高考数学二轮复习真题源讲义强化训练(四)

专题强化训练(四)

一、单项选择题

1.(2022•广东广州一模)曲线y=x3+l在点(-1,a)处的切线方程为

(A)

A.y=3x+3B.y=3x+l

C.y二一3xTD.y=-3x-3

解析:(x)=3x；所以『(-1)=3,又当x=-1时,ar'+k-l+kO,所以

y=x3+l在点(-1,a)处的切线方程为y=3(x+l),即尸3x+3.故选A.

2.(2022•河北沧州三模)已知函数f(x)=--x,贝ij(C)

X

A.f(x)的单调递减区间为(0,1)

B.f(x)的极小值点为1

C.f(x)的极大值为-1

D.f(x)的最小值为-1

解析：因为f(x)」U-x,所以f

令。(x)=l-lnx-x2,则夕'(x)=---2x<0,

X

所以9(x)=l-Inx-x2在10,+8)上单调递减，因为0(1)=0,所以当

0<x<l时,<p(x)>0,即f'(x)>0;当x>l时,<p(x)<0,即f'(x)<0,所以

f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8),

故f(X)的极大值点为1,f(X)极大值=f(1)=T,即f(x)max=f(1)=T,不存在

最小值.故选C.

3.(2022•福建模拟预测)已知a=esin4磊,b=etanc=eC0S'+3,

goinieQn/eCoss

则(B)

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.c>a>b

解析:设函数f(x)=e'+W则f(x)为偶函数，且当x20时，(x)二

ex

e—R,

ex

所以f(x)在(0,+8)上单调递增，

因为sin14,tan2<­l<cos3〈-亨,所以-tan2>l>-cos3>^>sinl>0,

又a=f(sin1),b=f(tan2)=f(-tan2),c=f(cos3)=f(-cos3),所以

b>c>a.故选B.

4.(2022•江苏苏州模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函

数,f(2)=0,当x>0时,有x#(x)-f(x)>0成立,则不等式xf(x)>0的

解集是(A)

A.(-8,-2)U⑵+8)

B.(-2,0)U(2,+8)

C.(-OO,-2)U(0,2)

D.(2,+8)

解析:设g(x)亭，则g'(x)=[^r.广;；「⑺，由已知可得当x>0

时,g(x)单调递增.当x>2时,g(x)>g(2)=0,此时f(x)>0;0<x<2时,

g(x)<g(2)=0,此时f(x)<0.

又f(x)是奇函数,所以当-2<x<0时，f(x)二-六七)>0;当x<-2时，

f(x)=-f(-x)<0.

则不等式xf(x)>0等价于?0,或°,可得X>2或x<-2,

(x>0,(xV0,

则不等式xf(x)>0的解集是(一8,—2)U(2,+8).故选A.

5.若函数f(x)=ex(cosx-a)在区间(三,9上单调递减,则实数a的取

值范围是(D)

A.(-V2,+8)B.(1,+8)

C.［1,+8)D.［V2,+oo)

解析：#(x)=ex(cosx-a)+ex(-sinx)=ex(cosx-sinx-a).

因为f(x)在区间(-2；)上单调递减,所以广(x)W0在区间(-p学上

恒成立，

BPcosx-sinx-aWO，恒成立，BPa2cosx-sinx=V^cos(x+F>恒成立.

4

因为-沙《,所以-泞+%学所以Tcos(x+；)WvZ所以a^V2.

故选D.

6.函数f(x)=x+2sinx(x>0)的所有极小值点从小到大排列成数列｛aj,

设Sn是｛aj的前n项和，贝ljsinS2021等于(B)

A.1B.—C.OD.--

22

解析：f'(x)=l+2cosx(x>0),『(x)是周期为2B的周期函数，

令f'(x)=l+2cosx=0,得cosx=q,在区间(0,2兀］上，由cosx=-p

解得x号或x3,画出广(x)在(0,2n］上的图象如图所示，由图可

知f(x)在区间(0,2兀］上的极小值点为x号.

所以瓜｝是首项为二千,公差为2兀的等差数列，所以土。后2021X?+

2°21X202°X2冗=2021X(JI+-)+2021X2020n=2021n+i-^+

233

2

2021X2020n=202在JI+673n+g,所以sinS202i=sin(2021n+

673H+9=Siny=y.故选B.

二、多项选择题

7.(2022•福建莆田模拟预测)若函数y二f(x)的图象上存在两点，使得

f(x)的图象在这两点处的切线互相垂直,则称kf(x)具有T性质.下

列函数具有T性质的是(ACD)

A.y=sin2x

B.y=tanx

c.y二层，x£(-2,+8)

D.y=ex-lnx

解析:当尸si/x上等时,y，=sin2xe[-l,l],Sx.哼时,

A满足条件;

当yranx时,y'二含>。恒成立,B不满足条件;

<-32，(-2,1),

(x+2)

当y二六〃£(-2,+8)时，丫，当X1=-^,x=

32

2,%£(1,+00),4

、(工+2)

2时,C满足条件;

当y=ex-lnx(x>0)时,y'二e一函数y'工在定义域上单调递增,

XX

且y'=泥-3〈-1,y'|x=i=eT>l,所以存在y'I=

兀一石1

T,y‘、X-r兀=2l,D满足条件.故选ACD.

8.已知函数f(x)=x~31nxT,则(BC)

A.f(x)的极大值为0

B.曲线尸f(x)在(1,f(1))处的切线为x轴

C.f(x)的最小值为0

D.f(x)在定义域内单调

解析：f(x'x-Hnx-1的定义域为(0,+8),f，(x)=3X2-^=-(X-1),

XX

令尹(x)二0,得Xn，当X变化时,(x),f(x)的变化情况如表所示.

X(0,1)1(1,+°°)

f'(x)—0+

f(x)极小值

所以f(x)的极小值,也是最小值为f(l)=0,无极大值,在定义域内不

单调，故C正确,A,D错误;对于B,因为f⑴=0,*⑴=0,所以尸f(x)

在(1,f(1))处的切线方程为y-0=0(x-l),即尸0,故B正确.故选BC.

三、填空题

9.(2022•吉林东北师大附中模拟预测)函数f(x)=x'+3ax2+3(a+2)x+3

既有极大值,又有极小值,则a的取值范围是.

解析：f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3,f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),

因为函数f(x)既有极大值，又有极小值，所以△=(6a)2-4X3X

3(a+2)>0,

即a2_a_2>0,(a_2)(a+l)>0,解得a>2或a<_l.

答案：(-8,-1)u(2,+8)

10.(2022•河北唐山二模)若函数f(x)=x21nx,g(x)=xe?、则f(x)的

最小值为;若a,b>0,且f(a)=g(b),则a-2b的最小值

为.

解析：由题意可得f(x)=x1nx,析0,则f'(x)=x(21nx+1),

11

当0<x〈e5时,f'(x)<0,f(x)单调递减，当x〉e一5时,f'(x)>0,f(x)

单调递增,故x二是函数的极小值点,也是最小值点,故f(x)的最小

f(e-2)=e-1lne-2=--.

2e

由a,b>0,且f(a)=g(b)可得a2lna=be2b,

则Ina>0,a>l,即有Inae21na=be2b,

由于g(x)=xe2x,g1(x)=/(2*+1),当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调

递增，

故由a>l,b>0,Ina/n♦be2b可得Ina二b,故a-2b=a-21na,a>l,令

h(x)=x-21nx,x>l,则h'(x)=l-2~x2,Kx<2时,h'(x)<0,h(x)

XX

单调递减，当x>2时,h'(x)>0,h(x)单调递增，

故h(x).1h(2)=2-21n2,即a-2b的最小值为2-21n2.

答案:2-21n2

2e

四、解答题

11.(2022•河南焦作二模)已知函数f(x)=(x-2)e\

(1)求f(x)的极值;

⑵若函数g(x)=f(x)-k(x-lnx)在区间(i1)上没有极值,求实数k

的取值范围.

解：(1)由题意，函数f(x)=(x—2)e\可得f'(x)=ex+(x-2)e=(x-l)ex,

令*(x)=0,解得x=l,当x〈l时,(x)<0,当x>l时,f(x)>0,

所以f(x)在区间(-8,1)上单调递减,在区间(1,+8)上单调递增，

所以当x=l时，函数f(X)取得极小值为f(l)-e,无极大值.

(2)由g(x)=(x-2)eX-k(xTnx),可得屋(x)=(xT)•(ex--),

X

因为g(x)在区间(i1)上没有极值,所以g(x)在61)上单调递增或单

调递减，

当x£(W1)时,g'(x)20或g'(x)WO恒成立，即或

2xx

恒成立，

即k2xe"或女《*6”在x£。1)上恒成立,设h(x)=xe\

则h'(x)=(x+l)ex,

当x£§1)时,h，(x)>0,所以h(x)在。1)上单调递增，

要使kexex或kWxe'恒成立,则k^h(l)=e或

kWh§喙即实数k的取值范围是(-8,争u电+8).

12.(2022•全国甲卷)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线产f(x)在

点区,f(xi))处的切线也是曲线y二g(x)的切线.

⑴若Xi="l,求a;

(2)求a的取值范围.

解:(1)由题意知，f(T)=T-(T)=0,f'(x)=3x2-l,fz(-1)=3-1=2,

则y=f(x)在点(-1,0)处的切线方程为y=2(x+1),

/

即y=2x+2,设该切线与曲线g(x)切于点出g(x2)),g(x)=2x,

则g'(x2)=2X2=2,解得x2=l,则g(l)=l+a=2+2,解得a=3.

2

(2)f'(X)=3X-1,则y=f(x)在点(xbf(x))处的切线方程为

y-(xf-xi)=(3%i-l)(x-xi),整理得y二(3好T)x-2婢，

设该切线与曲线g(x)切于点曲2,g(x2)),g'(x)=2x,则g'(x2)=2x2,

+a2X

则切线方程为y~(%2)-2(X-X2),整理得y=2x2x-x^+a,

则Q整理得

I