备战2024年高考数学大一轮数学(人教A版理)-第九章-§9-9-曲线与方程

§9.9曲线与方程第九章平面解析几何1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想，掌握利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.“曲线的方程”与“方程的曲线”在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.坐标法(1)用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的

或轨迹.(2)用曲线上点的坐标(x，y)所满足的方程

表示曲线.(3)通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质.点的集合f(x，y)＝03.求动点轨迹方程的步骤(1)

——建立适当的坐标系.(2)

——设轨迹上的任一点P(x，y).(3)

——列出动点P所满足的关系式.(4)

——依关系式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程，并化简.(5)

——证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程.建系设点列式代换证明4.求动点轨迹方程的常用方法(1)直接法：即根据题目条件，写出关于动点的几何关系并用坐标表示，再进行整理、化简.(2)定义法：先根据已知条件判断动点的轨迹形状，然后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方程.(3)代入法：也叫相关点法，其特点是动点M(x，y)与已知曲线C上的点(x′，y′)相关联，可先用x，y表示x′，y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程.(4)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标(x，y)，消去参数，即得其普通方程.1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.2.曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解.(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x表示的曲线是一个点和一条直线.(

)(2)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件.(

)(3)y＝kx与x＝

y表示同一条直线.(

)(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(

)××××1.已知点

，直线l：x＝

，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是A.双曲线

B.椭圆C.圆

D.抛物线√由题意得|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.2.已知动点M(x，y)到点O(0,0)与到点A(6,0)的距离之比为2，则动点M的轨迹所围成的区域的面积是________.化简整理得(x－8)2＋y2＝16，即动点M的轨迹是以(8,0)为圆心，以4为半径的圆.所以其轨迹围成的区域面积S＝πR2＝16π.16π3.若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴、y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________.x＋y－1＝0设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM(图略)，∵l1⊥l2，∴|PM|＝|OM|(O为坐标原点)，化简得x＋y－1＝0，即为所求点M的轨迹方程.探究核心题型第二部分例1

已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0).(1)求动点P的轨迹C的方程；题型一直接法求轨迹方程由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，当λ>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0).当λ<－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点).(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状.直接法求轨迹方程的思路直接法求轨迹方程最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.思维升华跟踪训练1

(1)已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是A.直线

B.圆

C.椭圆

D.双曲线√设P(x，y)，化简得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.(2)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若

＝1，则C的轨迹为A.圆

B.椭圆C.抛物线

D.直线√以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(－a,0)，B(a,0)，C(x，y)，∴(x＋a)(x－a)＋y·y＝1，∴x2＋y2＝a2＋1，∴点C的轨迹为圆.题型二定义法求轨迹方程例2

(1)已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是√如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6<10＝|AB|.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为__________________.因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋1)＋(3－R)＝1＋3＝4(R为圆P的半径)，(1)定义法的适用范围若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.(2)注意两个易误点①因为对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或忽视某些限制条件而失误.在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义.②不会迁移应用已知条件，因而找不到解题思路，无法解题.思维升华跟踪训练2

(1)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为A.y2＝2x

B.(x－1)2＋y2＝4C.y2＝－2x

D.(x－1)2＋y2＝2√如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0).连接MA，PM.则MA⊥PA，且|MA|＝1，又因为|PA|＝1，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.(2)(2022·杭州七校质检)已知F1，F2是双曲线

＝1(a>0，b>0)的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的角平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为A.直线

B.圆C.椭圆

D.双曲线√不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S(图略)，∵QP是∠F1QF2的角平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点.∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，∴点P的轨迹为圆.相关点法(代入法)求轨迹方程(1)求点N的轨迹方程；题型三设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且x＝x1，所以y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.(2)当点N的轨迹为圆时，求λ的值.思维升华跟踪训练3

(1)(2022·银川模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是_______________.设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x－3,2y)，因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，y2＝4x设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，故所求点N的轨迹方程是y2＝4x.课时精练第三部分基础保分练1.在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且

＝2，则点P的轨迹方程为A.x2＋y2＝2B.x2－y2＝2C.x＋y2＝2

D.x－y2＝212345678910111213141516设P(x，y)，则Q(x，－y)，所以x2－y2＝2.√2.(2022·云南质检)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为A.x2＋y2＝2B.x2＋y2＝4C.x2＋y2＝2(x≠±)D.x2＋y2＝4(x≠±2)√1234567891011121314151612345678910111213141516MN的中点为原点O，∴点P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即点P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).3.已知点A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是A.4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0B.4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0C.4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0D.4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0√1234567891011121314151612345678910111213141516可知AB的方程为4x－3y＋4＝0，又|AB|＝5，设动点C(x，y).所以动点C的轨迹方程是4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.12345678910111213141516√12345678910111213141516依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标公式可得A.直线

B.椭圆

C.圆

D.双曲线12345678910111213141516√12345678910111213141516又λ1＋λ2＝1，∴化简得x＋2y－5＝0，即点C的轨迹是一条直线.123456789101112131415166.在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆

＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上的点，PQ为∠F1PF2的外角平分线，F2T⊥PQ于点T，则点T的轨迹为A.双曲线

B.抛物线C.椭圆

D.圆√12345678910111213141516延长F2T交F1P的延长线于点M，如图所示.由于PQ平分∠F2PM，则∠F2PT＝∠MPT，|PT|＝|PT|，所以Rt△PTF2≌Rt△PTM，则|PF2|＝|PM|，|TF2|＝|TM|，则点T为MF2的中点，又因为O为F1F2的中点，12345678910111213141516所以点T的轨迹是圆.1234567891011121314151612345678910111213141516整理可得9x2＋25y2＝225，12345678910111213141516y2＝－8x9.已知平面内B，C是两个定点，|BC|＝8.①△ABC的周长为18；②直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC，且kAB·kAC＝

.请从上面条件中任选一个作答，以BC的中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出△ABC顶点A的轨迹方程.注：如果选择多个条件作答，按第一个条件计分.1234567891011121314151612345678910111213141516选择条件①：根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值，且定值大于定长的点的轨迹为椭圆，|BC|＝8,2c＝8，c＝4以及2a＝18－8＝10，a＝5，则a2＝25，c2＝16，那么b2＝a2－c2＝9，且A，B，C三点构成三角形，选择条件②：设点A(x，y)，又B(－4,0)，C(4,0)，12345678910111213141516即9x2＋16y2＝9×16，1234567891011121314151610.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M(1，y0)(y0>0)是抛物线C上一点且△MOF的面积为

(其中O为坐标原点)，不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作MN⊥PQ交PQ于点N.(1)求抛物线C的方程；故拋物线C的方程为y2＝x.12345678910111213141516(2)求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.12345678910111213141516易得M(1,1)，由题意可设直线PQ的方程为x＝my＋a，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，故Δ＝m2＋4a>0，y1＋y2＝m，y1y2＝－a，因为∠PMQ＝90°，12345678910111213141516即(x1－1)(x2－1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得x1x2－(x1＋x2)＋y1y2－(y1＋y2)＋2＝0，所以a2－m2－3a－m＋2＝0，12345678910111213141516直线PQ的方程为x＝my＋a＝m(y－1)＋1，此时直线l过点M(1,1)，不符合题意，舍去；直线PQ的方程为x＝my＋a＝m(y＋1)＋2，此时直线PQ恒过定点H(2，－1).设N(x，y)，12345678910111213141516得(x－1)(x－2)＋(y＋1)(y－1)＝0，即点N的轨迹方程为x2＋y2－3x＋1＝0(x≠1).11.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是

A.直线

B.抛物线

C.椭圆

D.双曲线的一支√可构造如图所示的圆锥.母线与AB所在直线(中轴线)的夹角为30°，然后用平面α去截圆锥，使直线AB与平面α的夹角为60°，则平面α与圆锥侧面的交线为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆.综合提升练123456789101112131415161234567891011121314151612.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是A.x＋y＝5 B.x2＋y2＝9C.

D.x2＝16y√12345678910111213141516因为点M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，A项，直线x＋y＝5过点(5,0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与点M的轨迹没有交点，不满足题意；12345678910111213141516即y2－9y＋9＝0，Δ>0，满足题意，为“好曲线”.12345678910111213141516312345678910111213141516以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，设C(x，y).即(x＋1)2＋y2＝4.所以点C的轨迹是圆心为M(－1,0)，半径为2的圆(不含与AB共线的两点).即△ABC面积的最大值为3.14.已知过点A(－3,0)的直线与x＝3相交于点C，过点B(3，0)的直线与x＝－3相交于点D，若直线CD与圆x2＋y2＝9相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为_________________.1234567891011121314151612345678910111213141516设点M(x，y)，C(3，m)，D(－3，n)，mn≠0，则直线CD的方程为(m－n)x－6y＋3(m＋n)＝0，因为直线CD与圆x2＋y2＝9相切，又直线AC与BD的交点为M，12345678910111213141516拓展冲刺练15.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过

；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A.①

B.②

C.①②

D.①②③√1234567891011121314151612345678910111213141516曲线的方程x2＋y2＝1＋|x|