2024年-上海各区-数学高三二模试卷和答案

宝山2024二模

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题

每题5分)考生应在答题纸的相应位置干脆填写结果.

1.若集合A={x|x>0},8={x|x<l},则

2.已知兔数z满意0>z=l+i(i为虚数单位)，则忖=

,、sinxcosx

3.函数/(X)二的最小正周期是_____________

cos戈sinx

4.已知双曲线,一5=1(〃>0)的一条渐近线方程y=3x,则a=

5.若圆柱的侧面绽开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为

x-y<0

6.已知x,)，满意<工+y«2,则z=2x+y的最大值是

x+2>0

7.直线="-1(，为参数)与曲线["=3c°s;(。为参数)的交点个数是___________

y=2-t[y=2sin0

8.已知函数/(x)=V1)的反函数是广'(4则尸------------

9.设多项式1+工+(1+“了+(1+1)3++(l+x)”(x/0,〃wN")的绽开式中X项的系数

为T”,则lim4=

10.生产零件须要经过两道工序，在第一、其次道工序中产生的概率分别为0.01和〃，每道

工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603,则

P=____________

11.设向量〃?=(x,y),〃=(x,-y),P为曲线=上的一个动点，若点P到直线

x-y+l=0的距离大于A恒成立，则实数A的最大值为

12.设司,%,…为12,10的一个排列，则满意对随意正整数且1《团<〃410,

都有4+m<x,+n成立的不同排列的个数为

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确

选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.设则“。+力〉4”是“4>1且〃>3"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分乂不必要条件

14.如图，P为正方体中AG与的交点，则二R4C在该正方体各个

面上的射影可能是（）

15.如图，在同一平面内，点P位于两平行直线同恻，且P到的距离分别为1,3.

点分别在4/上，PM+PN=8,则PM/N的最大值为（）

A.15B.12C.10D.9

7,

16.若存在/£/?与正数〃7,使/。一6）=/。+加）成立，则称“函数/（力在x=/处存在

21

距离为2〃?的对称点“，设=七匚（x>0）,若对于随意，总存在正数

,X

〃?，使得“函数/（力在处存在距离为2m的对称点”，则实数义的取值范围是（）

A.(0,2]B.(1,2]C.[1,2]D.[1,4]

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必需在答题纸的相应

位置写出必要的步骤.

”.(本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分)

如图，在正方体—A片GA中，E、尸分别是线段3C、CR的中点.

(1)求异面直线上厂与AA所成角的大小;

(2)求直线族与平面AA8由所成角的大小.

18.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

已知抛物线丁=2必(〃>0),其准线方程为JV+1=0,直线/过点7(1,0)(/>0)且与

抛物线交于A、B两点，。为坐标原点.

(1)求抛物线方程，并记明：Q4-0B的值与直线/倾斜角的大小无关;

(2)若P为抛物线上的动点，记|P刀的最小值为函数d(/),求1(/)的解析式.

19.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

对于定义域为。的函数y=/(x),假如存在区间何,〃仁。(加<九),同时满意：①

/⑴在内是单调函数；②当定义域是在上同时，/(x)的值域也是［m,川则称函

数”X)是区间叫〃］上的“保值函数”.

(1)求证：函数4力=/一2戈不是定义域［0,1］上的“保值函数”；

(2)已知/(%)=2+，一一二(〃£凡〃工0)是区间土〃,〃］上的“保值函数”，求〃的取

值范围.

20.(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)

数列｛4｝中，已知4=1，4=。，%+1=%(q+与+2)对随意〃£”都成立，数列｛q｝的

前〃项和为S“.(这里a,A•均为实数)

(1)若｛?｝是等差数列，求左；

(2)若〃=1次=--,求S；

2

(3)是否存在实数攵,使数列｛q｝是公比不为1的等比数列，且随意相邻三项4”,Q向,%+2

按某依次排列后成等差数列？若存在，求出全部攵的值：若不存在，请说明理由.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

设7。R,若存在常数〃>0,使得对随意,£/，均有则称T为有界集合，

同时称M为集合丁的上界.

(1)设A=|yly=2二,xeR，A,=[x]sinx>，],试推断4、4是否为有界集

2*+1-[2]"

合，并说明理由；

(2)已知/(司=/+〃,记工⑴=/(力/%)=/(/“⑴乂〃=2,3,).若加£/?,

we｝，+8)，且8=｛f(〃?)|〃£N*｝为有界集合，求〃的值及加的取值范围；

(3)设〃、b、c均为正数，将(。一力『、(b-c)2、(c—a)之中的最小数记为“，是否存

在正数2G(O,1),使得人为有界集合。=｛y|y=,a、b、c均为正数｝的上界,

若存在，试求;I的最小值；若不存在，请说明理由.

宝山区答案

1.(0,1)2.13.714.35.5.16.37.28.-1

五

9.-10.0.0311—12.512

22

13.B14.C15.A16.A

V2

17.(1)arctanx/2(2)arctan

2

18.(1)y2=4x,证明略

/小J2Q,(122)

(2)«(t)=

r,(0<t<2)

19.(1)证明略

13

(2)a>—或。<---

22

20.(1)k=-

2

[2—门。7=2k-l,kwN1

(2)=<

〃,(〃=2k,kwN")

(3)Ar=--

5

21.(1)A为有界集合，上界为1；A?不是有界集合

,、1「1「

(2)〃=一,me——，一

4L22_

(3)Z=—

5

解析：(2)设％=肛4=/(6),6=/(41),〃=123,・..，则4=工(加)

若8={0（〃7）1〃€M}为有界集合,则设其上界为“。，既有|4区”0，〃£1<

\a,\=\an~an-\+%一%+•••+%-4+4|=(々”-4T)+(〃〃T-4-2)+3+3-4)+4

1Y1(।Y1(1?1

an-\--I+"]+[*一句+W_4+，*，+^|_2j+"/"+"

/1\11

若k“WM。恒成立，则“〃一j+恒成立，又1壮：=〃-：20

/.«=—,/.f(x)=x2+—

4v74

设〃z=，+/l

2

(i)2>0»则q_/=/(〃7)—6=(3+义+；_(g+4)=力2=">%>g

/.a„it>a„n-i>>...।>a,>m2>—

记g(x)=/(x)—x=(x—g)，则当玉>巧>3时，g(xj>g(x2)

工W（a,』）=/（凡」）一?」=凡一Ei＞区（〃?）=@一4=丸?

2

Aan>tz,+A(T7-1),若恒成立，则7=0,冲突。

(ii)2=0,由(i)可知4=。-=…=qm=』，满意题意。

"n-lF2

22

(iii)A,<0,同样有a1一/二/(〃?)一〃2=(g+/l+；—(g+%=A=>a]=a()+A

若6>,n'+/?.+22,则由(D可知,2=0,不行能，

,222

若2=—1,则/〃=一~-,f/,=—,则由(ii)可知，a=^,..=...==—»满意题意。

27[2〃〃一12

(1Y1<1

若一1<丸<0,则；1+力2=%+——一€—一o则

I2)414；

=〃?+万=*+万

4=%+储

则存在使得♦=；+4,故存在使得生=g+4

以此类推，存在乙«-1,0),使得

・•・此时;<4<%<一<。”<3,若同K%,〃£N"则%可取;，满意题意。

综上所述4£1,0],tnG—

L22_

(3)不失一般性，不妨假设c<b<〃

,、*,4+c,(a-c\

(i)若b=------o设c/=-------，

2I2)

此H寸cJ+Z^+c2=/+。2+(£^£\2a-c]0.

a-c)+(2J+3ac=5cd+3oac,

I2)

113ac113ac11\2ac

------X------------7___x_____________—___x___________

22222

a+b+c55tr+Zr+b55『一555a+2ac+5c

nac_12_d1)

5a2+2ac+5c2~5^J+2+5^cJ《(。'1)=了-/+/+/6%J

揣测y<g即

JJ

(ii)若a-bNb-c,即a22〃一c>0时，d=(h-c^

此时

5J-(«2+br+/)=5(6-0)2+/+c2^<5(Z?-c)2-(2Z?-c)2-(Z?24-c2)=-6bc+3c2<0

dI

l“lni+c2Vg

(iii)a-b<b-c,即0<a42Z?—c《2/?时，d=(/z-Z?)2

此时

5r/-(«2+/?2+c2)=5(6?-/?)2-(«2+/?2+c2)=4«2-10^+4/?2-c2=2(a-2/?)(2«-/?)-c2<0

即

综上所述，0<Y，・・.集合cf，叱毋”、均为正数

，的上界/I存

+41

在，=5

长宁区2024二模

一、填空题（本大题共有12题，满分54分,第广6题每题4分，第7r2题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置干脆填写结果.

I.已知集合人二卜卜>一1,XGR},集合8={X|XV2,xeR},则=.

2.己知更数z满意（2-3i）z=3+2i（i为虚数单位），则|z|=.

sinx2cosx

3.函数/（五）=c的最小正周期是

2cosRsinx

r-9V9

4.已知双曲线3-广£=1（[>0）的一条渐近线方程为y=2x,贝|]〃一______

a~（。+3）-

5.若圆柱的侧面绽开图是边长为4cm的正方形，则圆柱的体积为cm，（结果精确

到0.1cm'）.

X-j<0

6.己知x,y满意+y*2,则z—2x+y的最大值是.

x+2>0

Y-t-\尤=3cos0

7.直线1一。为参数）与曲线，一（。为参数）的交点个数是_______.

y=2-t（y=2sin。

"2'，x<0,,1

8.已知函数/*）=〈八i的反函数是广।（x）,则尸（一）=_________.

log2x,0<x<l2

9.设多项式l+x+（l+x）2+（l+x）3+・・,+（l+x）"（xwO,的绽开式中x项的

T

系数为，，则lim*>=.

…n-

10.生产零件须要经过两道工序，在第一、其次道工序中产生废品的概率分别为0.01和〃，

每道工序产生废品相互独立.若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603,

贝|Jp=.

11.已知函数/0）=M工-。|,若对随意王c[2,3],巧$[2,3],占。&，恒有

/（A^）>/（F）：/（4）,则实数〃的取值范围为__________.

L

12.对于给定的实数k>0,函数/'（©二2的图像上总存在点C,使得以。为圆心，1为半

x

径的圆上有两个不同的点到原点0的距离为1,则上的取值范围是.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考

生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.设〃，/?wR,则“a+/?>4”是“。〉1且/?〉3"的().

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件

14.如图，P为正方体中AG与的交点，则△B4C在该正方体各

个面上的射影可能是（）.

(A)①②③④(B)®@(C)①④(D)②④

15.如图，A3为圆。的直径且A3=4,。为圆上不同于A、B

的随意一点，若P为半径OC上的动点，则（PA+PBAPC的

最小值是（）.

（A）-4（B）-3（C）-2（D）-1

16.设％,0，…，/为1,2,…，10的一个排列,则满意对随意

正整数〃?,〃，且1W利V〃W10,都有xnitn<xn+n成立的

不同排列的个数为（）.

（A）512（B）256（C）255（D）64

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必需在答题纸的相应位置写出

必要的步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

如图，在正方体ABCD-A片中，E、尸分别是线段3C、的中点.

（1）求异面直线E尸与A4所成角的大小；

（2）求直线仃'与平面出所成角的大小.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某动物园要为刚入园的小动物建一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形态如图所

示，已知己有两面墙的夹角为色（即N4CA=四），墙AA的长度为6米（已有两面墙的可

33

利用长度足够大），记入480=9.

（1）若6」,求△ABC的周长（结果精确到0.01米）;

4

（2）为了使小动物能健康成长，要求所建立的三角形露天活动室面积即A4BC的面积

尽可能大.问当。为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知抛物线y2=2p.Y（〃>0）,其准线方程为x+l=0,直线/过点7Q,0）a>0）

且与抛物线交于A、B两点，。为坐标原点.

（1）求抛物线方程，并证明：次•丽的值与直线/倾斜角的大小无关；

（2）若P为抛物线上的动点，记|P7］的最小值为函数求"«）的解析式.

20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

对于定义域为。的函数y=/（x）,假如存在区间［〃z,n］cD,其中〃?〈〃，同时满

意:①）（X）在［加，川内是单调函数;②当定义域是|>〃，川时，）（X）的值域也是［加，〃］.

则称函数/（X）是区间［〃2,川上的“保值函数”，区间［小，川称为“保值区间

（1）求证：函数g（x）=—-2x不是定义域［0」上的“保值函数”；

（2）若函数/*）=2+,一一i-（awR,awO）是区间［也网上的“保值函数”，

aa~x

求a的取值范围；

（3）对（2）中函数/（©,若不等式|//5）区2x对XN1恒成立，求实数。的取值

范围.

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列｛%｝中，q=1,a2=a,4向=以4+%+2）对随意〃£^成立，数列｛q｝

的前〃项和为S4.

（1）若｛%｝是等差数列,求〃的值；

（2）若。=1,k—,求S;

2

（3）是否存在实数上,使数列｛〃”｝是公比不为1的等比数列且随意相邻三项q”，*7,

M-2按某依次排列后成等差数列？若存在.求出全部攵的值：若不存在,请说明理由.

长宁区答案

一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在

答题纸相应编号的空格内干脆填写结果.

1.(-1,2)；2.1；

3.兀；4.3;

5.5.1；6.3;

7.2；8.—1；

9.—；10.0.03；

2

11.[3,—）：12.（0,2）.

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13.B：14.C；15.C；16.A-

三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必需在答题纸相应编号的

规定区域内写出必要的步骤.

17.（本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.

解：（1）设正方体棱长为2,以。为原点，直线D4,DC,DQ为x,y,z轴，建立

空间直角坐标系，

则0（0,0,0）,8（2,2,0）,C（0,2,0）,。（0,0,2）,

故£（1,2,0）,尸（0,1,1）,

EF={-1,-1,1},裕={0,0,2}4分

设异面直线EF与4A所成角的大小为a，向量£/与A4所成角为夕，则

cosa=|cos0\=6分

EF.AA,

3n-s在

33

即异面直线所与AA所成角的大小为arccos且

8分

3

（2）由（1）可知，平面啰的一个法向量是〃=（1,0,0）,10分

设直线EV与平面4AB由所成角的大小是。，向量£尸与"所成角为7,则

EF-n

12分

EF•n

sin9=—0=arcsin—,

33

即直线E/与平面4A48所成角的大小为arcsin—14分

3

（不用建立空间直角坐标来解相应给分）

18.（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

解：（1）在△ABC中，曰正弦定理得

48_ACBC

2分

.兀.71.（兀兀、

sin—sin—sinn--------

34I34）

化简得，AC=2瓜,BC=4>/3sin—=V6+3V2,.............4分

12

所以，c=AC+3C+AB=3（遥+&）《17.59米，

即△A8C的周长为17.59米；.................................6分

|JT

9

（2）=-2AC8。・sin3..........8分

二126sinOsin..................................1。分

fi6、

=12Vr3sin6?—sinO+—cosO

X22/

=65/3(sin2O+GsinOcos。)=66--C°S4~^+—sin20

\22/

=6百sin（28q）+3G..................................12分

因为0<。<臼2TT，所以当2。一7T2=JF2,

362

即夕二三时，S“8c取到最大值9力平方米.....................14分

3LV1DV

19.（本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

解：（1）由题意，〃=2,所以抛物线的方程为）2=4工..............2分

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=1，则A（f,2"）,

OAOB=t2-4t............................................3分

当直线/的斜率女存在时，则攵。0,设/的方程为y=4Ay）,8（々,必），

-2_A_4

由I，=消去X,得行4H=0,故卜十%=%，

所以，OA♦OB=I/+弘%=）；；2+y必=『-4f................5分

综上，次•历的值与直线/倾斜角的大小无关.......................6分

（2）设P*。,%）,则犬=4%,|PT|=7）2+$=一《-2升+4—4,

...............................8分

因为与之0，所以d«）二（2Gi/22,...........................14分

\t,0<f<2.

20.（本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6

分.

解：（1）函数g（x）=/-2x在xw[0,l]时的值域为H。，.........2分

不满意“保值函数”的定义，

因此函数g（x）=d-2x不是定义域［0』上的“保值函数”.............4分

（2）因为函数，*）=2+2一一L在［〃2,川内是单港增函数，

aa~x

因小匕/（/zz）=，〃,/（〃）=〃，.................................6分

因此“7,〃是方程2+L—-—X=X的两个不相等的实根，

aa~x

等价于方程//一（2/+〃）x+l=0有两个不相等的实根..............8分

3।

由△=（2/+。）2-4〃2>0解得。<一彳或....................10分

（3）a2f{x}=la2+a--,\a2f（x）\<2x\a~^M\<2«>-2<—―^-^<2,

X|X|X

,1

2〃~42x+-,

即为{%对X21恒成立..................................12分

2a2+a>—2x,

令人。）=2x+',易证力（x）在［1,+8）单调递增，同理g（x）='-2x在［1,+8）单调递减.

XX

因此,=〃（l）=3,g（X）max=g（l）=T・......................................................因分

2a2+a<3,3

所以4解得15分

2〃2+〃之一1,2

311

又4＜一己或4〉上，所以。的取值范围是一16分

222

21.（本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8

分.

解：（1）若｛〃/是等差数列.则对随意〃eN+,凡+1一q=%2-%，即25=%+小,

故加二..................................................4分

2

⑵%=一;时，〃”+1=—~（%+。〃+2），即2a”+］=-an-alt+2,

々“+2+4+1=一（〃用十%）,故为+3+区什2=一（%+2+4+1）=4+1+an•……5分

所以，当〃是偶数时,

sO“=4+。2+%+%+…++%=5〃(4+/%、)=〃；7分

乙

当〃是奇数时，/+%=-（。1+%）二一2,

S〃=4+生+。3+。4+…+an-\+an=4+(%+〃3)+(%+%)+…+(〃〃-1+%)

/7—1

=1+-^-X(-2)=2-H...............................................8分

,,2—〃，〃二2攵-1,.、

综上，Sn=\(AsN)................................10分

n,n=2k

（3）若｛q｝是等比数列，则公比夕="=〃，由题意〃W1,

11分

2

①若。〃川为等差中项，则2J=4+%+2,即2暧="1+。叱|,2a=l+a,

解得。=1（舍去）；..............................................13分

②若明为等差中项，则2%=《向+4*2,即24a=a'"+a"L2=a+a2,

因为解得。=-2,k••,15分

③若4+2为等差中项，则2%=%+〃"，即2"〃"=。"'+""，2/=。+1,

因为awl,解得4=-■->k=―^—7=——•.........................17分

2\+a25

2

综上，存在实数我满意题意，k=--..........................18分

5

杨浦区2024二模

一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应

在答题纸相应编号的空格内干脆填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

123

456

L行列式789中，元素5的代数余子式的值为.

2.设实数3>°,若函数f（x）=cos（3x）+sin（s）的最小正周期为;r,则①二

3.已知圆锥的底面半径和高均为1,则该圆锥的侧面积为.

4.设向量a=3）,向量〃=（6J）若。与〃的夹角为钝角，则实数Z的取值范围

为.

5.集合A="3/},集合8=伍+1,。+2}若=则实数a=

6.设4*2是方程z2+2z+3=0的两根，则lz「Z2l=

7.设/“）是定义在R上的奇函数，当/>0时，fM=2x-3则不等式/“）<一5的解

为.

x+><12,

<2x-y>0,

8.若变量乂）'满意约束条件"一？¥"。，则2二丁一工的最小值为.

9.小明和小红各自掷一颗匀称的正方体骰子，两人相互独立地进行.则小明掷出的点

数不大于2或小红掷出的点数不小于3的概率为.

~2■1—~7=1（«>0）（9

10.设A是椭圆a--4上的动点，点尸的坐标为（-2，U）,若满意

।土1°的点A有且仅有两个，则实数。的取值范围为.

（a+4b）2+—

11.已知。b>0,当，心取到最小值时，b=.

12.设函数力（x）=UI+lx-"L当〃在实数范围内变更时，在圆盘炉+）’力内，且不在

任一人（入）的图像上的点的全体组成的图形的面积为

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

13.设ZEC且Z/0.“Z是纯虚数”是“z2£R”的()

(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件

(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件

14.设等差数列｛《J的公差为1,若｛《』的前©项之和大于其

前21项之和，则()

(A)d<0(B)d>0(C)46Vo⑼66>0

15.如图，N、s是球。直径的两个端点.圆G是经过N和S点的大圆，圆02和圆°3分

别是所在平面与NS垂直的大圆和小圆.圆.和a交于点A、B,圆G和g交于点C、。

设〃、b、c分别表示圆G上劣弧CNO的弧长、圆上半圆弧A3的弧长、圆G上半圆

弧C。的弧长.则a"。的大小关系为

(A)b>a=c

(B)b=c>a

(C)b>a>c

(D)b>c>a

16.对于定义在R上的函数〃幻，若存在正常数兄"，使得”对一切

xwR均成立，则称/(X)是“限制增长函数”。在以下四个函数中：

①/(x)=f+x+l②/(x)=V^i③/U)=sin(x2)④/(x)=x・sinx

是“限制增长函数”的有()

(A)②③(B)③©(C)®®®(D)①②④

三、解答题(本大题满分76分)本大题共5题，解答下列各题必需在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.

如图，正方体ABC。一AA中，AB=4,尸、Q分别是校3c与鸟£的中点.

（1）求异面直线A。和AQ所成的角的大小;

（2）求以A'A'P'Q四点为四个顶点的四面体的体积.

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

一2t+1

已知函数2+2

⑴推断函数/（幻的奇偶性，并证明；

（2）若不等式“幻＞l°g9（2°T）有解，求C的取值范围.

19.（本题满分14分）本即共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图所示：扇形A8C是一块半径为2千米，圆心角为60’的风景区，P点在弧4c上，现欲

在风景区中规划三条商业街道.要求街道PQ与48垂直，街道网与AC垂直，线段KQ表

示第三条街道.

（1）假如.位于弧BC的口点，求三条街道的总长度；

（2）由于环境的缘由，三条街道PR,QR每年能产生的经济效益分别为每千米300万

元，200万元及400万元，问:这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万

元）.

20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分6分.

设数列伍”｝满意4”=AH'+3-〃，其中AB是两个确定的实数，BwO.

(1)若A=B=1,求｛《J的前”项之和；

(2)证明：“"J不是等比数列；

(3)若4=生，数列｛qJ中除去起先的两项之外，是否还有相等的两项？并证明你的结论.

21、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分.

2

X--=1,D

设双曲线「的方程为3.过其右焦点尸且斜率不为零的直线内与双曲线交于A，“

两点，直线,2的方程为x=/,4,8在直线上的射影分别为C°

(1)当4垂直于x轴，，=一2时，求四边形A8OC的面积；

|4。1所|

(2)当，=°,4的斜率为正实数，4在第一象限，8在第四象限时，试比较|8。|・|/弘|和|

的大小，并说明理由；

(3)是否存在实数‘£(一1」)，使得对满意题意的随意直线勺直线A。和直线8c的交点总

在x轴上，若存在，求出全部的/的值和此时直线4。与3c交点的位置；若不存在，说明理

由.

杨浦区答案

填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应

在答题纸相应编号的空格内干脆填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分

1.-122.23.岳4.―）

5.26.2及7.（-8，-3）8.-4

713乃

9.910,（812）11.412.4

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

13、（A）14、（C）15、（D）16、（C）

三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必需在答题纸相应编号的规

定区域内写出必要的步骤.

17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.

（1）以。为原点，QA方向为X轴正方向，0C方向为轴正方向，方向为z轴正方向

建立空间直角坐标系.（2分）

得9（0,0,4）,P（2,4,0）,A（4,0,4）,0（2,4,4）

故叩二（2,4,-4）,&2=（-2,4,0）

（4分）

设pp与A◎所成的角的大小为e

AIRPAQI16-46

则一|。尸|-14。「我,同一5

（6分）

故n与p所成A（的）角的大小为arccos

5（8分）

（2）该四面体是以△AAQ为底面，P为顶点的三棱锥.

（10分）

P到平面AQA的距离h=PQ=4

AQQ的面积s*Si=8.

（12分）

V=-Sh=--4S=—

因此四面体的体积333（14分）

18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

⑴奇函数（2分）

证明：定义域XWR（4分）

2+1A

r（,x）=~~'=2=T+2"=（）

八）~2-x+l+2~2+2-2+2"「八町

2,（6分）

所以八幻为奇函数

⑵令：2'=t则，>°

），=上（/>0）

原函数为2/4-2（8分）

（11）

ye—

值域为I22J（10分）

因为不等式/⑶>嘀（2c-1）有解

所以、,2有解

（12分）

即：0<2<?-1<3

-<c<2

2（14分）

19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

由题意，=,因此0Q=2sin300=l,同理=I门分）

4QPR=360-2x