2019届北京专用高考数学一轮复习第二章函数第二节函数的单调性与最值讲义理

第二节函数的单调性与最值总纲目录教材研读1.函数的单调性考点突破2.函数的最值考点二求函数的最值（值域）考点一确定函数的单调性（区间）考点三函数的单调性的应用教材研读1.函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在

区间D上是①

增函数

当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在

区间D上是②

减函数

图象描述

自左向右看图象是③

上升的

自左向右看图象是④

下降的

(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这

一区间具有(严格的)⑤

单调性

,区间D叫做函数y=f(x)的⑥

单调区间

.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M结论M为函数y=f(x)的⑦

最大值

M为函数y=f(x)的⑧

最小值

1.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则

()A.m>

B.m<

C.m>-

D.m<-

答案

B

y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-1<0,即m<

.B2.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是

()A.y=

B.y=(x-1)2C.y=2-x

D.y=log0.5(x+1)答案

A

y=(x-1)2仅在[1,+∞)上为增函数,排除B;y=2-x=

为减函数,排除C;因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函

数,排除D;y=

和t=x+1均为增函数,所以y=

为增函数,故选A.A3.(2017北京朝阳期中)已知函数f(x)=ax2-x,若对任意的x1,x2∈[2,+∞),且x1

≠x2,不等式

>0恒成立,则实数a的取值范围是

()A.

B.

C.

D.

答案

D由题意知函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,则

解得a≥

,故选D.D4.已知函数y=

,那么

()A.函数的单调递减区间为(-∞,1),(1,+∞)B.函数的单调递减区间为(-∞,1)∪(1,+∞)C.函数的单调递增区间为(-∞,1),(1,+∞)D.函数的单调递增区间为(-∞,1)∪(1,+∞)答案

A函数y=

的图象可看作y=

的图象向右平移1个单位得到的,∵y=

在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,∴y=

在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减,故选A.A5.已知f(x)=

,x∈[2,6],则f(x)的最大值为

,最小值为

.2答案2;

解析易知函数f(x)=

在x∈[2,6]上为减函数,故f(x)max=f(2)=2,f(x)min=f(6)=

.考点一确定函数的单调性(区间)典例1(1)判断函数f(x)=x+

(a>0)在(0,+∞)上的单调性;(2)求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间.考点突破解析(1)设x1,x2是任意两个正数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=

-

=

(x1x2-a).当0<x1<x2≤

时,0<x1x2<a,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0,

]上是减函数;当

≤x1<x2时,x1x2>a,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在[

,+∞)上是增函数.综上可知,函数f(x)=x+

(a>0)在(0,

]上是减函数,在[

,+∞)上为增函数.(2)易知f(x)=

=

画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1)和[0,1],单调递减

区间为[-1,0]和[1,+∞).

方法技巧1.判断函数单调性的常用方法(1)定义法和导数法:注意证明函数在某区间上具有单调性只能用定义

法和导数法.(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图

象的升、降判断函数的单调性.2.确定函数的单调区间的方法(1)定义法:先求定义域,再利用单调区间的定义来求.(2)图象法:由图象确定函数的单调区间需注意两点:一是单调区间必须

是函数定义域的子集;二是图象不连续且有多个上升段(下降段)的函数,

其单调增(减)区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.(3)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.1-1下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是

()A.y=

B.y=cosx

C.y=ln(x+1)

D.y=2-x

答案

D选项A中,y=

=

的图象是将y=-

的图象向右平移1个单位得到的,故y=

在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cosx在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+

1)的图象是将y=lnx的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)

上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.D1-2函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A是

()A.(-∞,0)

B.

C.[0,+∞)

D.

B答案

B(数形结合法)y=|x|(1-x)=

=

=

由图易知原函数在

上单调递增.故选B.画出函数的图象,如图.典例2(1)函数y=x+

的最小值为

;(2)已知函数f(x),对于实数t,若存在a>0,b>0,满足∀x∈[t-a,t+b],使得|f(x)-f(t)|≤2,则记a+b的最大值为H(t).①当f(x)=2x时,H(0)=

;②当f(x)=x2且t∈[1,2]时,函数H(t)的值域为

.考点二求函数的最值(值域)12[

-

,2)∪[2

,4]答案(1)1(2)①2②[

-

,2)∪[2

,4]解析(1)令

=t,则t≥0,x=t2+1,所以y=t2+t+1=

+

,当t≥0时,由二次函数的性质可知,当t=0时,ymin=1.(2)①当t=0时,|f(x)-f(0)|=|2x|≤2,所以-1≤x≤1,即x∈[0-1,0+1],所以a=b=

1,H(0)=2.②|f(x)-f(t)|=|x2-t2|≤2,所以t2-2≤x2≤t2+2.i.若t∈(

,2],则0<t2-2≤x2≤t2+2,又x∈[t-a,t+b],此时x∈[

,

],所以a=t-

,b=-t+

,所以a+b=

-

=

关于t2单调递减,所以a+b∈[

-

,2).ii.若t∈[1,

],则t2-2≤0≤x2≤t2+2,又x∈[t-a,t+b],此时x∈[-

,

],所以a=t+

,b=

-t,所以a+b=2

关于t2单调递增,所以a+b∈[2

,4],综上,a+b∈[

-

,2)∪[2

,4].方法技巧求函数最值的三种常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应

的方法求最值.2-1函数f(x)=

的最大值是

.解析当x≥1时,函数f(x)=

为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.答案222-2用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+

4,-x+8}的最大值是

.答案6解析在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取

位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图所示.

由图象可知,函数f(x)在x=2处取得最大值6.6考点三函数单调性的应用命题方向一比较函数值的大小典例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1

时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f

,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为

()A.c>a>b

B.c>b>a

C.a>c>b

D.b>a>cD答案

D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是

减函数,所以a=f

=f

,f(2)>f(2.5)>f(3),所以b>a>c.命题方向二解函数不等式典例4已知函数f(x)=

,x∈R,若对任意θ∈

,都有f(msinθ)+f(1-m)>0成立,则实数m的取值范围是

()A.(0,1)

B.(0,2)

C.(-∞,1)

D.(-∞,1]D答案

D解析∵f(x)=

,∴f(-x)=

=-f(x),∴f(x)为奇函数,∴f(msinθ)>-f(1-m),即f(msinθ)>f(m-1),又∵f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,∴msinθ>m-1对θ∈

恒成立.①当θ=

时,sinθ=1,msinθ>m-1恒成立.②当θ∈

时,

>1,msinθ>m-1恒成立等价于m<

恒成立,即m<

,∴m≤1.综上,m≤1,故选D.命题方向三求参数的取值范围典例5已知函数f(x)=

其中a>0,且a≠1,若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为

.解析要使函数f(x)在R上单调递增,则有

即

解得2<a≤3,即实数a的取值范围是(2,3].答案(2,3](2,3]方法技巧函数单调性的应用比较广泛,可用来比较函数值的大小、解函数不等

式、求参数的范围等.(1)利用函数单调性比较两个函数值的大小若f(x)在给定的区间A上是递增的,任取x1,x2∈A,则x1<x2⇔f(x1)<f(x2);若f(x)在给定的区间A上是递减的,任取x1,x2∈A,则x1<x