2019届江苏专用高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.7函数的图象讲义理苏教版

§2.7函数的图象基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象.2.图象变换(1)平移变换知识梳理f(x)+kf(x+h)f(x-h)f(x)-k(2)对称变换①y＝f(x) y＝

；②y＝f(x)y＝

；③y＝f(x)y＝

；④y＝ax(a>0且a≠1)y＝

.－f(x)f(－x)－f(－x)logax(a>0且a≠1)(3)伸缩变换①y＝f(x) y＝

.②y＝f(x) y＝

.f(ax)af(x)(4)翻折变换①y＝f(x) y＝

.②y＝f(x)

y＝

.|f(x)|f(|x|)知识拓展1.函数对称的重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.2.函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量.(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(

)(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(

)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(

)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(

)(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象.(

)×××√×考点自测1.(教材改编)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如图四个图形：答案解析其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有______.(填序号)②①中，因为在集合M中，当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是函数；②符合函数的定义，所以②是函数；③中，x＝2对应的元素y＝3∉N，所以③不是函数；④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是函数.因此只有②是从集合M到集合N的函数.2.(2016·全国乙卷改编)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]上的图象大致为______.答案解析④f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除①；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除②；在x>0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，3.(教材改编)若函数y＝f(x)的图象经过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象经过点的坐标为________.令4－x＝1，得x＝3，则函数y＝f(4－x)的图象过点(3，1).答案解析(3，1)4.(2016·苏州中学月考)使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是_________.答案解析(－1，0)在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0).5.已知函数f(x)＝

且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________.答案解析(0，1]当x≤0时，0＜2x≤1，要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即函数y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，由图象可知0＜a≤1.几何画板展示题型分类深度剖析题型一作函数的图象例1作出下列函数的图象.(1)y＝()|x|；解答(2)y＝|log2(x＋1)|；解答将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.(3)y＝

；解答再向上平移2个单位而得，如图③.(4)y＝x2－2|x|－1.解答且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图④.图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋

的函数.(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.思维升华跟踪训练1

作出下列函数的图象.(1)y＝|x－2|·(x＋1)；解答当x≥2，即x－2≥0时，当x<2，即x－2<0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).解答再向上平移1个单位得到，如图所示.题型二识图与辨图例2

(1)下面所给出的四个图象和三个事件：①我离开家不久，发现自己把作业本忘在

家里了，于是立刻返回家里取了作业本

再上学；②我骑着车一路以匀速行驶离开家，只是

在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我从家里出发后，心情轻松，缓缓行进，

后来为了赶时间开始加速.图象与这三个事件发生的顺序相吻合的分别为______________.①d，②a，③b答案解析离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故①与图象d相吻合；途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故②与图象a相吻合；加速赶向学校，图象上升地就越来越快，故③与图象b相吻合.(2)已知定义在区间[0，2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为______.答案解析②方法一由y＝f(x)的图象知，当x∈[0，2]时，2－x∈[0，2]，图象应为②.方法二当x＝0时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当x＝1时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各图象，可知应填②.函数图象的识辨可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象.思维升华跟踪训练2

(1)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f{f[f(2)]}＝____.由题意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.因此，有f{f[f(2)]}＝f[f(0)]＝f(4)＝2.答案解析2(2)(2015·课标全国Ⅱ改编)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为_____.答案解析②几何画板展示当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，PB＝OBtan∠POB＝tanx，当点P与点C重合，即x＝

时，又当点P与边CD的中点重合，即x＝

时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，题型三函数图象的应用命题点1研究函数的性质例3

(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是______.①f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)；②f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)；③f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)；④f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0).答案解析③将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.(2)若函数y＝f(2x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)图象的对称轴方程是______.因为f(2x＋1)是偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)⇒f(x)＝f(2－x)，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝1.答案解析x＝1命题点2解不等式例4

函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，图象如图所示，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为_______________.答案解析(－3，0)∪(0，3)∵f(x)为奇函数，∴x·[f(x)－f(－x)]＝2x·f(x)<0，结合图象知x的范围为(－3，0)∪(0，3).命题点3求解函数零点问题例5

(2016·山东)已知函数f(x)＝

其中m>0，若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是__________.答案解析(3，＋∞)如图，当x≤m时，f(x)＝|x|；当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)＝b有三个不同的根，则m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.几何画板展示(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则.(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.思维升华跟踪训练3(1)(2015·课标全国Ⅰ改编)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝____.答案解析设f(x)上任意一点为(x，y)，关于y＝－x的对称点为(－y，－x)，将(－y，－x)代入y＝2x＋a，所以y＝a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1，解得a＝2.2(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_______.答案解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为

，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为(，1).几何画板展示

高考中的函数图象及应用问题高频小考点4考点分析高考中考查函数图象问题主要有以下几个方面：函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查、难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决，熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、已知函数解析式确定函数图象典例(2015·浙江改编)函数f(x)＝

cos

x(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为_____.答案解析④∵f(x)＝(x－)cos

x(－π≤x≤π且x≠0)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除①，②；当x＝π时，f(x)＜0，排除③.二、函数图象的变换问题典例若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为______.③答案解析由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知③正确.三、函数图象的应用典例(1)已知f(x)＝

则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是_____.5答案解析由y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或f(x)＝

，综上，共有5个零点.(2)(2015·北京改编)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是______________.答案解析令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图.∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.{x|－1＜x≤1}(3)(2016·吉林三校联考)若函数f(x)＝

的图象如图所示，则m的取值范围为________.答案解析(1，2)根据图象可知，函数图象过原点，当x>0时，f(x)>0，∴2－m>0，即m<2，函数f(x)在[－1，1]上是单调递增的，∴f′(x)>0在[－1，1]上恒成立，即f(0)＝0，∴m≠0.∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1，1]上恒成立，∴(x2－m)max<0，∴m>1，综上所述，1<m<2.课时作业1234567891011121.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f()＝______.答案解析22.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为___________.答案解析f(x)＝e－x－1与y＝ex的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象.∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.1234567891011123.(2016·淮安调研)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的图象如图所示，则a＋b＝_____.答案解析由图象可知，函数过点(－3，0)，(0，－2)，1234567891011124.函数y＝

的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于______.答案解析如图，两个函数图象都关于点(1，0)成中心对称，两个图象在[－2，4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.81234567891011125.已知函数f(x)＝e|ln

x|，则函数y＝f(x＋1)的大致图象为_____.答案解析④当x≥1时，f(x)＝eln

x＝x，其图象为一条直线；当0<x<1时，f(x)＝e－ln

x＝.函数y＝f(x＋1)的图象为函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的.1234567891011126.对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值.其中正确的个数为_____.答案解析2123456789101112因为函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函数f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；如图，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确.1234567891011127.设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为_________________.答案解析{x|x≤0或1<x≤2}123456789101112y＝f(x＋1)向右平移1个单位得到y＝f(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f(x)的大致图象如图所示.123456789101112由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1<x≤2}.1234567891011128.设f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是__________.答案解析(4，＋∞)画出函数f(x)＝|lg(x－1)|的图象如图所示.由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，解得ab＝a＋b>2(由于a<b)，所以ab>4.1234567891011129.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________________________.答案解析123456789101112当－1≤x≤0时，设函数f(x)的解析式为y＝kx＋b，当x>0时，设函数f(x)的解析式为y＝a(x－2)2－1，∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，