2025年沪科版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知则f（2）=（）

A.2

B.4

C.1

D.0

2、【题文】函数零点的个数是A.0B.1C.2D.33、已知向量＝(1,1)，＝(2，x)．若＋与4－2平行，则实数x的值是()A.－2B.0C.1D.24、下列命题错误的是（）A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β5、一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（）A.6B.2C.2D.26、△ABC中，||=5，||=8，=20，则||为（）A.6B.7C.8D.9评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、已知===k，则k=____．8、在下列结论中：

①函数y=sin（kπ-x）为奇函数；

②函数y=tan2x的定义域是{x∈R|x+kπ；k∈z|}；

③函数y=cos（2x）的图象的一条对称轴为x=-

④方程2x-x=3的实根个数为1个．

其中正确结论的序号为____（把所有正确结论的序号都填上）．9、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为______．10、化简11、【题文】己知若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是____.12、设a鈫�b鈫�c鈫�

是向量；在下列命题中，正确的是______．

垄脵

若a鈫�//b鈫�b鈫�//c鈫�

则a鈫�//c鈫�

垄脷|a鈫�?b鈫�|=|a鈫�|?|b鈫�|

垄脹(a鈫�?b鈫�)?c鈫�=a鈫�?(b鈫�?c鈫�)

垄脺a鈫�?b鈫�=b鈫�?c鈫�

则a鈫�=c鈫�

垄脻|a鈫�+b鈫�|2=(a鈫�+b鈫�)2

垄脼

若a鈫�隆脥b鈫�b鈫�隆脥c鈫�

则a鈫�隆脥c鈫�

．评卷人得分三、证明题(共5题，共10分)13、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．14、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．15、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．16、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．17、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、作图题(共2题，共12分)18、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．19、画出计算1++++的程序框图．评卷人得分五、综合题(共3题，共6分)20、如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A；B两点．

（1）求A；B，C三点的坐标；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．21、设L是坐标平面第二；四象限内坐标轴的夹角平分线．

（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；

（2）求∠BAC的度数；

（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．22、如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交△BGF的外接圆于H；连接GH，BH．

（1）求证：△DFA∽△HBG；

（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3；CF：FB=1：2，求AB的长；

（3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】

已知函数所以f（2）=2；

故选A．

【解析】【答案】由题意已知函数此函数为分段函数，要求f（2）应该先判断自变量2属于哪一段范围内然后求解．

2、C【分析】【解析】解：因为函数零点的个数的判定可以转化为研究函数y=|lgx|与函数y=(1/2)x的交点个数即可。作图可知选C.【解析】【答案】C3、D【分析】【解答】由已知得因为与平行，则有解得选D.4、A【分析】【解答】解：A；如图；平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；

B；如A中的图；平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；

C；如图；

设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O；作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ；

所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b；交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O；

所以l⊥γ．所以正确．

D；若平面α内存在直线垂直于平面β；根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；

故选：A．

【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．5、D【分析】解：∵F32=F12+F22-2F1F2cos（180°-60°）=28；

∴

故选D

三个力处于平衡状态；则两力的合力与第三个力大小相等，方向相反，把三个力化到同一个三角形中，又知角的值，在任意三角形中用余弦定理求得结果，最后不要忽略开方运算．

生活中常见的向量都是物理中学到的量，比如：速度、位移、加速度、重力，这些量既有大小又有方向，数学中学的向量有了物理中量的形容，更容易接受一些．【解析】【答案】D6、B【分析】解：因为△ABC中，||=5，||=8，=20；

所以=20；

5×8×cosA=20；

所以

由余弦定理a2=c2+b2-2bccosA；

即=52+82-2×5×8×=49；

∴=7；

故选B．

通过向量的数量积求出A的余弦值，然后利用余弦定理求出．

本题考查向量的数量积与余弦定理的应用，思路清晰，考查计算能力．【解析】【答案】B二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】【分析】此题分情况考虑：

①当a+b+c≠0时；根据比例的等比性质，求得k的值；

②当a+b+c=0时，即a+b=-c，求得k的值．【解析】【解答】解：①当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，得k==2；

②当a+b+c=0时，即a+b=-c；则k=-1．

∴k=2或-1．8、略

【分析】

对于①；函数y=sin（kπ-x）=±sinx，显然函数为奇函数；①正确．

②函数y=tan2x的定义域是{x∈R|x≠k∈z|}；

所以函数的定义域是{x∈R|x+kπ；k∈z|}不正确；

③函数y=cos（2x）的图象的一条对称轴为x=-因为cos[2×]=cos（-π）=-1；函数取得最值，所以③是正确的．

④方程2x-x=3的实根个数为1个．因为y=2x与y=x+3的图象如图：

实数根的个数是2．所以判断不正确．

故答案为：①③．

【解析】【答案】利用函数的奇偶性判断①的正误；求解函数的定义域判断②的正误；利用函数的最值判断③的正误；利用函数的图象零点的个数判断④的正误．

9、略

【分析】试题分析：．考点：三角函数图像和数形结合思想的应用【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】试题分析：考点：三角函数诱导公式，同角间三角函数关系【解析】【答案】-１11、略

【分析】【解析】

试题分析：由柯西不等式得所以即

考点：柯西不等式【解析】【答案】12、略

【分析】解：对于垄脵a鈫�//b鈫�b鈫�//c鈫�

当b鈫�=0鈫�

时，a鈫�

与c鈫�

不一定平行；隆脿垄脵

错误；

对于垄脷|a鈫�?b鈫�|=||鈫�|?|b鈫�|?cos<a鈫�b鈫�>|鈮�|鈫�|?|b鈫�|隆脿垄脷

错误；

对于垄脹

平面向量的结合律不一定成立，(a鈫�?b鈫�)?c鈫�=a鈫�?(b鈫�?c鈫�)

错误；

对于垄脺

消去律不成立，由a鈫�?b鈫�=b鈫�?c鈫�a鈫�=c鈫�

不一定成立；垄脺

错误；

对于垄脻|a鈫�+b鈫�|2=a鈫�2+2a鈫�?b鈫�+b鈫�2=(a鈫�+b鈫�)2垄脻

正确；隆脿

对于垄脼a鈫�隆脥b鈫�b鈫�隆脥c鈫�隆脿a鈫�鈰�b鈫�=0b鈫�鈰�c鈫�=0

不能得出a鈫�?c鈫�=0隆脿a鈫�隆脥c鈫�

不一定成立；垄脼

错误．

综上；正确的命题是垄脻

．

故答案为：垄脻

．

垄脵a鈫�//b鈫�b鈫�//c鈫�

时，a鈫�

与c鈫�

不一定平行；

垄脷|a鈫�?b鈫�|鈮�|a鈫�|?|b鈫�|

垄脹(a鈫�?b鈫�)?c鈫�=a鈫�?(b鈫�?c鈫�)

不一定成立；

垄脺a鈫�?b鈫�=b鈫�?c鈫�

时，a鈫�=c鈫�

不一定成立；

垄脻

根据模长公式得|a鈫�+b鈫�|2=(a鈫�+b鈫�)2

垄脼a鈫�隆脥b鈫�b鈫�隆脥c鈫�

时，a鈫�隆脥c鈫�

不一定成立．

本题考查了平面向量的概念与应用问题，是基础题．【解析】垄脻

三、证明题(共5题，共10分)13、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．14、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．15、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．16、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．17、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、作图题(共2题，共12分)18、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．19、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．五、综合题(共3题，共6分)20、略

【分析】【分析】（1）过C作CE⊥AB于E；根据抛物线的对称性知AE=BE；由于四边形ABCD是菱形，易证得Rt△OAD≌Rt△EBC，则OA=AE=BE，可设菱形的边长为2m，则AE=BE=1m，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出m的值，由此可确定A；B、C三点的坐标；

（2）根据（1）题求得的三点坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式．【解析】【解答】解：（1）由抛物线的对称性可知AE=BE．

∴△AOD≌△BEC．

∴OA=EB=EA．

设菱形的边长为2m；在Rt△AOD中；

m2+（）2=（2m）2；解得m=1．

∴DC=2；OA=1，OB=3．

∴A，B，C三点的坐标分别为（1，0），（3，0），（2，）．

（2）解法一：设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+，代入A的坐标（1，0），得a=-．

∴抛物线的解析式为y=-（x-2）2+．

解法二：设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由已知抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（2，）三点；

得解这个方程组，得

∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3．21、略

【分析】【分析】（1）设C（x；-x），根据两点间的距离公式（勾股定理）得到方程，求出方程的解即可；

（2）作BE⊥AC于E；求出AC，根据勾股定理求出BC，得到AC=BC，求出CE；BE，求出∠A即可；

（3）求出△ABC的高CD的长，求出AB的长，根据圆周角定理求出∠AO'B，证△AO'B≌△ACB，推出R=AC，根据三角形的面积和扇形的面积公式求出即可．【解析】【解答】解：（1）设C（x；-x）；

∵AC=BC；

根据勾股定理得：（x+4）2+（-x+2）2=（x-5）2+；

解得：x=2；

∴C（2；-2）．

答：点C的坐标是（2；-2）．

（2）AC∥x轴；作BE⊥AC于E；

∴AC=2+4=6；

由勾股定理得：BC==6；

∴AC=BC=6，BE=3；CE=3；

∴∠ABC=∠BAC=30