供应向心力；三星同向转动，角速度大小相等，都绕O点转动；三星质量一般不相等。注：三星质量相等的状况只是志向状况，实际不存在。(2024·安徽高考)由三颗星体构成的系统，忽视其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般状况)。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a(1)A星体所受合力大小FA；(2)B星体所受合力大小FB；(3)C星体的轨道半径RC；(4)三星体做圆周运动的周期T。解析(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)＝FCA，方向如图则合力大小为FA＝2FBAcos30°＝2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)。(2)B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)FCB＝Geq\f(mCmB,r2)＝Geq\f(m2,a2)，方向如图由FBx＝FABcos60°＋FCB＝2Geq\f(m2,a2)FBy＝FABsin60°＝eq\r(3)Geq\f(m2,a2)可得FB＝eq\r(F\o\al(2,Bx)＋F\o\al(2,By))＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)。或：B星体受A星体的引力FAB＝Geq\f(2m2,a2)，FCB＝Geq\f(m2,a2)，方向如图，由三角形定则结合余弦定理，得：FB＝eq\r(F\o\al(2,AB)＋F\o\al(2,CB)－2FABFCBcos120°)＝eq\f(\r(7)Gm2,a2)。(3)通过分析可知，圆心O在BC的中垂线AD的中点，RC＝OC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2)＝eq\f(\r(7),4)a。或：由对称性可知OB＝OC＝RC，cos∠OBD＝eq\f(FBx,FB)＝eq\f(DB,OB)＝eq\f(\f(1,2)a,RC)，可得RC＝eq\f(\r(7),4)a。(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2RC可得T＝πeq\r(\f(a3,Gm))。答案(1)FA＝2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)(2)FB＝eq\r(7)G·eq\f(m2,a2)(3)RC＝eq\f(\r(7),4)a(4)T＝πeq\r(\f(a3,Gm))解决双星、多星问题的关键点(1)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力供应。(2)星体的角速度相等。(3)星体的轨道半径不是天体间的距离。要确定星体做圆周运动的圆心，利用几何学问，找寻轨道半径与天体间距离的关系，正确计算万有引力和向心力。1．(2024·贵阳一模)2024年，人类第一次干脆探测到来自双中子星合并的引力波信号。依据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并之前，它们绕二者连线上的某点做圆周运动，且二者越转越近，最终碰撞在一起，形成新的天体。若将两颗中子星都看做是质量匀称分布的球体，则此过程中两中子星的()A．线速度渐渐变小 B．角速度保持不变C．周期渐渐变大 D．向心加速度渐渐变大答案D解析设两颗星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，相距L，依据万有引力供应向心力可知：eq\f(Gm1m2,L2)＝m1r1ω2①，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2r2ω2②，①＋②整理可得：eq\f(Gm1＋m2,L2)＝(r1＋r2)ω2＝eq\f(4π2L,T2)，解得ω＝eq\r(\f(Gm1＋m2,L3))，T＝eq\r(\f(4π2L3,Gm1＋m2))，r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，依据线速度和角速度的关系，有v1＝ωr1＝eq\r(\f(Gm\o\al(2,2),m1＋m2L))，v2＝ωr2＝eq\r(\f(Gm\o\al(2,1),m1＋m2L))，由题可知两颗星的距离减小，故线速度变大，角速度变大，周期变小，A、B、C错误；两颗星的向心加速度a1＝eq\f(Gm2,L2)，a2＝eq\f(Gm1,L2)，故可推断两颗星的向心加速度变大，D正确。2．(2024·河北省衡水市武邑中学高三下第一次质检)(多选)天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是()A．三颗星的质量可能不相等B．某颗星的质量为eq\f(4π2l3,3GT2)C．它们的线速度大小均为eq\f(2\r(3)πl,T)D．它们两两之间的万有引力大小为eq\f(16π4l4,9GT4)答案BD解析三颗星的轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝eq\f(\f(l,2),cos30°)＝eq\f(\r(3),3)l。依据题意可知其中随意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量肯定相同，设为m，则2Geq\f(m2,l2)cos30°＝m·eq\f(4π2,T2)·eq\f(\r(3),3)l，解得m＝eq\f(4π2l3,3GT2)，它们两两之间的万有引力F＝Geq\f(m2,l2)＝Geq\f(\f(4π2l3,3GT2)2,l2)＝eq\f(16π4l4,9GT4)，A错误，B、D正确；它们的线速度大小为v＝eq\f(2πr,T)＝eq\f(2π,T)·eq\f(\r(3),3)l＝eq\f(2\r(3)πl,3T)，C错误。

课时作业1．科学家预料在银河系里可能有一个“与地球相像”的行星，这个行星存在孕育生命的可能性，若质量可视为匀称分布的球形“与地球相像”的行星的密度为ρ，半径为R，自转周期为T0，万有引力常量为G，则()A．该“与地球相像”的行星的同步卫星的运行速率为eq\f(2πR,T0)B．该“与地球相像”的行星的同步卫星的轨道半径为eq\f(ρGT\o\al(2,0),3π)C．该“与地球相像”的行星表面重力加速度在两极的大小为eq\f(4,3)GρRπD．该“与地球相像”的行星的卫星在星球表面旁边做圆周运动的速率为πReq\r(\f(\a\vs4\al(ρG),3π))答案C解析设同步卫星轨道半径为r，依据匀速圆周运动的线速度公式以及行星的同步卫星周期为T0，知其运行速率为v＝eq\f(2πr,T0)，r是行星的同步卫星的轨道半径，并不是行星半径R，A错误；行星对其同步卫星的万有引力供应同步卫星做匀速圆周运动所需的向心力，则有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,0))r，且M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，解得r＝Req\r(3,\f(ρGT\o\al(2,0),3π))，B错误；由mg星＝Geq\f(Mm,R2)，且M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，解得g星＝eq\f(4,3)GρRπ，C正确；卫星在行星表面旁边做圆周运动的速率为v1＝eq\r(g星R)＝2πReq\r(\f(ρG,3π))，D错误。2.霍曼转移轨道(Hohmanntransferorbit)是一种变换太空船轨道的方法，此种轨道操纵名称来自德国物理学家瓦尔特·霍曼。在电影和小说《流浪地球》中，利用霍曼转移轨道，用最少的燃料地球会到达木星轨道，最终逃出太阳系。如图所示，科学家利用固定在地面的万台超级聚变发动机瞬间点火，使地球在地球轨道Ⅰ上的B点加速，通过运输轨道，再在运输轨道上的A点瞬间点火，从而进入木星轨道Ⅱ。关于地球的运动，下列说法中正确的是()A．在运输轨道上经过A点的速度小于经过B点的速度B．在轨道Ⅱ上经过A点的动能大于在轨道Ⅰ上经过B点的动能C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期D．在轨道Ⅱ上经过A点的加速度小于在运输轨道上经过A点的加速度答案A解析在运输轨道上，A点为远日点，B点为近日点，依据开普勒其次定律知，A点速度小于B点速度，故A正确；轨道Ⅰ和轨道Ⅱ都是圆轨道，依据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得动能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(GMm,2r)，由于rA>rB，故EkA<EkB，故B错误；依据开普勒第三定律知，轨道半径越大，周期越大，则地球在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期，故C错误；同一物体在同一位置所受万有引力相同，则加速度相同，故地球在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度等于在运输轨道上经过A点时的加速度，故D错误。3.我国即将绽开深空探测，安排在2024年通过一次放射，实现火星环绕探测和软着陆巡察探测，已知太阳的质量为M，地球、火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径分别为R1和R2，速率分别为v1和v2，地球绕太阳运动的周期为T。当质量为m的探测器被放射到以地球轨道上的A点为近日点、火星轨道上的B点为远日点的轨道上围绕太阳运行时(如图所示)，只考虑太阳对探测器的作用，则()A．探测器在A点的加速度为eq\f(v\o\al(2,1),R1)B．探测器在B点的加速度为eq\f(4GM,R1＋R22)C．探测器在B点的动能为eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)D．探测器沿椭圆轨道从A飞行到B的时间为答案A解析万有引力供应向心力，探测器受到的万有引力为F＝eq\f(GMm,R2)，在A点时的加速度aA＝eq\f(FA,m)＝eq\f(GM,R\o\al(2,1))，因为对地球有a地＝eq\f(GM,R\o\al(2,1))＝eq\f(v\o\al(2,1),R1)，所以aA＝eq\f(v\o\al(2,1),R1)，A正确；在B点时aB＝eq\f(GM,R\o\al(2,2))，B错误；假如探测器沿火星轨道运动，则速度为v2，动能为eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，在椭圆轨道B点时的速度小于v2，则其动能小于eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，C错误；设探测器沿椭圆轨道运动的周期为T0，由开普勒第三定律得T2∶Teq\o\al(2,0)＝Req\o\al(3,1)∶eq\f(R1＋R2,2)3，探测器从A到B的时间t＝eq\f(T0,2)＝，D错误。4．双星系统中两个星球A、B的质量都是m，相距L，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动。实际观测该系统的周期T要小于依据力学理论计算出的周期理论值T0，且eq\f(T,T0)＝k(k<1)，于是有人揣测这可能是受到了一颗未发觉的星球C的影响，并认为C位于A、B的连线正中间，相对A、B静止，则A、B组成的双星系统周期理论值T0及C的质量分别为()A．2πeq\r(\f(L2,2Gm))，eq\f(1＋k2,4k)m B．2πeq\r(\f(2Gm,L3))，eq\f(1－k2,4k)mC．2πeq\r(\f(2Gm,L3))，eq\f(1＋k2,4k)m D．2πeq\r(\f(L3,2Gm))，eq\f(1－k2,4k)m答案D解析两星的角速度相同，依据万有引力充当向心力知：eq\f(Gmm,L2)＝mr1ωeq\o\al(2,1)＝mr2ωeq\o\al(2,1)，可得r1＝r2，两星绕连线的中点转动，则eq\f(Gmm,L2)＝m·eq\f(L,2)ωeq\o\al(2,1)，解得ω1＝eq\r(\f(2Gm,L3))，所以T0＝eq\f(2π,ω1)＝2πeq\r(\f(L3,2Gm))；由于C的存在，双星的向心力由两个力的合力供应，设C的质量为M，则Geq\f(m2,L2)＋eq\f(GMm,\f(L,2)2)＝m·eq\f(1,2)Lωeq\o\al(2,2)，T＝eq\f(2π,ω2)＝kT0，解得M＝eq\f(1－k2m,4k2)，故选D。5．(2024·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金<R地<R火，由此可以判定()A．a金>a地>a火 B．a火>a地>a金C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金答案A解析行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿其次定律和圆周运动学问有：Geq\f(Mm,R2)＝ma，得向心加速度a＝eq\f(GM,R2)，Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得线速度v＝eq\r(\f(GM,R))，由于R金＜R地＜R火，所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，A正确。6．(2024·江苏高考)1970年胜利放射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则()A．v1>v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) B．v1>v2，v1>eq\r(\f(GM,r))C．v1<v2，v1＝eq\r(\f(GM,r)) D．v1<v2，v1>eq\r(\f(GM,r))答案B解析卫星绕地球运动，由开普勒其次定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1>v2。若卫星以近地点到地心的距离r为半径做圆周运动，则有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v\o\al(2,近),r)，得运行速度v近＝eq\r(\f(GM,r))，由于卫星沿椭圆轨道运动，则v1>v近，即v1>eq\r(\f(GM,r))，B正确。7．(2024·北京高考)2019年5月17日，我国胜利放射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。该卫星()A．入轨后可以位于北京正上方B．入轨后的速度大于第一宇宙速度C．放射速度大于其次宇宙速度D．若放射到近地圆轨道所需能量较少答案D解析同步卫星只能位于赤道正上方，A错误；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B错误；同步卫星的放射速度大于第一宇宙速度、小于其次宇宙速度，C错误；若该卫星放射到近地圆轨道，所需放射速度较小，所需能量较少，D正确。8．(2024·全国卷Ⅰ)(多选)2024年，人类第一次干脆探测到来自双中子星合并的引力波。依据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量匀称分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学学问，可以估算出这一时刻两颗中子星()A．质量之积 B．质量之和C．速率之和 D．各自的自转角速度答案BC解析依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不行求，D错误；对m1：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，对m2：Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝eq\f(2π,T)，联立以上各式可解得：r1＝eq\f(m2,m1＋m2)L，r2＝eq\f(m1,m1＋m2)L，m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝eq\f(2πL,T)，C正确；质量之积m1m2＝eq\f(ω2L2r2,G)·eq\f(ω2L2r1,G)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2πL,T)))4,G2)·r1r2，r1r2不行求，故m1m2不行求，A错误。9．(2024·天津高考)(多选)2018年2月2日，我国胜利将电磁监测试验卫星“张衡一号”放射升空，标记我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看做是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，依据以上数据可以计算出卫星的()A．密度 B．向心力的大小C．离地高度 D．线速度的大小答案CD解析依据题意，已知卫星运动的周期T，地球的半径R，地球表面的重力加速度g，卫星受到的万有引力充当向心力，故有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，等式两边卫星的质量被抵消，则不能计算卫星的密度，更不能计算卫星的向心力大小，A、B错误；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，而r＝R＋h，故可计算卫星距离地球表面的高度，C正确；依据公式v＝eq\f(2πr,T)，轨道半径可以求出，周期已知，故可以计算出卫星绕地球运动的线速度，D正确。10．(2024·郑州二模)2018年12月8日2时23分，嫦娥四号探测器搭乘长征三号乙运载火箭，起先了奔月之旅，首次实现人类探测器月球背面软着陆。12月12日16时45分，嫦娥四号探测器胜利实现近月制动，顺当完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了距月面约100km的环月轨道，如图所示，则下列说法正确的是()A．嫦娥四号的放射速度大于其次宇宙速度B．嫦娥四号在100km环月轨道运行通过P点时的加速度和在椭圆环月轨道运行通过P点时加速度相同C．嫦娥四号在100km环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动周期D．嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100km环月轨道经过P点时的速度相同答案B解析其次宇宙速度是飞行器能够脱离地球的引力的最小放射速度，而嫦娥四号在地月转移轨道还没有脱离地球的引力，所以放射速度小于其次宇宙速度，故A错误；嫦娥四号在不同轨道经过P点，所受的万有引力相同，依据牛顿其次定律，知加速度相同，故B正确；依据开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k知，100km环月轨道的半径大于椭圆环月轨道的半长轴，则嫦娥四号在100km环月轨道上运动的周期大于其在椭圆环月轨道上运动的周期，故C错误；嫦娥四号从地月转移轨道要进入100km环月轨道，需减速，使得万有引力等于所须要的向心力，所以在地月转移轨道经过P点的速度小于在100km环月轨道经过P点的速度，故D错误。11．(2024·全国卷Ⅰ