第02讲-导数与函数的单调性(学生版)

第02讲导数与函数的单调性（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第19题,12分含参分类讨论求函数的单调区间利用导数研究不等式恒成立问题2023年新Ⅱ卷，第22题,12分利用导数求函数的单调区间(不含参)利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的零点根据极值点求参数2022年新I卷，第7题,5分用导数判断或证明已知函数的单调性比较指数寡的大小比较对数式的大小2022年新Ⅱ卷，第22题,12分含参分类讨论求函数的单调区间利用导数研究不等式恒成立问题裂项相消法求和2021年新I卷，第22题,12分利用导数求函数的单调区间(不含参)利用导数证明不等式导数中的极值偏移问题2021年新Ⅱ卷，第22题,12分含参分类讨论求函数的单调区间利用导数研究函数的零点2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分【备考策略】1.理解函数的单调性与导数之间的关系2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会在解答题考查，同时小题也会考查用导数判断函数单调性，且近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。知识讲解导函数与原函数的关系条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导＞0f(x)在(a，b)上单调递增＜0f(x)在(a，b)上单调递减＝0f(x)在(a，b)上是常数函数利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导函数f′(x)的零点；第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.[常用结论]1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立.2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解.考点一、函数与导函数图象之间的关系1．（浙江·高考真题）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（

）A． B．C． D．2．（全国·高考真题）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（

）A． B．C． D．3．（全国·高考真题）如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（） B． C． D．1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数的导函数的图象，若，则的图象大致为（

）A． B．C． D．2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（

）A． B．C． D．3．（2010·湖南·校联考二模）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（

）

A． B．C． D．考点二、利用导数求不含参函数的单调性1．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．3．（2021·全国·统考高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．4．（2021·全国·统考高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.1．（2023·江苏盐城·统考三模）已知函数.(1)当时，求的单调递增区间；(2)若恒成立，求的取值范围.2．（2023·浙江·校联考三模）已知(1)当时，求单调区间；(2)当时，恒成立，求的取值范围；(3)设，，证明：．3．（2023·河北·校联考一模）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知(1)当时，求的单调性；(2)讨论的零点个数．5．（2023·山东泰安·统考一模）已知函数，.(1)若，讨论的单调性；(2)若当时，恒成立，求的取值范围.6．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知函数．(1)当时，研究函数的单调性；(2)当时，恒成立，求a的取值范围．考点三、利用导数求含参函数的单调性1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．2．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．1．（2023·河北·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.2．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，若，求证：；(3)求证：对于任意都有．3．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有三个零点，，，求证：.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，，且，求证:(其中是自然对数的底数).5．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设、是函数的两个极值点.证明：.6．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．考点四、根据函数单调性求参数值或范围1．（全国·高考真题）若函数在是增函数，则a的取值范围是A． B． C． D．2．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.1．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为.2．（2023·山东济宁·统考一模）若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．当时，，则单调递增，又函数在区间上单调递减，所以，解得，故选：A.4．（2023·江苏南通·三模）已知函数在R上是增函数，则的最大值为．【基础过关】1．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若在上恒成立，求证：.2．（2023·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：(为自然对数的底数)恒成立.3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知函数，.(1)若函数在上单调递增，求a的取值范围；(2)若，求证：.4．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知函数，．(1)当，求的单调递减区间；(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．5．（2023·安徽淮北·统考二模）已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)当时，对任意的买数，证明：.6．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数．(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：，．7．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性.(2)当时，证明：.8．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知，．(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求a的取值范围．9．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若，求证：.10．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数，(1)讨论函数的单调性；(2)若，对任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【能力提升】1．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）已知函数(1)求的单调区间;(2)若存在实数，使得方程有两个不相等的实数根，求证：2．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当，是方程的两根，，证明：．3．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：．4．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(3)若，且在上恒成立，证明：．5．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)证明：；(3)若，证明：.6．（2023·河北·校联考三模）已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若为函数的导函数，有两个零点．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：．7．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知函数.(1)若在单调递增，求实数的取值范围；(2)若，且，证明：.8．（2023·江苏·统考模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个极值点，（），求证：.9．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在有两个极值点，求证：.10．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数．(1)试讨论的单调性；(2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围.【真题感知】1．（2020·全国·统考高考真题）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．3．（2021·全国·统考高考真