专题17-任意角、任意角三角函数及弧度制(原卷版)

专题17任意角、任意角三角函数及弧度制一、核心体系任意角eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(角的概念\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正角、负角、零角,象限角、轴线角)),角的角度与弧度的转换：π＝180°,弧长公式：l＝|α|r,扇形面积公式：S＝\f(1,2)lr＝\f(1,2)|α|r2,任意角的三角函数的定义\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(y,r)，cosα＝\f(x,r)，tanα＝\f(y,x),符号规律,特殊角的三角函数值))))二、关键能力1．了解任意角的概念(角的定义、分类、终边相同角)；了解终边相同的角的意义；了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切，熟记特殊角的三角函数值，并能准确判断三角函数值的符号．三、教学建议（1）三角函数的定义；（2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值；二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．四、自主梳理 1．角的概念的推广（☆☆☆）(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角;如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角．(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α，k∈Z}．（4）象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}2．角的度量（☆☆☆）(1)1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角．(2)弧度制与角度制的关系：1°=弧度(用分数表示)，1弧度=度(用分数表示)．(3)弧长公式：l=|α|r．(4)扇形面积公式：S=rl=|α|r2．3．任意角的三角函数的定义（☆☆☆）设角α的终边上任意一点的坐标为P(x，y)(除原点)，点P到坐标原点的距离为r(r=)，则sinα=，cosα=，tanα=．4．三角函数的定义域（☆☆☆）在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是R，R，．5．三角函数的符号规律（☆☆☆）第一象限全“+”，第二象限正弦“+”，第三象限正切“+”，第四象限余弦“+”．简称：一全、二正弦、三切、四余弦．6．三角函数线（☆☆☆）设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线五、高频考点+重点题型考点一、角的扩充与表示已知．则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例1-2.若α＝－2，则α的终边在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例1-3.下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个训练题组一（角的终边与角的关系）1．（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的．训练题组二（象限角）1.若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（）A．第二或第四象限 B．第二或第三象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限训练题组三（角的相关概念辨析）1.设与终边相同的角的集合为M，则①；②M中最小正角是；③M中最大负角是，其中正确的有____________.（选填序号）考点二、弧长公式扇、形面积公式例2-1.在平面直角坐标系中，已知点，，当t由变化到时，线段扫过形成图形的面积等于（）A．2 B． C． D．例2-2.(2022·佛山三模)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．3 D．eq\r(3)例2-3.(2022·襄阳模拟)已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2．训练题组1.《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在挪铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，掷铁饼者双手之间的距离约为，“弓”所在圆的半径约为，则挪铁饼者的肩宽约为___________.(精确到)2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦矢＋），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为___________平方米（精确到1平方米，参考数据考点三、三角函数定义例3-1若点在角的终边上，则（）A． B． C． D．例3-2如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P，Q从点A(1,0)出发在单位圆上运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq\f(π,6)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq\f(11π,6)弧度，则P，Q两点在第2019次相遇时，点P的坐标为________．训练题组一（定义求三角函数值）1.（江西高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.训练题组二（三角函数线）1.如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为eq\f(3,5)，eq\f(4,5).求sinα的值；考点四：三角函数值的符号判定例4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则()A．cos2α>0 B．cos2α<0C．sin2α>0 D．sin2α<0训练题组1.若，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2.已知是第二象限角，则（）A． B． C． D．3.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]巩固训练一、单项选择题1．给出下列四个命题：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3 D．42．(2022·福建联考)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为()A．eq\f(14,3)πB．－eq\f(14,3)πC．eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π3．若α是第二象限角，则()A．cos(－α)>0B．taneq\f(α,2)>0C．sin(π＋α)>0 D．cos(π－α)<04．平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边上一点P绕原点顺时针旋转eq\f(π,6)到达点Q(3,4)的位置，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝()A．－eq\f(3,5)B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(4,5)5．(2022·淄博模拟)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0 D．不存在6．若扇形的面积为eq\f(3π,8)、半径为1，则扇形的圆心角为()A.eq\f(3π,2)B.eq\f(3π,4) C.eq\f(3π,8) D.eq\f(3π,16)7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cosθ＝－eq\f(3,5)，若点M(x,8)是角θ终边上一点，则x等于()A．－12 B．－10 C．－8 D．－68．已知角α的终边与单位圆的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，则sinα·tanα等于()A．－eq\f(\r(3),3)B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2)D．±eq\f(3,2)二、多项选择题9．关于角度，下列说法正确的是()A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°B．钝角大于锐角C．三角形的内角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限角，则eq\f(α,2)是第一或第三象限角10．(2022·长沙长郡中学高三模拟)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是()A．α＋β＝540°B．α＋β＝360°C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°11．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S1，圆心角为α1，圆面中剩余部分的面积为S2，圆心角为α2，当S1与S2的比值为eq\f(\r(5)－1,2)≈0．618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么()A．α1≈127．5°B．α1≈137．5°C．α2＝(eq\r(5)－1)π D．eq\f(α1,α2)＝eq\f(\r(5)－1,2)三、填空题12．已知角α＝2kπ－eq\f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值为_____．13．在与2010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．14．在直角坐标系中，O是原点，A(eq\r(3)，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__．15．已知α是第二象限角，P(x，eq\r(5))为其终边上一点，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，则x＝________．四、解答题16．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通