2019届北京专用高考数学一轮复习第十二章复数算法初步推理与证明第三节合情推理与演绎推理讲义理

第三节合情推理与演绎推理总纲目录教材研读1.合情推理考点突破2.演绎推理考点二归纳推理

考点一类比推理

考点三演绎推理教材研读1.合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的①

部分

对象具有某种性质,推出这类事物的②

全部

对象都具有这种性质的推理由③

部分

到④

整体

、由⑤

个别

到⑥

一般

类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性,推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由⑦

特殊

到⑧

特殊

2.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理称为

演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:(i)大前提——已知的一般原理;(ii)小前提——所研究的特殊情况;(iii)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.1.下面几种推理是合情推理的是

()①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所

有三角形的内角和都是180°;③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出凸多边形的内角和是(n-2)·180°.A.①②

B.①③

C.①②④

D.②④C答案

C①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理.2.“因为指数函数y=ax(a>0且a≠1)是增函数(大前提),又y=

是指数函数(小前提),所以函数y=

是增函数(结论)”,上面推理的错误在于

()A.大前提错误导致结论错B.小前提错误导致结论错C.推理形式错误导致结论错D.大前提和小前提错误导致结论错A答案

A当a>1时,y=ax为增函数;当0<a<1时,y=ax为减函数,故大前提

错误.B3.(2017北京朝阳期末,8)某校高三(1)班32名学生全部参加跳远和掷实

心球两项体育测试,跳远和掷实心球两项测试成绩合格的分别为26人和

23人,这两项成绩都不合格的有3人,则这两项成绩都合格的人数是

()A.23

B.20

C.21

D.19B答案

B设跳远和掷实心球测试都合格的为x人,则26+23-x+3=32,解

得x=20,所以选B.B4.(2017北京东城二模,8)据统计,某超市两种蔬菜A和B连续n天的价格分

别为a1,a2,a3,…,an和b1,b2,b3,…,bn,令M={m|am<bm,m=1,2,…,n},若M中的元

素个数大于

n,则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格,记作A≺B,现有三种蔬菜A,B,C,下列说法正确的是

()A.若A≺B,B≺C,则A≺CB.若A≺B,B≺C同时不成立,则A≺C不成立C.A≺B,B≺A可同时不成立D.A≺B,B≺A可同时成立C答案

C若M中的元素个数大于

n且小于

n,则A≺B,B≺A可同时不成立.故选C.B5.观察下列不等式:1+

<

,1+

+

<

,1+

+

+

<

,……照此规律,第五个不等式为1+

+

+

+

+

<

.答案1+

+

+

+

+

<

解析先观察左边,第一个不等式为2项相加,第二个不等式为3项相加,

第三个不等式为4项相加,则第五个不等式应为6项相加,右边分子为分

母的2倍减1,分母即为所对应项数,故应填1+

+

+

+

+

<

.考点一类比推理考点突破典例1(1)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为

复数集):①由“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②由“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d

∈Q,则a+b

=c+d

⇒a=c,b=d”;③由“若a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”;④由“若x∈R,则|x|<1⇒-1<x<1”类比推出“若z∈C,则|z|<1⇒-1<z<1”.其中类比结论正确的个数是

()A.1

B.2

C.3

D.4(2)在平面几何中,△ABC的∠C的平分线CE分AB所成的线段的比为

=

(如图1).把这个结论类比到空间,在三棱锥A-BCD中(如图2),面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则类比得到的结论是

.

答案(1)B(2)

=

解析(1)类比结论正确的只有①②.(2)由平面中线段的比类比空间中面积的比可得

=

.易错警示在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要

注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应

球,面积对应体积;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应

线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.1-1把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形,则矩形的对

角线长即为直角三角形外接圆直径,以此可求得外接圆半径r=

(其中a,b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为

a,b,c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R=

.答案

解析由平面类比到空间,把矩形类比为长方体,从而可得出外接球半

径.考点二归纳推理命题方向一与数字有关的推理典例2观察下列等式:1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律,第n个等式为

.

n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

答案

n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

解析由前4个等式可知,第n个等式的左边第一个数为n,且连续2n-1个

整数相加,右边为(2n-1)2,故第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.命题方向二与式子有关的推理典例3观察下列等式:

+

=

×1×2;

+

+

+

=

×2×3;

+

+

+…+

=

×3×4;

+

+

+…+

=

×4×5;……照此规律,

+

+

+…+

=

n(n+1)

.答案

n(n+1)解析通过观察已给出等式的特点,可知等式右边的

是个固定数,

后面第一个数是等式左边最后一个括号内分数的分子中π的系数的一半,

后面第二个数是第一个数的下一个自然数,所以所求结果为

·n·(n+1),即

n(n+1).命题方向三与图形变化有关的推理典例4蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地

看作一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,

第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图

蜂巢总数.

则f(4)=

37

,f(n)=3n2-3n+1

.答案37;3n2-3n+1解析因为f(1)=1,f(2)=7=1+6,f(3)=19=1+6+12,所以f(4)=1+6+12+18=37,所以f(n)=1+6+12+18+…+6(n-1)=3n2-3n+1.规律总结(1)归纳推理的一般步骤:①通过对某些个体的观察、分析和比较,发现它们的相同性质或变化规

律;②由发现的相同性质或变化规律推出一个明确表达的一般性命题.(2)归纳是依据特殊现象推出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了

前提所包含的范围.(3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学

的发现很有用.2-1有一个奇数组成的数阵排列如下:1371321

…591523

…

…111725

…

…

…1927

…

…

…

…29

…

…

…

…

……

…

…

…

…

…则第30行从左到右第3个数是1051

.答案1051解析观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+

4+6+8+10+…+60=

-1=929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比

第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.2-2已知x∈(0,+∞),观察下列各式:x+

≥2,x+

=

+

+

≥3,x+

=

+

+

+

≥4,……,归纳得x+

≥n+1(n∈N*),则a=

.答案

nn

解析第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;第二个式子是n=2的情况,

此时a=22=4;第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.nnB考点三演绎推理典例5数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=

Sn(n=1,2,3,…).求证:(1)数列

是等比数列;(2)Sn+1=4an.证明(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1=

Sn,所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理得nSn+1=2(n+1)Sn,所以

=2·

,又∵

≠0,∴

≠0,∴

÷

=2.

(小前提)故

是以2为公比的等比数列.

(结论)(2)由(1)知

=4·

(n≥2),于是Sn+1=4(n+1)·

=4·

·Sn-1=4an(n≥2).又a2=3S1=3,故S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意正整数n≥1,都有Sn+1=4an.方法技巧(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论

解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果大前提是显然

的,则可以省略,本题中,等比数列的定义在解题中是大前提,由于它是显

然的,因此省略不写.(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要利用几个三段

论才能完成.3-1已知函数f(x)=

(x∈R).(1)判断函数f(x)的奇偶性;(2)判断