2025年人民版高三数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人民版高三数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、二进制数111.11转换成十进制数是（）A.7.3B.7.5C.7.75D.7.1252、已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为交于A，B两点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是A.B.C.2D.3、已知A={x|x2-2x-8＜0}；B={x|x-a＜0}且A∩B=∅，那么a的取值范围是（）

A.（-∞；-2]

B.（-∞；2]∪[4，+∞）

C.（-∞；-2）

D.（-∞；-2]∪[4，+∞）

4、“a=1”是“直线y=x与函数y=ln（x+a）的图象有且仅有一个交点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5、如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则等于（）A.-1B.1C.-D.评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、当函数y=cos（2x+）+2取最大值时，x=____．7、设函数f（x）=，g（x）=a（a∈R），若这两个函数的图象有3个交点，则a=____．8、设偶函数f（x）满足f（x）=x3-8（x≥0），则使f（a-2）＞0成立的a的取值范围是____．9、直线y=x+k与椭圆=1相交于不同两点，则实数k的取值范围是____．10、已知向量，满足||=3，||=4，且（+k）⊥（-k），那么实数k的值为____．11、已知f（x+1）=x2+2x+3，则f（x）=____．12、已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则AC=______．评卷人得分三、判断题(共8题，共16分)13、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）14、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）17、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）18、空集没有子集．____．19、任一集合必有两个或两个以上子集．____．20、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、证明题(共3题，共21分)21、如图△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC边上的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F，连接DF，求证：∠ADB=∠FDC．22、已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5．23、圆的两条弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线DA的延长线交于点P，再从点P引这个圆的切线，切点是Q．求证：PF=PQ．评卷人得分五、解答题(共4题，共24分)24、已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B．椭圆长半轴的长为2，离心率为e=．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点P在直线上x=4不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明：点B在以MN为直径的圆内．25、已知函数f（x）=2sin2（）+2cos2x-．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=3，f（c）=2，若向量与共线，求a，b的值．

26、【题文】设函数若在点处的切线斜率为．

（Ⅰ）用表示

（Ⅱ）设若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；27、已知函数的图象过坐标原点O；且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．

（1）试确定实数b；c的值，并求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；

（2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．评卷人得分六、作图题(共4题，共28分)28、求与直线x=-2和圆A：（x-3）2+y2=1都相切的动圆圆心P的轨迹方程．29、下面给出五个命题：

①已知平面α∥平面β；AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB=CD；

②a，b是异面直线，b；c是异面直线，则a，c一定是异面直线；

③三棱锥的四个面可以都是直角三角形．

④平面α∥平面β；P∈α，PQ∥β，则PQ⊆α；

⑤三棱锥中若有两组对棱互相垂直；则第三组对棱也一定互相垂直；

其中正确的命题编号是____（写出所有正确命题的编号）30、若函数f（x）=（k-1）ax-a-x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=loga（x+k）的图象是____（写出对应的序号）

31、如图；这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：

①点H与点C重合；

②点D与点M与点R重合；

③点B与点Q重合；

④点A与点S重合．

其中正确命题的序号是____．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】【分析】根据两个不同的进位制之间的关系，写出把二进制转化成十进制以后的表示式，即让二进制的个位乘以20，向前和向后只有2的指数变化，做法类似，最后相加得到结果．【解析】【解答】解：由题意知二进制对应的十进制是

1×22+1×21+1×20+1×2-1+1×2-2

=4+2+1+0.5+0.25=7.75

故选C．2、B【分析】【解析】试题分析：先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c；则双曲线的离心率可得.【解析】

依题意知抛物线的准线x=-1．代入双曲线方程得不妨设A(-1,)∵△FAB是等腰直角三角形，=2,得到a=∴c2=a2+b2=那么可知离心率为选B.考点：双曲线的简单性质【解析】【答案】B3、A【分析】

∵集合A={x|x2-2x-8＜0}={x|-2＜x＜4}；

B={x|x-a＜0}={x|x＜a}且A∩B=∅；

∴a≤-2；故a的取值范围（-∞，-2]

故选：A．

【解析】【答案】首先求出集合A和集合B；然后由A∩B=∅构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出满足条件的实数a的取值范围．

4、C【分析】【解答】解：若直线y=x与函数y=ln（x+a）的图象有且仅有一个交点；

则直线y=x与函数y=ln（x+a）的图象相切；

函数y=ln（x+a）的导数为f′（x）=

设切点坐标为（m，n），则切线斜率k=f′（m）=f（m）=ln（m+a）

则切线方程为y﹣ln（m+a）=（x﹣m）；

即y=•x+ln（m+a）﹣

即=1，ln（m+a）﹣=0；

即m+a=1；m=0，则a=1；

当a=1时；直线y=x与函数y=ln（x+1）相切只有一个交点；

故“a=1”是“直线y=x与函数y=ln（x+a）的图象有且仅有一个交点”的充分条件和必要条件；

故选：C．

【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义求出对应的切线方程，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．5、B【分析】解：∵AM=AB；AB=2，AD=1，∠A=60°；

∴

∴=（）•（）

=

=

=1+×4

=1

故选B

由题意可得，代入=（）•（）=整理可求。

本题主要考查了向量得数量积的基本运算、向量的加法的应用，属于向量知识的简单应用．【解析】【答案】B二、填空题(共7题，共14分)6、略

【分析】【分析】根据三角函数的图象和性质即可得到结论．【解析】【解答】解：当cos（2x+）=1，即2x+=2kπ；

解得x=kπ-；k∈Z；

故答案为：x=kπ-，k∈Z7、略

【分析】【分析】画出函数图象，数形结合求出使图象交点为3个时的a值．【解析】【解答】解：函数f（x）=的图象如图；

由图象可知；使已知函数与g（x）的图象有两个交点只有a=1．

故答案为：1．8、略

【分析】【分析】利用导数的运算法则可得函数f（x）在x≥0时单调递增，由于f（2）=0，且f（x）是偶函数，不等式f（a-2）＞0转化为f（|a-2|）＞f（2），利用单调性即可得出．【解析】【解答】解：∵f（2）=23-8=0；且f（x）是偶函数；

∴不等式f（a-2）＞0即为f（|a-2|）＞f（2）；

又由f′（x）=3x2≥0；可知f（x）是增函数；

由不等式f（|a-2|）＞f（2）得|a-2|＞2；

解得a＜0或a＞4．

∴a的取值范围是a＜0或a＞4．

故答案为：a＜0或a＞4．9、略

【分析】【分析】联立，化为9x2+10kx+5k2-20=0，由于直线y=x+k与椭圆=1相交于不同两点，可得△＞0，解出即可．【解析】【解答】解：联立，化为9x2+10kx+5k2-20=0；

∵直线y=x+k与椭圆=1相交于不同两点；

∴△＞0；

∴100k2-36（5k2-20）＞0；

化为k2＜9；解得-3＜k＜3．

∴实数k的取值范围是（-3；3）．

故答案为：（-3，3）．10、略

【分析】【分析】根据两向量垂直它们的数量积为零，列出关于k的方程，即可求解．【解析】【解答】解：∵（+k）⊥（-k）；

∴（+k）•（-k）=0；

即；

又向量，满足||=3，||=4；

∴32-k2×42=0；

∴k=±．

故答案为：±．11、x2+2【分析】【分析】令x+1=t，则x=t-1，代入即可求出．【解析】【解答】解：令x+1=t，则x=t-1，∴f（t）=（t-1）2+2（t-1）+3，即f（t）=t2+2．

把t换成x得，f（x）=x2+2．

故答案为x2+2．12、略

【分析】解：依题意；我们知道△PBA～△ABC；

由相似三角形的对应边成比例性质我们有

即2R==2．

故答案为：2．

连接AB；根据弦切角定理及三角形相似的判定，我们易得△PBA～△ABC，再由相似三角形的性质，我们可以建立未知量与已知量之间的关系式，解方程即可求解．

在平面几何中，我们要求线段的长度，关键是寻找未知量与已知量之间的关系，寻找相似三角形和全等三角形是常用的方法，根据相似三角形的性质，很容易得到已知量与未知量之间的关系，解方程即可求解．【解析】2三、判断题(共8题，共16分)13、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×14、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×17、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√18、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．19、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．20、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、证明题(共3题，共21分)21、略

【分析】【分析】过C点，做CG∥AB，交BF延长线于点G，则△CGB≌△BDA，再证明△CFD≌△CFG，即可得出结论．【解析】【解答】证明：过C点；做CG∥AB，交BF延长线于点G，则△CGB≌△BDA；

得到CG=BD=DC=AB；∠G=∠ADB

∵∠BCA=∠ACG=45°；CF=CF，∴△CFD≌△CFG

∴∠G=∠CDF

故∠ADB=∠FDC=∠G22、略

【分析】【分析】设出二次函数的零点式，抓住整系数多项式，各系数都是整数，结合f（0）≥1，f（1）≥1，利用不等式化简变形即可．【解析】【解答】证明：设二次三项式为：f（x）=a（x-x1）（x-x2）；a∈N．

依题意知：0＜x1＜1，0＜x2＜1，且x1≠x2．于是有

f（0）＞0；f（1）＞0．

又f（x）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2为整系数二次三项式；

所以f（0）=ax1x2，f（1）=a•（1-x1）（1-x2）为正整数

故f（0）≥1；f（1）≥1．

从而f（0）•f（1）≥1．①

另一方面；

x1（1-x1），x2（1-x2）

且由x1≠x2知等号不同时成立；所以

x1（1-x1）

a2x1（1-x1）x2（1-x2）

由①、②得，a2＞16．又a∈N，所以a≥5．23、略

【分析】【分析】首先根据已知题意证明△APF∽△FPD得到PF2=PA•PD；然后通过PQ与圆相切证明PQ2=PA•PD，综合即可证出PF=PQ．【解析】【解答】解：∵ABCD四点共线。

∴∠ADF=∠ABC

又∵PF∥BC

∴∠AFP=∠FDP

又∵∠CPF=∠FPD

∴△APF∽△FPD

∴

∴PF2=PA•PD

又PQ与圆相切。

∴PQ2=PA•PD

∴QF2=PQ2

∴PF=PQ五、解答题(共4题，共24分)24、略

【分析】【分析】（1）由已知得；由此能求出椭圆方程．

（2）A（-2，0），B（2，0），设M（x0，y0），则y02=（4-x02），-2＜x0＜2，由已知条件推导出＞0，由此能证明点B在以MN为直径的圆内．【解析】【解答】（1）解：∵椭圆+=1（a＞b＞0）的左；右顶点分别为A、B．

椭圆长半轴的长为2，离心率为e=；

∴，解得a=2，c=1，b==；

∴椭圆方程为．

（2）证明：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），设M（x0，y0）；

∵M点在椭圆上；

∴y02=（4-x02）；①

又点M异于顶点A；B；

∴-2＜x0＜2；

由P、A、M三点共线可以得P（4，）；

从而=（-2，y0），=（2，）；

∴=2x0-4+=（x02-4+3y02）；②

将①代入②，化简得=；

∵2-x0＞0；

∴＞0；则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角；

故点B在以MN为直径的圆内．25、略

【分析】

（1）f（x）=2sin2（）+2cos2x-

=2×+2×-

=（sin2x+1）+cos2x+1-

=sin2x+cos2x+1

=2sin（2x+）+1；

∴最小正周期T==π；

∵正弦函数的递增区间为[2kπ-2kπ+]；

∴2kπ-≤2x+≤2kπ+

解得：-+kπ≤x≤+kπ；

∴函数f（x）的递增区间为[-+kπ，+kπ]；

（2）∵f（C）=2sin（2C+）+1=2；

∴sin（2C+）=又C为三角形的内角；

∴C=

又∵向量与共线；

∴sinB=2sinA；

根据正弦定理化简得：b=2a①；又c=3；

根据余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC；

即c2=a2+b2-ab=9②；

联立①②解得a=b=2．

【解析】【答案】（1）把f（x）的解析式先利用二倍角的余弦函数公式化简；去括号合并后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，再根据正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；

（2）利用（1）化简得到的f（x）化简f（C）=2，根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数，再由两向量共线，利用平面向量的数量积运算法则化简后，利用正弦定理得到a与b的关系式，由c及cosC的值，利用余弦定理即可得到关于a与b的另一个关系式，联立两关系式即可求出a与b的值．

26、略

【分析】【解析】

试题分析：（Ⅰ）设函数若在点处的切线斜率为用表示与函数的切线有关，可考虑利用导数来解，对求导，利用即可得出；（Ⅱ）若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围，即这样转化为求的最大值，由于含有对数函数，可考虑利用导数来求的最大值，求导得含有参数需对参数进行分类讨论，分别求出最大值，验证是否符合题意，从而确定实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）依题意有：

（Ⅱ）恒成立．

由恒成立，即．

①当时，单调递减，当单调递增，则不符题意；

②当时，

（1）若单调递减；当单调递增，则不符题意；

（2）若若单调递减；

这时不符题意；

若单调递减，这时不符题意；

若单调递增；当单调递减，则符合题意；

综上，得恒成立，实数的取值范围为．

考点：导数的几何意义，导数与单调性，导数与最值，分类讨论．【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）实数的取值范围为．27、略

【分析】

（1）根据函数在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5，建立方程，可确定实数b；c的值，进而可确定函数的解析式，分类讨论，求导函数，可得f（x）在[-1，1）上的最大值为2，当1≤x≤2时，f（x）=alnx．对a讨论，确定函数的单调性，即可求得结论；

（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P；Q满足题设要求；则点P、Q只能在y轴两侧．设P、Q的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．

本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．【解析】解：（1）当x＜1时，f（x）=-x3+x2+bx+c，则f'（x）=-3x2+2x+b．

依题意得：即∴b=c=0

∴

①当-1≤x＜1时，f′（x）=-3x2+2x=-3x（x-）

令f'（x）=0得x=0或x=

当x变化时；f'（x），f（x）的变化情况如下表：

。x（-1，0）0（0，）（1）f'（x）-0+0-f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减又f（-1）=2，f（）=f（0）=0．

∴f（x）在[-1；1）上的最大值为2．

②当1≤x≤2时；f（x）=alnx．当a≤0时，f（x）≤0，f（x）最大值为0；

当a＞0时；f（x）在[1，2]上单调递增．∴f（x）在[1，2]最大值为aln2．

综上，当aln2≤2时，即a≤时；f（x）在区间[-1，2]上的最大值为2；

当aln2＞2时，即a＞时；f（x）在区间[-1，2]上的最大值为aln2．

（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P；Q满足题设要求；则点P、Q只能在y轴两侧．

不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2）；显然t≠1

∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴=0即-t2+f（t）（t3+t2）=0（*）

若方程（*）有解；存在满足题设要求的两点P；Q；

若方程（*）无解；不存在满足题设要求的两点P；Q．

若0＜t＜1，则f（t）=-t3+t2代入（*）式得：-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0

即t4-t2+1=0；而此方程无解，因此t＞1．此时f（t）=alnt；

代入（*）式得：-t2+（alnt）（t3+t2）=0即=（t+1）lnt（**）

令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx++1＞0

∴h（x）在[1；+∞）上单调递增；

∵t＞1；∴h（t）＞h（1）=0，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．

∴对于a＞0；方程（**）总有解，即方程（*）总有解．

因此，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．六、作图题(共4题，共28分)28、略

【分析】【分析】动圆P与直线x=-2相切，且与定圆A：（x-3）2+y2=1，当与定圆A：（x-3）2+y2=1外切时，可以看到动圆的圆心P到A（3，0）的距离与到直线x=-3的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是抛物线，由此求得轨迹方程；当与定圆A：（x-3）2+y2=1内切时，设出P的坐标，由题意列式，化简可得答案．【解析】【解答】解：由题意，当动圆P与直线x=-2相切，且与定圆A：（x-3）2+y2=1外切时，

∴动点P到A（3；0）的距离与到直线x=-3的距离相等；

由抛物线的定义知；点P的轨迹是以A（3，0）为焦点，以直线