数学-福建省部分（六市）地市2025届高中毕业班第一次质量检测（六市一模）试题和答案

福建省部分地市2025届高中毕业班第一次质量检测数学评分标准及解析选择填空题答案：1-5.BACDC6-8.CBB9.ACD10.AC11.BC12.9π13.答案第一空3分，第二空2分，其他结果均不得分）14.答案没有化成最简分数如同样得分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BACDCCBB1．在复平面内，i(1+i)对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B2．设集合，则A∩B=答案：A3．已知等轴双曲线C的焦点到其渐近线的距离为1，则C的焦距为答案：C 解析：设等轴双曲线的焦距为2c，因为焦点到其渐近线的距离为b=1，所以c=双曲线的焦距为2·2，故选C. 4.已知m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，α∩β=n，则下列说法正确的是A．若mⅡα,则mⅡnB．若mⅡn，则mⅡα答案：D解析：若mⅡα,则m，n平行或异面，A选项错误；若mⅡn，则mⅡα或mα,B选项错误；若m丄n，则m，β不一定垂直，也可能平行或相交，C选项错误；若m丄β,则m丄n，D选项正确；故选D.5．已知随机变量X~N(1,σ2)，若P(X≤a)=0.3，且P(a≤X≤a+2)=0.4，则a=A.1B.C.0D.答案：C解析：如图所示，P(X≥a+2)=0.3，6．已知0<α<，若tan(α+)=2(sinα+cosα)，则sin答案：C7．过抛物线C:y2=4x的焦点F答案：B的垂线，垂足分别为M，N，所以△OAF与△OBF的面积之比为，故选B.8．若函数f(x)=ln(eax—6+1)—x的图象关于直线x=3对称，则f(x)的值域为答案：B解析：f(x)=ln(eax—6+1)x=ln(e(a1)x6+ex)，依题意，f(0)=f(6)，6a66a12x故选B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9ACDACBCD．若θ=，则a在b方向上的投影向量为2b答案：ACD若向量a，b共线，则2cosθ—sinθ=0，解得tanθ=2，所以向量a，b可能共线，B选项错误；D选项正确；综上所述，应选ACD.志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药120mg/L，为探究某药物在人体中的代y(mg/L)与代谢时间x(h)的相关数据，如下表所示：x012345678 y B.变量y与x的相关系数r>0D.代谢约10小时后才需要补充药物答案：ACA选项正确；血液中药物浓度y(mg/L)随代谢时间x(h)的增大而减小，所以变量y与x的相关系数令10.5×x+122=120×0.211.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)+[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[3]=3.当0<x≤1时，f(x)=xlnx，设xn为f(x)从小到大的第n个极小值点，则A．f(2)=2C．数列{xn}是等差数列D．f(xn)<0答案：BC解析：f(2)=2f(1)+1=1，故A选项错误；*时，f(n+1)=2f(n)+n，等式两边同时加n+2，得f(n)=2nn1，故B选项正确；当n1<x<n时，设f(x)=F(x)，则F(x)极小值点为xn，所以当n<x<n+1时，f(x)=2F(x—1)+n—1，此时，f(x)的极小值点为xn+1，即+1，所以xn+1xn=1，数列{xn}是等差数列，故C选项正确；所以2n-1-n，当n→+∞时，f→+∞,故D选项错误.综上所述，应选BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知圆锥的母线长为6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为.答案：93π（其他结果均不得分） 解析：设圆锥的底面半径为r，则2r=6，解得r=3，所以圆锥的高为33，f(x)答案第一空3分，第二空2分，其他结果均不得分）14．从集合U={1,2,3,4}的所有非空子集中任选两个，则选中的两个子集的交集为空集的概率为.答案没有化成最简分数如同样得分）易知集合U的非空子集个数为24-1=15，任取两个集合A,B共有C125=105种选法.（方法一）①若card(AUB)=2，则共有C=6种选法.；②若card(AUB)=3，从4个元素里选3个，再分成两组（不平均有CC=12种选法；2③若card(AUB)=4，4个元素平均分为两组共有=32计共有7种选法；所以选中的两个子集的交集为空集的概率为P=种；不平均分组共有C=3种，小.21（方法二）①当card(A)=1时，4个元素里任选一个放入集合A中，集合B共有23-1=7种②当card(A)=2时，4个元素里任选两个放入集合A中，集合B共有22-1=3种情况，故有③当card(A)=3时，4个元素里任选三个放入集合A中，集合B共有21-1=1种情况，故有总共有(28+18+4)=25种情况，所以选中的两个子集的交集为空集的概率为这三种选法，再减去集合A，B其中一个为空集的情况，故共有=25种，所以选中的两个子集的交集为空集的概率为P==.应填；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1513分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC=(·b-c)cosA.（1）求A； 解1）方法1：由正弦定理可得sinAcosC-2sinB.cosA+sinC.cos即sin(A+C)-2sinB.cosA过程1：边化角：利用两角和的正弦公式及sinB=sin(A+C)化解（3分过程2：求值：求出cosA=求出（1分）所以整理得，b2+c2-a2=bc，……………3分4过程2：求值：求出cosA=求出（1分）.说理过程酌情给分.（写出上CDA的两个余弦值，得2分）（由正弦和角公式得到上ACD的正弦值（2在△ACD中，由正弦定理得，即AC=所以…………………在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2—2bccosA，（求出AC得1分，求a得1分）（漏一种情况，扣两分，AC和a值各占1分）1615分）（1）证明：平面ABC丄平面ACC1A1；（2）若A1B与平面ABC所成角为60O，求平面A1B1C与平面ABC夹角的余弦值.解1）方法1：取AC的中点O，连接A1O，BO，=AA12=4，………1分=A1B2，所以A1O丄BO，……3分因为OA∩OB=O，OA平面ABC，OB平面ABC，丄平面ABC，……………………5分因为A1O平面ACC1A1，所以平面ABC丄平面ACC1A1．………………6分线面垂直证明（2分线面垂直→面面垂直（1分）.说理过程酌情给分.方法2：设O为A1在底面ABC的射影，则A1O与OA，OB，OC均垂直，……………1分C=A1A，所以OA=OB=OC…………………3分射影O为底面△ABC的外心，又△ABC为直角三角形，所以O恰为斜边AC的中点，…………………5分因为A1O平面ACC1A1，所以平面ABC丄平面ACC1A1．……………6分方法2：设O为投影，得出OA=OB=OC（3分说理过证明O恰为斜边AC的中点（2分面面垂直证明（1分）.所以A1B与平面ABC所成角即为上A=(0,1,·3)，…………………10设平面A1B1C的法向量为n1=(x,y,z)，=(3,3,1)，……………………12分易知平面ABC的一个法向量为n2=(0,0,1)，……………13分设平面A1B1C与平面ABC的夹角为θ,所以cosθ=所以平面A1B1C与平面ABC夹角的余弦值为.……15分cosθ=代入运算（1分结论（1分）.若有其他建系方法，仿照上述方案给分.方法2：如图，过C作AB的平行线l，因为AB∥A1B1，所以l∥A1B1，过O作OH丄l，垂足为H，………………10分所以CH丄平面A1OH，因为A1H平面A1OH，所以A1H丄CH，…12分所以平面A1B1C与平面ABC的夹角即为上A1HO，所以cos上A1HO=，平面A1B1C与平面ABC夹角的余弦值为.………………15分作出平行线l（1分垂足（1分证明A1H丄CH（2分证明过程酌情给分；1715分）迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）设点P，Q在C上，且以PQ为直径的圆E经过坐标原点O，求圆E面积的最小值.|，所以圆心M的轨迹为椭圆，………3分所以b2=a2c2=3，……………………5分所以C的方程为+=1.…………………6分设圆M半径表达|MC1|，|MC2|（2分）由椭圆定义证明M轨迹为椭圆（1分）计算出a，b，c2分）有计算错误酌情给分（2）方法1：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，由OP.OQ=0可知，x1x2+当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ:x=t，则P(t,y)，Q(t,—y)，所以x1x2+y1y2=t2解得此时，圆E的面积为.………8分由可得，x22，………………10分222所以-12k2+7m2-12=0，即7m2=12+12k2，…………12分 ………………14分所以圆E面积的最小值为×=.………………15分考虑直线PQ的斜率不存在的情况，并计算圆E的面积（2分）联立直线PQ与椭圆，设点写出韦达关系（2分）由OP，OQ垂直关系，得到k，m的关系式（2分）方法2：因为以PQ为直径的圆E经过坐标原点O，所以OP丄OQ，………………7分①当直线OP，OQ中有一条斜率不存在时，则另一条斜率为0，2=7，所以圆E的半径为，所以圆E的面积为.……………8分②若直线OP，OQ的斜率均存在，设直线OP:y=kx，直线OQ:y=-x，P(x1,y1)，同理可得x22=，……………………10分所以|PQ|2=7-12k2+25当且仅当k2=1时，|PQ|2取得最小值，所以此时，圆E面积的最小值为×=，因为>，所以圆E面积的最小值为.…………15分考虑直线OP或者OQ斜率不存在的情况，并计算圆E的面积（2分）若计算错误，写出了OP与OQ的垂直关系，给1分.联立直线OP与椭圆，得到x12，x22与k的关系（2分）方法3：设P(2cosα,·sinα)，Q(2cosβ,·sinβ)，…………………7分OP.OQ=4cosαcosβ+3sinαsinβ=0，…………………8分所以|PQ|2=(2cosα-2cosβ)2+(sinα-sinβ)22α+cos2β-(8cosαcosβ+6sinαsinβ)=6+cos2α+cos2β，……………10分因为4cosαcosβ=-3sinαsinβ，所以16cos2αcos2β=9sin2αsin2β=9(1-cos2α)(1-cos2β)，整理得，7cos2αcos2β=9[1-(cos2α+cos2β)]，…………………11分由基本不等式，得cos2αcos2β≤，所以9[1-(cos2α+cos2β)]≤，…………………13分所以圆E面积的最小值为×=.…………………15分由参数方程分别写出P，Q的坐标（1分）由OP与OQ的垂直关系，得到两参数关系（1分）方法4：设|OP|=m，P(mcosα,msinα)，Q(ncos(α+),msin(α+))，……………8分因为点P(mcosα,msinα)在C上，所以圆E面积的最小值为×=.…………………15分写出P，Q的坐标（2分）1817分）设函数f(x)=x(ex-a)2.（1）当a=0时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)单调递增，求a的取值范围；（3）当0<a<1时，设x0为f(x)的极小值点，证明：-<f(x0)<0.解1）当a=0时，f(x)=xe2x，f’(x)=(2x+1)e2x，………………1分当x∈(-∞,-)时，f’(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(-,+∞)时，f’(x)>0，f(x)单调递增，………3分所以f(x)的单调递增区间为(-,+∞)，单调递减区间为(-∞,-).…4分f(x)单调性（2分可根据具体书写形式酌情给分，（2）f’(x)=(ex-a)(2xex+ex-a)，xxx，………………5分当x∈(-∞,-2)时，g(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(-2,+∞)时，g(x)>0，g33-3调递增，当x=-2时，g(x)取得极小值g(-2)=-2e233-3（i）所以当a≤-2e-时，g(x)≥0，ex-a>0，所以f’(x)>0，f(x)单调递增，符合题意；……………6分（ii）当-2e-<a≤0时，y=ex-a>0，又g(x)存在两个零点，即存在区间使得g(x)<0所以f’(x)≥0不恒成立，不合题意；………7分fx-a的零点为x=lna，且g(-)=-2e--a<0则g(x)与y=ex-a有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同，此时，当x>0时2xex+ex-1>ex-1>0；当x<0时2xex+ex-1<ex-1<0，则f’(x)≥0…………9分]u{1}………………10分给分，结论（1分）.因为g(lna)=2alna<0，所以x1>lna，………………11分+∞)时，y=exa>0，g(x)>0，所以f’(x)>0，f(x)单调递增，……13分所以x10ex0，…………14分所以f(x0)=(ex0—a)2x0=(2x0ex0)2x0设=4x3e2x，则h2e2x判断x1>lna（1分讨论f(x)单调性（2分说理过程酌情给分；判断x1=x0（1分写出f(x0)的表达式（1分求导判断单调性（1分|}的公差称为{an}的“绝对公差”.1，记Sn为{dn}的前n项和，（ii）证明：对任意给定的正整数m，总存在d1，d2，ⅆ,dm满足|Sm|≤4.=4，………2分若a2-a1与a3-a2均为负数，则-x-x-2=4，解得x=-3，不合题意；若a2-a1与a3-a2一正一负，则a3-a1=2或-2，不合题意；所以a2-a1=x，a3-a2=x+2，…………4分所以2x+2=4，解得x=1，故a2-a1=1．………………5分（2i）d2n=d1+(d2-d1)+…+(d2n-d2n-1)=1-2+3-4+…+(2n-1)=n，………6分因为d2n-1=d2n-(2n-1)=1-n．……………7分．…………………8分若有其他求解方法，酌情给分.①若m为奇数，令n-1，由可知，Sm-1=，………