2024年中考数学考点知识03函数基础知识与一次函数（解析版）

知识必备03函数基础知识与一次函数

广方法清单

方法一：平面直角坐标系中的规律问题

一.选择题（共5小题）

1.（2023•花都区•模）数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单.位长度为km,若在数轴

上随意画一条长为2015。〃的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数为（）

A.2015B.2014C.2015或2014D.2015或

2016

【分析】根据数轴与实数的对应关系，分线段四起点在整数点与不在整数点两种情况

讨论.

【解答】解：依题意可知，

当线段m起点在整数点时，能覆盖2016个数：

当线段反起点不在整数点，即在两个整点之间时，能覆盖2015个数，

故选：D.

【点评】本题考查数轴与实数的对应关系，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解

题关键.

2.（2023•太平区二模）如图，在左面八BCD上建立平面直角坐标系，每个小正方形边

长为一个单位长度,小球从点P（-4,0）出发,撞击桌面的边缘发生反弹，反射角等于入

射角，若小球以每秒立个单位的速度沿图中箭头方向运动，则第2023秒时小球所在位

A.2B.1C.-1D.-2

【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程4&x4=16应，再由运

动速度得出运动一周所用的时间，从而得出第2023秒的小球所在位置

【解答】解：根据题意得：

小球运动一周所走的路程4及x4=16&.

•.•小球以每秒应个单位长度的速度运动,

,小球运动一周所用的时间为16&+夜=16(秒),

•.•2023-16=126...7(秒)，

/.第2023秒的小球所在位置为(3,-1)

二纵坐标为-1，

故选：C.

【点评】本题考查了规律型：点的坐标，坐标确定位置，掌握勾股定理以及坐标的表示

方法是解题的关键.

3.(2023•通州区一模)如图，在平面直角坐标系中，四边形OCQE是一个矩形,

小球P从点4(2,6)出发沿直线向点8运动，到达点8时被第一次反弹，每当小球尸沿

直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球户第100次碰到矩形

的边时，小球P所在位置的坐标为()

A.(4,0)B.(8.6)C.(5,12)D.(12,4)

【分析】按照原题所给规律依次求出小球坐标发现小球坐标的变化是每6次循环，用

100除以6,余数4,则第4次为答案.

【解答】如图，小球第1次碰到矩形边时的坐标为(8.0),

小球第2次碰到矩形边时的坐标为(12.4),

小球第3次碰到矩形边时的坐标为(10.6),

小球第4次碰到矩形边时的坐标为(4.0),

小球第5次碰到矩形边时的坐标为(0.4),

小球第6次碰到矩形边时的坐标为(2.6),

小球第7次碰到矩形边时的坐标为(&0)，

小球坐标的变化是6次循环，

100+6=16…4,

当小球。第100次碰到矩形的边时，小球P所在的位置坐标为(4,0).

5'

6

°123456789101112x

故选：A.

【点评】本题考查了点的变化规律，根据图形找点是解题关健.

4.(2023•扎兰屯市三模)在平面直角坐标系中，正方形A3CZ)的顶点分别为41,1)、

3(1,-1)、C(-L-l)、0(-11)，)，轴上有一点P(0,2).作点尸关于点A的对称点/；,

作耳关于点8的对称点鸟，作点鸟关于点C的对称点八，作4关于点。的对称点

巴，作点E关于点A的对称点八，作人关于点3的对称点凡…，按如此操作下去,

则点的坐标为()

--PQ2)

A.(0.2)B.(2,0)C.(0-2)D.(-2,0)

【分析】根据正方形的性质以及坐标变化得出对应点的坐标，再利用变化规律得出点

鸟0”的坐标与6坐标相同，即可得出答案.

【解答】解：•.•作点P关于点A的对称点4,作《关于点8的对称点鸟，作点鸟关于

点。的对称点八，作八关于点。的对称点乙，作点乙关于点A的对称点A，作

关于点8的对称点不…，按如此操作下去,

.•.每变换4次•循环，

二点的坐标为：2011+4=502…3,

点4”的坐标与&坐标相I可，

二点/”的坐标为：(-2,0),

故选：D.

【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化以及正方形的性质，根据图形的变化得出点

的坐标与P,坐标相同是解决问题的关键.

5.(2023•方城县模拟)如图，在平面直角坐标系中，•动点从原点。山发，按向上、

向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点4(0,1)、4(1,1)、

4(1,0)、4(2,0),那么点4g的坐标为()

A.(1011,0)B.(1011,1)C.(2022,0)D.(2022,1)

【分析】观察图形结合点的坐标的变化，可得出点为自然数)的坐标为(2〃+1,1),

依此规律即可得出结论.

【解答】解：•・•点4(0,1)、4(1,1)、A(i,o)、4(2,0)、4(2,1)、4(3,1)、4(3,0)、

人(4,0)、A)(4,l)、....

点4“+式〃为自然数)的坐标为(2〃+1,0),

二点&023的坐标为(1011，。)・

故选：A.

【点评】本题属于循环类规律探究题，考查了学生归纳猜想的能力，结合图象找准循环

节是解决本题的关键.

二.填空题（共4小题）

6.（2023•利津县一模）如图.在单位为1的方格纸上，△耳424,△AAA，△AA4，

…，都是斜边在x轴上，斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形，若△A&A的

顶点坐标分别为A（2,o）,A2（1J）,A,（0,0）.则依图中所示规律，人网的坐标

【分析】首先确定角码的变化规律，利用规律确定答案即可.

【解答】解：「各三角形都是等腰直角三角形，

/.直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，

A（0,0）,A（-2,0）,41,0）…，

•.2021+4=505余1,

.•.点在X轴正半轴，横坐标是0，横坐标是（2021+3）+2=1012,

二&^的坐标为（1012,0）.

故答案为：。012,0）.

【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2021是奇数，求出点的角码是奇数

时的变化规律是解题的关键.

7.（2022•钢城区）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移

一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转鲂，由数字0和1组成的序

列表示一个点按照上面描述依次连续变换.例如：如图，点，0,0）按序列“011…”作

变换，表示点O光向右平移一个单位得到Q（l,0）,再将。（I，。）绕原点顺时针旋转90°得

到Q(O,-I),再将a(o,-i)绕原点顺时针旋转90°得到Q(TO)…依次类推.点(o,i)经

过“011011011”变换后得到点的坐标为—.

【分析】根据定义的规定平移再旋转即可.

【解答】解：将点(0,1)经过一次011变换，

即先向右平移一个单位得到(1,1),

再绕点O顺时针旋转90得到(1,-1),

再绕点。顺时针旋转90得到(T,T)；

如此将点(-1,-1)经过011变换得到点(0,1),

再将点(0,1)经过0U变换得到点(-1,-1).

【点评】本题考查了点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，理解定义的变换方式并

灵活运用是解题关键.

8.(2023•孟村县校级模拟)•只跳蚤在第一象限及x轴、)轴上跳动，在第一秒钟,

它从原点跳动到然后接着技图中箭头所示力向跳动[即(U,。)->(。，1)—(1,

1)—(1,0)^...],且每秒跳动一个单位，那么第36秒时跳蚤所在位置的坐标是一

【分析】根据题目中所给的质点运动的特点，从中找出规律，即可得出答案.

【解答】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，(0,0)->(0.1)7(1,

1)—(1,0)用的杪数分别是1秒，2秒，3杪，到(2.0)用4秒，至1J(2,2)用6秒，到

(0,2)用8秒,到(0,3)用9秒,到(3,3)用12秒,到(4,0)用16秒,

可知当点离开x轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y轴时的纵坐标为时间的平方,

依此类推，到(6,0)用36秒.

则第36秒时跳蚤所在位置的坐标是(6.0).

故答案为：(6.0).

【点评】本题主要考查点的坐标问题，解决本题的关键是读情题意，能够正确确定点运

动的规律，从而可以得到到达每个点所用的时间.

9.(2023•东昌府区二模)在直角坐标系中，点A从原点出发，沿如图所示的方向运动，

到达位置的坐标依次为A2。。，4(1,1),4(一1,1),^(-1,-1),A(2.T),4(2.2),

….则A2023的坐标为

【分析】？找到点的运动的循环节，用2023除以循环节，由余数得到点的位置，再探究

同一位置的点的坐标的规律即可.

【解答】解：由图得点A的运动规律为每4次运动•循环,

•.2023+4=505……3,

.•.A?冈的坐标位于第三个位置,

•・A(1J),4(2⑵，4(3,3)一

...Azg的坐标(506,506).

故答案为：(506,506).

【点评】本题考查了坐标系中点的规律先关应用，准确找到点的运动的循环式及数列规

律是解题关键.

方法二：平面直角坐标系中的两点间距离公式

一.填空题(共4小题)

1.(2023•静安区二模)在立面直角坐标系xO『中，我们定义点A(x,)，)的“关联点”为

R(x+y,x-y),如果已知点A在直线y=x+3上，点3在。的内部，。的半径长为

【分析】根据题意设点A的坐标为(4。+3),则点8的坐标为(2〃+3,-3),利用两点间

距离公式表示出08,根据点3在O的内部可得到不等式，解出不等式即可.

【解答】解：•・•点A在直线y=x+3上，

・•・设点A的坐标为(a,a+3),则点8的坐标为(2a+3,-3),

OB=J(2a+3j+(-3)2,

.•点8在［O的内部，

J(2a+3)~+(-3)2<3\/2,

整理得：a'+MvO，

-3<。<0，

二点A的横坐标x的取值范围是—3<x<0.

故答案为：—3<xvO.

【点评】本题主要考查•次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、点与圆的位

置关系，理解新定义，熟知两点间的距离公式，并根据点与圆的位置关系列出不等式是

解题关键.

2.(2023•荆州模拟)如图，在平面宜角坐标系中，长为3的线段CD(点。在点。右

侧)在x轴上移动，点4(0,2)、8(0,4)是)，轴上定点，连接AC、8D,则AC+9Z)的最

【分析】平移使点。落在点8处，连接5C,则点。平移后为点8',即在C=3O,

进而得出8'(-3,4),再作点A关于x轴的对称点4,则A'(0,-2),进而得出AC+9的

最小值为A8',即可求解答案.

【解答】解：如图，平移CD使点。落在点8处，连接4C,则点。的对应点为8',即

/.点或-3,4),

作点A关于x轴的对称点A,此时点A,C,3,在同一条线上时，AC+8D最小,

40,2),

A'(0,-2),

连接NR,则AC+⑺的最小值为SB'=J(-3尸+(4+2)2=3后.

故答案为：3M.

【点评】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+以)的最小值转化为4?是

解本题的关键.

3.(2023•四川模拟)已知二次函数丁=f-。3>0)交”轴于他(点A在5的左侧)两

点，平面上有任意点尸，使得抬=2尸8,则A/W5面积的最大值为.(用含有〃的

代数式表示)

【分析】设点P的坐标为由,〃)，先求出二次函数与x轴的交点坐标得4-G.0),

8(6,0),再根据两点间的距离公式得产/=5+而)2+*,PB2=(m-4^)2+H2,根

据抬=2必得而2=4而，进而得到(利+4)2+〃2=4[(/〃—6)2+角，整理得

3,r—10，L〃+3a+3〃2=0,再由根的判别式得▲=(-106)?—4x3x(34+3/)..0,即

4—4/—IL

-上，出旧26，再根据三角形面积公式得SVM/,=L48|〃|=G-|〃|,求出其最大值即

332

可.

【解答】解：设点尸的坐标为(见而，

在二次函数y=x2-a=(x+\/a)(x-4a)(a>0)中，令y=0得(%+右)(无一G)=0,

解得：x=±&,

.•点A在4的左侧，

A(-\^,0),,

：.PA2=(m+4a)2+n2,PB2=(ni-4(i)2+n2,

1.PA=2PB，

E42=4PB2,

(m+G)2+tv=4[(m—Vfl)2+n2],

整千里"卜3，〃'-10Glm+3a+3〃、=0,

.,关于/«的方程3〃』一IO&，〃+3a+3，/=0有实数根，

;.▲=(一10&尸一4x3x(3a+3〃2)..0,

/.64〃-36/2~..0,

:,———\[a.

33

•,S®"=；A8|，“=4a-1771.

•.,一gx/S8加g"，

0^!|n|—A/G»

3

L4L4

:."AB血积的最大值为-—a

33

故答案为：ga.

【点评】本题主要考杳二次函数与抛物线的交点，两点间的距离公式、根的判别式，根

据两点间的距离公式得出关于6的方程，再根据根的判别式得出〃的取值范围是解题关

键.

4.（2023•新北区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，4、B、C三点的坐标分别

为（■!■/），（4』），⑶0）,点。为线段上的一个动点，连接PC，过点〃作尸Q_LPC

2

交y轴丁点Q,当点尸在人B上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐标为（0J）,贝打的

取值范围是.

【分析】分三种情况讨论：①当点尸在人B之间时，当延长R4交y轴于点N,即过点

C作CW_LA4,垂足为M,根据已知条件证明&VPQs&wpc.得到理二丝，设

PMCM

PN=x,则PM=3—x,NQ=y,从而得到y与x的函数关系式，求出最值，从而求出

，的最值即可：

②过点。作CM_LA8,延长区4交），轴于点N,连接CQ,当点P运动到点A处时，根

据已知条件求出N,“两点坐标，再根据其它各点坐标求出/W,NQ,OQ,AM,

MC,从而根据勾股定理求出AQ和AC的平方和，。。于OC的平方和，列出方程求出

t即nJ：

③过点3作轴于点M,延长区4交），轴于点N,连接CQ,当点尸运动到点3

时，根据已知条件求出N,用两点坐标，再根据其它各点坐标求出QV,RN，BM,

CM,从而根据勾股定理求出8C,BQ,和BC的平方和，O。于OC的平方和，列

出方程求出，即可；

【解答】解：①如图所示：当点。在之间时，当延长84交)，轴于点N,即过点C

作CM_LAB,垂足为M.

.•.Z/WQ=NCAM=90。，

.•.NNC4+Z4PQ=90°,

•;PQ1PC,

：.NQPC=90°,

ZAP(2+Z£?PC=9O°.

：.ANQA=ZBPC,

s.ANPQ^^MPC,

.NQNP

设.PN=x,则PM=3-x,NQ=y,

V-l<0.■!■知Jr3,

2

.•.当工二^时，y有最大值:，

,95

/./=1—=——，

44

当x=3时，y有最小值0,

/.r=1,

的取值范围为：-2资1

4

②如图1所示，过点C作CWJ_A8.延长K4交)，轴丁•点N.连接CQ,当点P运动到

点A时，

v4(1,1),5(4.1),

2

.•.A8〃x轴，

/.N(0,l),

.•.4N=l—g=B，NQ=\-t,

•「C(3,0),0(0,0),A8〃x轴，

..OC=MN=3,

：.AM=MN-AN=),

2

•.•4(一，1),8(4,1),CMLAB

2

:.AQ1=AN2+NQ2=(l)2-(l-r)2=/2-2r+-,PC?=AM:+MC2=(-)2+12=—,

2424

•x轴_Ly轴，

/.NCVQ=90°,

QC2=0Q2+OC2=r:+32=r+9,

,.•PQ_L尸。，

NCPQ=90。，

/.QC2=AQ2+PC2=r-2i+-+—=l2-2t+—，

444

/.r2-2r+-=r2+9,

4

—2/=—,

2

1

••^=--«

③如图2所示，过点8作8W_1_工轴丁点M,延长44交)，轴丁•点N,连接CQ,当点

产运动到点4时，

vA(-J),8(4.1),

2

48〃x轴，

:.BN=OM=4,BM=1,

00,0),Q(0,t),

:.NQ=t-\,ON=\.OQ=l,

'：C(3,0),轴，

:.OC=3,

:.CM=OM-OC=1,

•.8W_Lx轴，

，N8MO=900,

/.BC-=BM2+CM2=12+12=2.BQ2=NQ2BN2=(t-\)2+42=r-2t+\1,

.PQA.PC,

NC/Q=90。，

QC2=B02+BC-=/2-2/+17+2=r-2r+I9,

x轴_Ly轴，

NQOC=90°,

QC1=OQ2+OC?=r+32=r+9

:.r-2t+\9=t2+9,

:・/=59

的取值范围是：-1加5,

4

综上可知：-3副5,

4

故答案为：-上捌5.

4

【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解题关键是根据已知条件求出有关点的坐标

和有关线段.

方法三：根据题目信息识别和判断函数图象

一.选择题（共8小题）

I.（2023•铁锋区三模）把一个长方体铁块放在如图所示的圆柱形容器内，现按•定的

速度向容器内均匀注水，山，加后将容器内注满.那么容器内水面的高度m）与注水时

间”s）之间的函数关系图象大致是（）

【分析】根据题意可知，在注满水的过程中，水面均是匀速上升，下面部分的底面积小

于上面部分，所以水面上升速度较快，由此可得出答案.

【解答】解•：根据题意可知，按一定的速度向容器内均匀注水，

所以函数图象均为匀速上升，

由此可排除B,C选项，

刚开始时由于长方体铁块在圆柱体容器内，

注水部分的底面积为圆柱体容器的底面积减去长方体的底面积，

所以水面以较快速度均匀上升，

当水淹没长方体铁块后•直到水注满容器，

底面积是圆柱体的底面积，

所以水面以较慢速度均匀上升，

所以排除A选项，选项。符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查函数图象的意义，深刻理解实际问题中函数图象所代表的意义，是快

速解出这道题的关键.

2.（2023•温县校级二模）如图，在RlAABC中，ZACB=9O°,AC=3,3c=4,点P

为边钻上一动点，过点P作直线/_LM，交折线AC"于点Q.设AP=x,CQ=y,

则y关于1的函数图象大致是（）

【分析】分两种情况：当点。在AC时，当点Q在3c时，结合相似-：角形的判定和性

质，即可求解.

【解答】解：\ZAC«=90%4c=3,8c=4,

二AB=y/AC2+BC2=5.

当点。在AC时,

•・•直线

ZAPQ=ZACB=90°,

•.ZA=ZA.

/.A4PQSA4C3,

.APAQ

~AC~~AB'

即£=土2,

35

解得：y=-gx+3;

当点。在8c时，如图,

.•./BPQ=ZAC8=90°,

/B=/B，

ABPQ^^BCA,

nr_HQ

即上？=匕

45

59

解得:—x——

44

综上所述，y关于x的函数图象大致是:

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关

键.

3.（2023•海淀区校级模拟）下面的四个选项中都有两个变量.其中变量），与变量x之间

的困数关系口J以用如图所小的图象表不的是（）

丁

A.圆的面积），与它的半径x

B.正方形的周长,，与它的边长x

C.小丽从家骑车去学校，路程•定时，匀速骑行中所用时间），与平均速度x

D.用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积），与一边长x

【分析】根据每个选项的描述，分别写出两个变量之间的函数关系即可判断.

【解答】解：A.圆的面积），与它的半径x的关系式为

,//r>0.

,该函数图象的开口应向上，

.•.变量）,与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意:

8..正方形的周长y。它的边长x的关系式为y=4x,

.♦.变量），与变量x之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意:

C.设小丽从家骑车去学校的路程为s（s为常数），则y=2，

X

••・变量），与变量”之间的函数关系不可以用如图所示的图象表示，故不符合题意;

D.设铁丝的长度为。3为常数），则），=1.三幺=-2+（我，

二变量）,与变量X之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了函数的图象，解题关犍在于根据选项的描述，正确判断出两个变量

之间满足的函数关系式.

4.（2023•龙岩模拟）已知点A（-1，M，5（1,-/n）,。（-2,6一1）在同一个函数图象上，则

这个函数图象可以是（）

【分析】由点,。（-2,机-1）在同一个函数图象匕可得4与8关于

原点对称，当x<0时，y随x的减小而减少，继而求得答案.

【解答】解：:•点A（-1,m）,B（I,-/?/）»

二.A与6关于原点对称，故C.O错误，不符合题意：

,.1A（-1,/〃）,C（-2,，〃-1）,

.•.当xvO时，y随x的减小而减少，故8正确，A错误.

故选：B.

【点评】此题考查了函数的图象.注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键.

5.（2023•合肥三模）如图，正方形A8CD中，AB=4cm,动点、P,。分别从A,。同

时出发，点P以每秒2a〃的速度沿A-AfC运动，点Q以每秒Is?的速度沿。-C运

动，P点到达点C时运动停止.设P点运动.V（秒）时，A4PQ的面积y（加），则y关

公式得到），关于x的函数关系；当点。在8c上，即2<工,4时，此时

SgPQ=S正方形ABCD—SMBP—SGCPQ-,利用正方形和三角形面积公式得到y关于x的

函数关系.进而可得），关于X的分段函数，根据函数解析式即可判断函数图象.

【解答】解：当点P在人8上，即磷2时，如图，

此时，AP=2.Vcm,

y=；八夕.BC=g.2x.4=4x(cm2)：

当点尸在BC上,即2<&4时,如图,

此时，RP=(2x-4)cm,DQ=xcm,

CP=(8-2x)cm,CQ=«-x)cm,

2

SM2=s正方捌院;，一SM切一S“、“一SAAR=AB-^-ABBP-^CPCQ-^ADDQ,

4x(0矽k2)

综上,

-xy+2x十8(2<.q,4)

故选：B.

【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解

决问题是解题关键.

6.（2023•锦州一模）如图，在四边形43CD中，AD/iBC，NC=90。，AD=\.5,CD=2,

BC=5.5,E是线段4?上一动点，BE=x,EF上AB交BC于点F,将ME产沿EF

折叠得到AG*',AGEF与四边形/WC£＞重叠部分的面积为y,则下列图象能大致反映

y与x之间函数关系的是（）

［分析］先求出当点E在不超过BA中点时的情况，再求超过中点但未超过点A时的

情况即可.

【解答】解：当点E运动不超过BA中点，即AGM在四边形ABCD内部时，

所以AB=26.

在RlAABM中，tan=sinZfi=—

25

则变=故防=工工，

BE22

所以yJxxxLJj.

-224

据此可以排除掉C、。.

BC

因为BE=GE=x,则AG=2x-2内,

又AD//3C，则

口-I”AGAPzo.n\/55

所以——=——，得AP=-x——

BGBF24

又sinNGAyV=sinNB,则8L=,

AG5

据此可以排除掉A,

所以正确答案是8.

故选：B.

【点评】本题是一道动点函数图象题，得出重合部分的而枳y与1的函数表达式是解

题的关键.

7.（2023•绥中县二模）如图，四边形A8C£＞是正方形，AB=2,点P为射线8。上一

点，连接。P,将。尸绕点尸顺时针旋转90。得到线段EP,过3作EP平行线交DC延长

线于人设8P长为x,四边形母EP的面枳为y，下列图象能正确反映出），与x函数关

【分析】方法一：根据。点在C点右侧时，3P越大，则四边形的面积越大，即

可以得出只行。选项符合要求：

方法二：分两种情况分别求出），与X的关系式，根据X的取值判断函数图象即可.

【解答】解：方法-：由题意知，当尸点在C点右侧时，BP越大，则四边形3庄P的

面积越大，

故。选项符合题意；

方法二：如图，当「点在反'之间时，作EH工BC于H,

:.NDPC+NEPH=X3

•.ZDPC+Z/?/X?=90°,

/.4EPH=ZP/X?,

在^EPH和A/7X?中，

/EPH=NPDC

-4PHE=/DCP,

PD=EP

;.AEPH="DC(AAS),

•,BP=x,AB=BC=2,

:.PC=EH=2-x,

：.四边形BPEF的面积y=M2-A)=-x2+2x,

综上所述，当0<xv2时，函数图象为开口方向向下的抛物线，当x>2时，函数图象为

开口方向向上的抛物线，

故选：D.

【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，熟练根据题意列出函数关系式是解题的关

键.

8.（2023•武威模拟）如图矩形A3CZ）中，AB=3,8c=4,动点尸由点A出发，沿

4TAfC的路径匀速运动，过点2向对角线AC作垂线，垂足为Q,设AQ=x,

AAPQ的面积为），，则下列图象中，能表示），与x的函数关系的图象大致是（）

根据点尸的运动，需要分段讨论：当点P在AB上时,

易证AAPQSAACB,由A0=X,可得PQ=gx,根据三角形面枳公式得到：当点P

在8。上时，易得△CPQ-A68,根据比例可求得PQ的长，再根据三角形面积公式

得到y与x的关系，最后结合选项判断即可.

【解答】解：在矩形A4C。中，A3=3,Z?C=4,

由勾股定理可得AC=5,

根据点产的运动，需要分段讨论:

①当点。在A4上时，

vPQLAC,

：.ZAOP=N8=90°,

zaAC=za4C»

.^APQ^^ACB,

.PQ:AQ:AP=BC:AB:AC=4:3:5,

AQ=x»

45

/.PQ=-x>AP=-x;

33

此时嗫Ex3,即仅软2,

35

.•.），=[.x.3x=2f；是开口向上的一段抛物线：排除3,C,

233

当点。在3c上时，

•.PQLAC,

.,.NCQP=NB=90。，

•：ZBCA=ZBCA,

ACPQsA4cB，

:.CQ:PQ:CP=BC:AB:AC=4:3:5,

AQ=x»

..CQ=5-x,

35

.•.PQ=2（5—X）,AP=工（5—x）：

44

此时。<2（57）..4,即2<X.5,

45

...）,=:\（57）5=-？/一匹工，开口向下的抛物线，

故选：A.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息

广泛，通过看图获取信息、，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、

解决问题的能力.解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出），与-V的函数关系式.

方法四：从函数图象中获取信息

一.选择题（共6小题）

1.（2023•南宁一模）人体生命活动所需能量主要由食物中的糖类提供.如图是小南早

餐后一段时间内血糖浓度变化曲线图.卜列描述正确的是（）

早餐

A.从9时至10时血糖呈下降状态

B.10时血糖最高

C.从11时至12时血糖呈上升状态

D.这段时间有3个时刻血糖浓度达到mol-匚'

【分析】根据图象逐项判断即可.

【解答】解：A.从9时至10时血糖呈下降状态，故说法正确，符合题意：

区9时血糖最高浓度最高，故说法错误，不符合题意;

C.从11时至12时，血糖先上升后下降，故说法错误，不符合题意；

D.段时间有2个时刻血罐浓度达到7.0,加山.广，故说法错误，不符合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查函数的图象，理解函数图象中横纵坐标的实际意义，从函数图象

中获取相关信息是解题关键.

2.（2023•西宁一模）如图1,矩形A8CZ）中，点E为4。的中点，点。沿4c从点8运

动到点C,设8,P两点间的距离为x,PA-=点尸运动时），随x变化的函数图

象如图2所示，则8C的长是（）

A.2瓜B.5C.6D.4G

【分析】根据函数图象可得，当、=（）.即点P与点3率合时，BA-PE=\,再根据三

角形的三边可得y有最大值为AE=5，设/汨=a,则姑=a+l,在RtAABE中，利用

勾股定理建立方程，求解即可.

【解答】解：根据函数图象可得，当x=0,即点尸与点B重合时，BA-BE=\,

在AEAE中，

•・•三角形任意两边之差小于第三边，

:.PA-PE<AE,

当且仅当点P与点石重合时有Q4-PE=AE,

二.y有最大值为A£，

:.AE=5,

设BE为a,则批=q+1，

在RtAABE中，AB-+BE2=AE2,

：.（a+1）2+a2=52,

解得：4=3,a2=-4（舍去）,

BC=2fSE=2zz=2x3=6.

故选：C.

【点评】本题以矩形为背景考查了动点问题的函数图象，根据函数图象得到线段之间的

关系，利用勾股定理求出线段的长是解题关键.

3.（2023•广饶县校级模拟）如图1,RtAABC中，点E为8C的中点，点P沿8C从点

3运动到点C,设3,尸两点间的距离为x,PA—PE=y,图2是点。运动时），随x

变化的关系图象，则8C的长为（）

【分析】当x=0,即夕在5点时，BA—BE=2；利用三角形两边之差小于第三边，得

到P4-P&AE，得y的最大值为AE=10：在RtAABE中，由勾股定理求出跖的长,

再根据BC=2BE求出3。的长.

【解答】解：由函数图象知：当x=0,即尸在5点时，B/\-BE=2.

利用三角形两边之差小于第三边，得到PA-P&AE.

的最大值为AE，

/.AE=\O.

在RtAABE中，由勾股定理得：BA-+BE2=AE2=KX),

设BE的长度为f,

则EA=1+2，

.-.(/+2)2+r2=100,

即：/+，-48=0,

.\(/+8)(z-6)=O.

由于1>0,

..1+8>0，

.•./-6=0,

/.z=6.

.•.4C=2座=27=2x6=12.

故选：D.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出跖的长是解题的关键.

4.（2023•西工区一模）如图①，在AABC中，AB=AC,AQJ_8。于点0（50>4。），

动点尸从8点出发，沿折线ZMfAC方向运动，运动到点C停止，设点。的运动路程

为的面积为y,y与x的函数图象如图②，则8C的长为（）

【分析】根据题意可得：AB=AC=J万，-ADBD=3,然后利用等腰三角形的三线

2

合一性质可得AC=2H/）,再在RtAABD中，利用勾股定理可得入犷+台犷=胞，从而

利用完全平方公式可得AO+8Q=5,最后在RtAABD中，利用勾股定理进行计算即可

解答.

【解答】解：由题意得：4B+4C=2j万，AABD的面积=3,

•.AB=AC,

AB=AC=4B,

­.ADIBC,

:.ZADB=90°,BC=2BD,

：,Alf+BD2=AB2,

：.AD2+BD2=13,

△ABO的面积=3,

I

2-ADRD=3,

AD-BD=6，

2

.-.（AD+BO/=AD2+2BDAD+BD

=13+2x6

=25,

：.AD+8D=5s^AD+BD=-5（舍去）,

•.ADr+BDr=AB2，

：.心+（5-80）2=13,

:.BD=2^BD=3,

当㈤=2时，AD=5-BD=3（舍去），

当BO=3时，AD=5-BD=2,

;.BC=2BD=6,

故选：B.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象中获取信息是解题的关键.

5.（2023•延津县三模）如图（I）,在矩形A3CZ）中，点E是边4）的中点，动点P从点

〃出发，沿着折线6皿1运动到点C停止.设动点P运动的路程为X,ABPC的面积为

y（当点P与点3，C重合时，令y=0）,y与x的函数关系的图象如图（2）所示，则

的面枳为（

图⑴

A.4.8C.8D.6

【分析】根据题干条件结合图（1）、图（2）,列出相关的等式，最后利用相关联的条件

解出。值，问题即可迎刃而解.

【解答】解：结合图1、图2可知，当点Q从点B运动到点C时，对应横坐标为。，

:.5+ED-^CD=a.

由点E是AD的中点及矩形对边相等知，

AE=ED=-AD=-BC

22

:.5+-BC+CD=a,

2

E|JCD+-BC=«-5®,

2

结合图I、图2可知，当点P从点3运动到点E时，对应横坐标为5,对应的ABPC的

面积”，

/.EB=5，S^REC=Cl-

由勾股定理得，EB2=+AE2=CD2+(iAD)2=CD2+,

/.CD1+(-BC)2=52®,

2

:S^EC=；xBCxCD=(gBC)CD»且=a,

(-BC)CD=n(3),

2

/.CD2+(-BC)2=[CD+(-BC)F-2XCDX(-BC)=(a-5)2-2a=52，

222

解关于a的二次方程，得a=12或a=0(不合题意，舍去).

的面枳为：-ABAE=-CD-BC,

222

结合③式可得：=-6/=-X12=6.

故选：D.

【点评】本题考查了矩形、运动轨迹与图象之间的对应关系等相关知识点，找准图象与

线段之间的关联联系，再利用乘法公式适当变形求得。值是解题的关锦所在.

6.(2023•海安市模拟)如图1,在矩形A4C。中，AB<AD,对角线AC,皿)相交于

点E,动点P从点4出发，沿Af4fC—。向点。运动•设点。的运动路程为x,

AAEP的面积为户,，与x的函数关系图象如图2所示，①四边形A3CZ)的面积为⑵

②“>边的长为4：③当x=2.5时，A4EQ是等边三角形；④AAKP的面积为3时，工的

值为3或10,则以上结论正确的有()个.

图1图2

A.I个B.2个C.3个D.4个

【分析】注意图2中的y表小的是AAEP的面枳，血图1的AAEP的底边AE是一个小

变的量，则A4£尸的面积与点。到AE的距离有关，寻找点尸的特殊位置，对应），的函

数图象，以此即可求解.

【解答】解：由图2可知，当点。运动点3时，），=SM"=3，

•.四边形ABC。为矩形，

S耻影ABCD=4sM8E=4X3=12，故①正确；

由图2可知，当），=0,x=7,即点尸运动到点C,AB+BC=7,

四边形ABC。为矩形，

:.AD=BC,AHBC=\2.

AB+BC=1

由，

ABBC=\2

/3=3-八8=4

解得:或,

BC=4-8c=3

•/AH<AD=BC

AH=3,HC=AD=4,故②正确：

当x=2.5时,即xv3，点尸在AB上,

在RtAABC中，lan/BAC=@=±wV5,

AB3

.-.Z£tAC*60o.

.•.A4£P不可能是等边三角形，故③错误；

由结论①可得，当点。运动点8时，x=3,），=S&麻=3,

结合图②，当点Q运动到点。时，3?=5^=3,

此时x=AB+HC+CD=\（）.

.•.根砂的面积为3时，x的值为3或10,故④正确.

故正确的结论有①©④，共3个.

故选：C.

【点评】本题主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质，理解题意，正确理解函数图

象，利用特殊点的表示的实际意义解决问题是解题关犍.

方法五：一次函数的实际应用

一.选择题（共5小题）

1.（2023•延庆区一模）如图，用绳子围成周长为10〃?的矩形，记矩形的一边长为xm,

它的邻边长为ym.当x在一定范围内变化时，），随％的变化向变化，则y与x满足的

函数关系是（）

x

y

A.一次函数关系B.二次函数关系

C.正比例函数关系D.反比例函数关系

【分析】矩形的周长为2（%-），）=10,可用x来表示），即可.

【解答】解：由题意得，

2（%+），）=10,

:.x+y=5,

/.y=5-x,

即y与I是•次函数关系，

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数

的解析式形式是解题的关键.

2.（2023•南岗区校级二模）在全民健身越野比赛中，乙选手匀速跑完全程，甲选手1.5

小时后的速度为每小时10二米，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间z（时）变化的

图象（全程）如图所示.下列说法：

①起跑后半小时内甲的速度为每小时16千米：

②第1小时两人都跑了10千米；

③两人都跑了20千米；

【分析】根据函数图象中已知的数据，运用公式：路程+时间=速度，速度X时间=路

程，路程+速度=时间，进行计算即可得到正确结论.

【解答】解:①起跑后半小时内甲的速度为8+0.5=16千米/小时，故①正确；

②根据函数图象的交点坐标，可得第I小时两人都跑了10千米，故②正确；

③根据甲I小时跑10k，，，可得2小时跑20切?.故两人都跑了20千米，故③正确；

④根据。5~1.5小时内,甲半小时跑2初?，可得1小时跑4加I,故1.5小时跑了12k〃，

剩余的8也?需要的时间为870=0.8小时,根据1.5+0.8-2=0.3,可得甲比乙晚到0.3

小时，故④错误.

故选：C.

【点评】本题考查了•次函数的应用，观察函数图象的横坐标，可得时间，观察函数图

象的纵坐标，可得相应的路程.

3.（2023•肃州区三模）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至8城.在整个行驶过程中，

甲、乙两车离开A城的距离），（千米）与甲车行驶的时间，1小时）之间的函数关系如

图所示.则下列结论：

①A,3两城相距300千米：

②乙车比甲车晚出发I小时，却早到I小时；

③乙车出发后2.5小时追上甲车；

④当甲、乙两车相距50千乂时，/=』或生.

44

【分析】先根据图象的出甲乙之间的距离与时间的关系即可解答.

【解答】解