2024-2025学年甘肃省兰州市城关区树人中学九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年甘肃省兰州市城关区树人中学九年级（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史（）A． B． C． D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．3a2﹣2a2＝1 B．a3÷a2＝a（a≠0） C．a2•a3＝a6 D．（2a）3＝6a33．（3分）据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“464万”用科学记数法表示为（）A．4.64×106 B．0.464×107 C．4.64×107 D．464×1044．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝35．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≤﹣36．（3分）一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（）A．200° B．230° C．250° D．270°8．（3分）甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，根据题意列方程组正确的是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，AA′＝2OA．若点B的坐标为（2，1），则点B′的坐标为（）A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（1，0.5）10．（3分）分式方程＝1﹣的解为正数（）A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣211．（3分）在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC延长线上取一点E，BC＝6，CE＝2（）A． B． C．2 D．12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，下列四个结论：①bc＜0；②3a+2c＜02+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，则﹣，其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：2x2﹣8＝．14．（3分）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3）（0，3），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是．15．（3分）将四个小球分别标上C，O，H，F四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是．16．（3分）如图，矩形ABCD中，，BC＝1，F分别从点A，C同时出发，CD向终点B，D运动，F作直线l，过点A作直线l的垂线，则AG的最大值为．三.解答题（本大题共12小题，共72分）17．（4分）计算：．18．（4分）解不等式组：．19．（4分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．20．（6分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）（4，1）与点B（﹣1，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．21．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，过点A作BC的垂线，垂足为点E，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长．22．（6分）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：课题测量四门塔的高度测量工具测角仪、无人机等测量示意图测量过程如图②，测量小组使无人机在点A处以6.8m/s的速度竖直上升5s后，飞行至点B处，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°．说明点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；（2）求四门塔DE的高度．23．（6分）近年来，我国航天事业成果丰硕，某校为了加强学生爱国主义教育，心向蓝天”航天知识竞赛，为了解竞赛成绩（成绩得分用x表示，共分成四组：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C；85≤x＜90，D；85分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：七年级C组同学的分数分别为：86，85，88；八年级C组同学的分数分别为：86，87，88，89，89，89，89．七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：年级平均数中位数众数优秀率七年级88a95m八年级8889b35%（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛“中；（写出一条理由即可）（3）该校七年级有750名学生，八年级有660名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．24．（6分）如图1描绘的就是宋词《乌夜啼》中“绣香熏被梅烟润，枕簟碧纱厨”的场景：就寝前，被子也要放在熏炉和熏笼上加以熏烘，二来还可以让炉中炭火把被子烘暖．熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具，其截面为抛物线形，如图2．小明测得熏笼的跨度为80厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系（1）求抛物线的表达式；（2）现有一批直径10厘米，高8厘米的熏炉，要使熏笼紧贴水平桌面（≈1.73）25．（6分）阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图③所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，则∠DCE必为90°．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，作直线SC，则∠RCS＝90°．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是；（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．26．（7分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点（1）求该抛物线的函数表达式．（2）如图1，当点P的坐标为（2，﹣4）时，求△BCP的面积．（3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BCF是直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由．27．（8分）如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中【变式探究】如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，那么∠BED与∠CDF有何关系，并加以说理；【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，点D、F分别是边BC、AB上的动点．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，连接CE．①已知AF＝2BD，试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知AC＝4，点G是AC的中点，直接写出EA+EG的最小值．28．（9分）对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，点P′落在图形M上或图形M围成的区域内（1，1），B（3，1），C（3，2）．（1）在点P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，点是线段AB关于原点O的“伴随点”；（2）如果点D（m，2）是△ABC关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；（3）已知抛物线y＝﹣（x﹣1）2+n上存在△ABC关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．

2024-2025学年甘肃省兰州市城关区树人中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号1234567891011答案DBA．CAADABBB题号12答案C一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史（）A． B． C． D．【解答】解：A、图形不是轴对称图形；B、图形不是轴对称图形；C、图形不是轴对称图形；D、图形是轴对称图形，故选：D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．3a2﹣2a2＝1 B．a3÷a2＝a（a≠0） C．a2•a3＝a6 D．（2a）3＝6a3【解答】解：A、3a2﹣5a2＝a2，原计算错误，不符合题意；B、a3÷a2＝a（a≠0），正确；C、a4•a3＝a5，原计算错误，不符合题意；D、（6a）3＝8a2，原计算错误，不符合题意．故选：B．3．（3分）据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“464万”用科学记数法表示为（）A．4.64×106 B．0.464×107 C．4.64×107 D．464×104【解答】解：464万＝4640000＝4.64×106．故选：A．4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3【解答】解：原方程移项配方得：x2﹣4x+3＝﹣1+4，（x﹣4）2＝3，故选：C．5．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≤﹣3【解答】解：由题意得，x+3≥0且x+3≠0，解得x＞﹣3，故选：A．6．（3分）一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜8，b＝﹣1＜0，∴该函数图象经过第二、三、四象限，故选：A．7．（3分）折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE，CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝（）A．200° B．230° C．250° D．270°【解答】解：过B作BK∥CD，∵CD∥AE，∴BK∥AE，∴∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°，∴∠C+∠CBK+∠ABK+∠BAE＝360°，∴∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°，∵BA⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝270°．故选：D．8．（3分）甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，根据题意列方程组正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意得，，故选：A．9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，AA′＝2OA．若点B的坐标为（2，1），则点B′的坐标为（）A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（1，0.5）【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是位似图形，AA′＝2OA，∴OA：OA′＝1：5．∴△ABC与△A′B′C′的位似比为：1：3，∵点B的坐标为（5，1），∴点B′的坐标为（6，7），故选：B．10．（3分）分式方程＝1﹣的解为正数（）A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2【解答】解：去分母得：2＝x﹣1﹣m，解得：x＝m+8，由方程的解为正数，得到m+3＞0，则m的范围为m＞﹣3且m≠﹣2．故选：B．11．（3分）在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC延长线上取一点E，BC＝6，CE＝2（）A． B． C．2 D．【解答】解：如图，在▱ABCD中，过O作OM∥BC交CD于M，∵在▱ABCD中，BO＝DO，AD＝BC＝6，∴，∴OM是△BCD的中位线，∴，∵CE＝2，∴EM＝CM+CE＝7+2＝4，∵OM∥CF，∴△CFE∽△MOE，∴，即，∴．故选：B．12．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，下列四个结论：①bc＜0；②3a+2c＜02+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，则﹣，其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b＜0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜3，∴bc＞0，故①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（3，0），对称轴为直线x＝1，∴﹣，∵b＝﹣2a，∴x＝﹣4时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，∴2a+c＝0，∴3a+3c＜0，故②正确；③∵对称轴为直线x＝1，a＞7，∴y＝a+b+c最小值，ax2+bx≥a+b，故③正确；④∵﹣2＜c＜﹣5，∵x1x2＝（﹣7）×3＝﹣3＝，∴c＝﹣7a，∴﹣2＜﹣3a＜﹣4，∴，∵b＝﹣2a，∴a+b+c＝a﹣5a﹣3a＝﹣4a，∴，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C．二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）分解因式：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．【解答】解：2x2﹣8＝2（x2﹣6）＝2（x+2）（x﹣3）；故答案为：2（x+2）（x﹣8）．14．（3分）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3）（0，3），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，嘴唇C的坐标是（2，1）．【解答】解：∵左眼A的坐标是（﹣2，3），6），∴嘴唇C的坐标是（﹣1，1），∴将此“QQ”笑脸向右平移2个单位后，嘴唇C的坐标是（2，故答案为：（2，4）．15．（3分）将四个小球分别标上C，O，H，F四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是．【解答】解：列表如下：COHFC（C，O）（C，H）（C，F）O（O，C）（O，H）（O，F）H（H，C）（H，O）（H，F）F（F，C）（F，O）（F，H）共有12种等可能的结果，其中能够组成“一氧化碳”化学式的结果有：（C，（O，共2种，∴能够组成“一氧化碳”化学式的概率为＝．故答案为：．16．（3分）如图，矩形ABCD中，，BC＝1，F分别从点A，C同时出发，CD向终点B，D运动，F作直线l，过点A作直线l的垂线，则AG的最大值为1．【解答】解：连接AC，交EF于O，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，∵AB＝，BC＝1，∴AC＝＝＝2，∵动点E，F分别从点A，以每秒1个单位长度的速度沿AB，D运动，∴CF＝AE，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，又∵∠COF＝∠AOE，∴△COF≌△AOE（AAS），∴AO＝CO＝8，∵AG⊥EF，∴点G在以AO为直径的圆上运动，∴AG为直径时，AG有最大值为1，故答案为：1．三.解答题（本大题共12小题，共72分）17．（4分）计算：．【解答】解：＝＝＝3．18．（4分）解不等式组：．【解答】解：，解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x，∴此不等式组的解集为：x．19．（4分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【解答】解：（﹣1）÷＝÷＝•＝，当x＝7时，原式＝．20．（6分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）（4，1）与点B（﹣1，n）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【解答】（1）解：∵点A（4，1）与点B（﹣3（m≠0）图象上，∴m＝4，即反比例函数的解析式为y＝，当x＝1时，n＝﹣4，﹣6），∵点A（4，1）与点B（﹣6，∴，解得：∴一次函数解析式为y＝x﹣2；（2）解：对于y＝x﹣3，当y＝0时，∴C（7，0）∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+；（3）解：由图象可得，当﹣8＜x＜0或x＞4时．21．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，过点A作BC的垂线，垂足为点E，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，∵AE⊥BC，∴S四边形ABCD＝BC•AE，在Rt△ABO中，由勾股定理可得：∴，∴BD＝7BO＝24，∵S四边形ABCD＝AC•BD＝BC•AE，∴，∴．22．（6分）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：课题测量四门塔的高度测量工具测角仪、无人机等测量示意图测量过程如图②，测量小组使无人机在点A处以6.8m/s的速度竖直上升5s后，飞行至点B处，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°．说明点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求无人机从点B到点C处的飞行距离；（2）求四门塔DE的高度．【解答】解：（1）由题意可知：AB＝6.8×7＝34（m），在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，则BC＝AB＝34m，答：无人机从点B到点C处的飞行距离为34m；（2）如图②，延长ED交BC的延长线于点F，则四边形ABFE为矩形，∴EF＝AB＝34m，设DE＝xm，则DF＝（34﹣x）m，在Rt△DFC中，∠DFC＝45°，则FC＝DF＝（34﹣x）m，∴BF＝CF+BC＝（68﹣x）m，在Rt△BFD中，∠FBD＝20°，∵tan∠FBD＝，∴DF＝BF•tan∠FBD，即34﹣x＝（68﹣x）×0.36，解得：x≈15，答：四门塔DE的高度约为15m．23．（6分）近年来，我国航天事业成果丰硕，某校为了加强学生爱国主义教育，心向蓝天”航天知识竞赛，为了解竞赛成绩（成绩得分用x表示，共分成四组：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C；85≤x＜90，D；85分以下，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：七年级C组同学的分数分别为：86，85，88；八年级C组同学的分数分别为：86，87，88，89，89，89，89．七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：年级平均数中位数众数优秀率七年级88a95m八年级8889b35%（1）填空：a＝87，b＝89，m＝40%；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“强国有我，心向蓝天”航天知识竞赛“中；（写出一条理由即可）（3）该校七年级有750名学生，八年级有660名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．【解答】解：（1）由条形统计图可得：a＝（86+88）÷2＝87，由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为5÷20＝25%，∴b＝89，m＝（3+5）÷20×100%＝40%，故答案为：87，89；（2）七年级学生对航天知识的了解情况更好，理由：由表格可知；（3）由题意可得，750×40%+660×35%＝300+231＝531（人），答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有531人．24．（6分）如图1描绘的就是宋词《乌夜啼》中“绣香熏被梅烟润，枕簟碧纱厨”的场景：就寝前，被子也要放在熏炉和熏笼上加以熏烘，二来还可以让炉中炭火把被子烘暖．熏笼是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具，其截面为抛物线形，如图2．小明测得熏笼的跨度为80厘米，小明以熏笼的左边缘为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系（1）求抛物线的表达式；（2）现有一批直径10厘米，高8厘米的熏炉，要使熏笼紧贴水平桌面（≈1.73）【解答】解：（1）∵熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，∴可知抛物线的顶点为（40，32），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣40）2+32，根据图象可知抛物线经过原点（0，5），∴a（0﹣40）2+32＝4，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2）令y＝8，可得，解得：，∴高为7厘米的水平距离为：，可放置的熏炉个数为：（个），故熏笼内一排最多能放置6个熏炉．25．（6分）阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图③所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，则∠DCE必为90°．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，作直线SC，则∠RCS＝90°．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．【解答】解：（1）∵CD＝30，DE＝50，∴CD2+CE2＝304+402＝502＝DE3，∴∠DCE＝90°，故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；故答案为：勾股定理的逆定理；（2）由作图方法可知，QR＝QC，∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，∵∠SRC+∠QCS+∠QCR+∠QSC＝180°，∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，∴∠QCR+∠QCS＝90°，即∠RCS＝90°；（3）①如图③所示，直线PC即为所求；②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点．26．（7分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点（1）求该抛物线的函数表达式．（2）如图1，当点P的坐标为（2，﹣4）时，求△BCP的面积．（3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BCF是直角三角形？若存在；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），0）两点，点B的坐标代入得：，解得，∴该抛物线的函数表达式为；（2）已知抛物线与y轴交于C点，当x＝4时，y＝﹣3，∴C（0，﹣6）．设直线BC的关系式为y＝kx﹣3，将点B的坐标代入得：6k﹣8＝0，解得，∴直线BC的关系式为．过点P作PG∥y交BC于点G，如图1．∵P（2，﹣4），∴G（2，﹣2），∴S△BCP＝PG•xG+PG•|xB﹣xG|＝PG•xB＝×2×8＝6；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BCF是直角三角形∵，∴抛物线得对称轴为直线x＝2．设F（2，t），∴FB2＝16+t2，BC8＝45，FC2＝4+（t+8）2．当∠BFC＝90°时，45＝16+t2+6+（t+3）2，解得，∴或；当∠FBC＝90°时，4+（t+2）2＝45+16+t2，解得t＝3，∴F（2，3）；当∠FCB＝90°时，16+t3＝45+4+（t+3）3，解得t＝﹣7，∴F（2，﹣7）．综上所述，在抛物线的对称轴上是否存在点F；点F的坐标为或，3）或（2．27．（8分）如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中【变式探究】如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，那么∠BED与∠CDF有何关系，并加以说理；【拓展应用】如图3，在△ABC中，BA＝BC，点D、F分别是边BC、AB上的动点．以DF为腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，连接CE．①已知AF＝2BD，试判断线段DC、BD、BF之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知AC＝4，点G是AC的中点，直接写出EA+EG的最小值．【解答】解：【变式探究】∠BED＝∠CDF，理由如下：∵∠B+∠BED＝∠EDC，∠EDC＝∠FDE+∠CDF，∴∠B+∠BED＝∠FDE+∠CDF，又∵∠B＝∠FDE，∴∠BED＝∠CDF；【拓展应用】①BD+BF＝CD，理由：∵AB＝AC，∴AF+BF＝BD+CD，∵AF＝2BD，∴2BD+BF＝BD+CD，∴BD