高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用课件新人教A版选修

§1.7定积分的简单应用第一章导数及其应用学习目标1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题.学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案

求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.梳理

(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝

.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝

.(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝

.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答案

不同.路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念.梳理

(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用

dt求解.(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用

dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－

dt.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即

.知识点三变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为

.2.在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正.(

)3.在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向.(

)[思考辨析判断正误]×√×题型探究类型一利用定积分求面积解析答案因此，所求图形的面积为S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD反思与感悟求由曲线围成图形面积的一般步骤(1)根据题意画出图形.(2)找出范围，确定积分上、下限.(3)确定被积函数.(4)将面积用定积分表示.(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果.·解答跟踪训练1求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积.所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，＝解答解

画出图形，如图所示.得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，反思与感悟两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限.解答跟踪训练2求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x所围成的图形的面积.类型二定积分在物理中的应用例3一点在直线上从时刻t＝0s开始以速度v＝t2－4t＋3(v的单位：m/s)运动，求：(1)该点在t＝4s时的位置；解答解答(2)该点前4s走过的路程.反思与感悟

(1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v(t)在时间区间内是否为正值，若v(t)>0，则运动物体的路程为s＝

v(t)dt；若v(t)<0，则运动物体的路程为s＝

|v(t)|dt＝－

v(t)dt；②注意路程与位移的区别.(2)求变力做功的方法步骤①首先要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移；②利用变力做功的公式W＝

F(x)dx计算；③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳.解析跟踪训练3一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比.若20N的力能使弹簧伸长3cm，则把弹簧从平衡位置拉长13cm(在弹性限度内)时所做的功W为答案√解析

设拉伸弹簧所用的力为FN，弹簧伸长的长度为xm，则F＝kx.达标检测12345解析答案1.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为√解析

如图，画出曲线y＝x2和直线y＝2x的图象，则所求面积S为图中阴影部分的面积.所以A(2,4)，O(0,0).123452.一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿与力F(x)相同的方向由x＝5m运动到x＝10m，则F(x)做的功为A.925J B.850JC.825J D.800J√解析

依题意F(x)做的功是12345解析答案12345解析答案1－ln2所以围成的封闭图形的面积S1等于四边形ABCD的面积减去S2的面积，即S1＝1－ln2.答案解析123454.一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为____m.90012345解析

由速度—时间曲线得所以汽车在1分钟内行驶的路程为＝150＋750＝900m.解答123455.求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积.解

作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积.由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，因此所求图形的面积为＝12345对于简单图形的面积求解，