26.1.1反比例函数教学设计++2024-2025学年人教版数学九年级下册

九年级下册26.1.1反比例函数教案【内容和内容解析】1.内容本节课是人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册(以下统称“教材”)第二十六章“反比例函数”26.1.1反比例函数，内容包括:从实例中归纳出反比例函数的概念及反比例函数的辨析2.内容解析教材中本课时的主要内容是通过对三个实际问题列方程，得到三个不同于以前学过的函数解析式，给学生以疑问.让学生通过观察、探究与归纳，得到反比例函数的概念,本节内容体现了由特殊到一般、数学建模、从具体到抽象以及分类讨论等思想方法,这样安排的目的有两个，一是让学生体会生活中处处有数学，数学源于生活、又服务于生活的教学理念，体会数学就在我们身边的道理;二是从简单的实际问题入手激发学生学习数学的兴趣基于以上分析，确定本节课的教学重点是:理解反比例函数的概念【目标和目标解析】【教学目标】1.理解并掌握反比例函数的概念和意义；2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式；3.从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.【重难点】理解反比例函数的概念，会求反比例函数关系式.（重点）。反比例函数解析式的确定.（难点）。【目标解析】达成目标1)的标志是:理解反比例数的概念，需要注意的地方是自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，及会判别反比例函数达成目标2)的标志是:用待定系数法求反比例函数的关系式，达成目标3)的标志是:能利用反比例函数的意义分析简单的问题【新课导入】师：什么是函数？什么是正比例函数？什么是一次函数？什么是二次函数？函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.正比例函数：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫作比例系数.一次函数：一般地，形如y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数.二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.设计意图：复习为探究新知奠定基础。【探究新知】思考：下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？1.京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化；(1).平均速度v和运行时间t有函数关系吗？试说明理由．当一个变量t变化时，另一个变量v随它变化而变化。而且对于t的每一个确定的值，v都有唯一一个确定的值与其对应。(2).你能写出平均速度v关于运行时间t的解析式吗？v=2.某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化；(1).草坪的长y和宽x有函数关系吗？试说明理由．当一个变量y变化时，另一个变量x随它变化而变化。而且对于y的每一个确定的值，x都有唯一一个确定的值与其对应。(2).你能写出平均速度v关于运行时间t的解析式吗？y=

3.已知北京市的总面积为1.64×104km2，人均占有面积S(单位：km2/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.你能写出人均占有面积S关于全市总人口n的解析式吗？S=师：观察这三个函数解析式，它们有什么共同点？v=y=

S=答：这些解析式都具有y=kx形式，其中k设计意图：直观表象帮助学生建立新知模型，形成脑图。师：这种函数叫反比例函数，那么什么是反比例函数？归纳：一般地，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数，其中x是自变量，【注意】(1)自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.(2)在实际问题中自变量x的取值范围要根据具体情况来确定，例如，在前面得到的第二个解析式y=1000x，x的取值范围是x>0，且当x取每一个确定的值时，y都有唯一确定的值与其对应(3)反比例函数的三种表达方式(等价变形，k≠0)：y=kx，y=kx-1，k=xy(x设计意图：培养学科素养，书写习惯开始；学会用数学语言表达证明步骤。归纳总结探究的结果。【巩固练习】1.判断下列式子是不是反比例函数.2.下列函数中哪些是反比例函数？哪些是一次函数？①y=3x－1②y=2x③y=32x④y=－1x⑤y=x2⑥－xy=2⑦y反比例函数：③④⑥⑦一次函数①②⑤3.已知反比例函数的解析式为y=|a|－2x，则a的取值范围是（A.a≠2B.a≠-2C.a≠±2D.a=±2【考点解析】例已知函数y=(2m2+m－1)x2m²+3m-3是反比例函数，求m的值.解：∵y=(2m2+m－1)x2m²+3m-3是反比例函数，∴2m²+3m-3=－12m2+m－1≠0解得m=－2.【巩固练习】1.若函数y=(m+1)x|m|－2是反比例函数，则m=(D)A.±1B.±3C.－1D.1【解析】∵函数y=(m+1)x|m|－2是反比例函数，∴|m|－2=－1且m+1≠0，解得：m=1.2.函数y=(m-1)xm²－m-1是反比例函数，求m的值.【解析】解：由题意得：m－1≠0m2－m－1＝－1解得m=0.归纳总结：利用反比例函数的定义求解字母的值：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程（组）求解即可，如y=(2m2+m－1)x2m²+3m-3中，x的系数为－1，且系数不等于0.【典例解析】例1已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当x=4时，求y的值.分析：因为y是x的反比例函数，所以设y=kx.把x=2和y=6代入上式，就可求出常数k的值解：(1)设y=kx，因为当x=2时，y=66=k2，解得k因此y=12x(2)把x=4代入y=12x

，得y=【巩固练习】1.y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：(1)写出这个反比例函数的解析式.(2)根据函数表达式完成上表.解：(1)∵y是x的反比例函数，∴y=k把x=-0.5，y=4代入上式得4=k－0.5

，解得k=-2，则y归纳总结：利用待定系数法求反比例函数解析式的具体方法：(1)设出含“未知系数”的函数解析式，如y=kx(k≠0)(2)根据已知条件中x、y的值，列出含“未知系数k”的方程；(3)解这个方程，求出未知系数k；(4)将求出的未知系数的值代入所设的解析式y=kx中，确定函数解析式课堂练习（教材练习题）1.用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：(1)一个游泳池的容积为2000m3，游泳池注满水所用时间t(单位：h)随注水速度v(单位：m3/h)的变化而变化；分析：根据注水速度×注水时间=游泳池的容积，可得vt=2000，变形即可求出t与v的函数解析式．解答：解：由题意得vt=2000，

整理得t=2000v点评：本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，掌握注水速度×注水时间=游泳池的容积是解题的关键．(2)某长方体的体积为1000cm3，长方体的高h(单位：cm)随底面积S(单位：cm2)的变化而变化；分析：根据长方体的体积除以底面积等于高，可得答案．解：函数解析式为：h=1000S点评：本题考查了函数解析式，注意高随底面积的变化而变化，S是自变量，h是S的函数．(3)一个物体重100N，物体对地面的压强p(单位：Pa)随物体与地面的接触面积S(单位：m2)的变化而变化.分析：根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强=压力÷受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可.解：∵压强与接触面积成反比例关系，∴p=100S2.下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？y=4x，yx=3，y=－2x，y=6x+1，y=x2－1，y=1x2y=4x：正比例函数yx=3：y=－2x：y=6x+1：一次函数y=x2－1：二次函数y=1x2：不是反比例函数，因为分母是xxy=123：反比例函数3.已知y与x2成反比例，且当x=3时，y=4.1)写出y关于x的函数解析式；2)当x=1.5时，求y的值；3)当y=6时，求x的值.1)解：设y与x的函数关系式y=kx2，当x=3，y=4时，反比例关系式为解得k=36，则y=36x22)把x=1.5带入y=36x2，得y=362.25，因此3)把y=6帶入y=36x2，得x2=366，因此x【课堂检测】1.下列y关于x的函数中：（1）y=x4，（2）y=－3x，（3）xy=9，（4）y=5（5）y=－23x，（6）y=2x－1，（7）y=35x是反比例函数的是_____________．2.矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数3.直角三角形两直角边的长分别为x，y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系式为.4.已知菱形的面积是12cm2，菱形的两条对角线长分别为x和y，则y与x之间的函数关系是.5.某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空，现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t(小时)，写出时间t(小时)与Q之间的函数表达式.6.若函数y=(3+m)x8-m²是反比例函数，则m的取值是．7.已知y与x成反比例，且当x=－2时，y=3，则y与x之间的函数解析式是，当x=－3时，y=．8.已知反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象经过点(3，4)，则该函数图象必不经过点A.(2，6)B.(－1，－12)C.(0.5，24)D.(－3，8)9.已知反比例函数的解析式为y=2k－1x，则最小整数k【链接中考】1.(2024·内蒙古通辽·中考真题)如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y=kx(k为常数，k＞0)上，将正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，则k的值为A.43

B.33C.23【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE，可证明△OED是等边三角形，则DE=OD，OH=DH=12OH，进而得到EH=32

OD，设OD=2m，则OH=m，HE=3m，则E(m，3

m)，D(2m，0)，即可得到点(2m，3)在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到k=2m·3

=m解：如图所示，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE.∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，∴OE=OD，∠EOD=360°6=60°∴△OED是等边三角形，∴DE=OD，∵EH⊥OD，∴OH=DH=12OD∴EH=DE2－DH2设OD=2m，则OH=m，HE=3m，∴E(m、3

m)，D(2m，0)，∵将正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，点(2m，3)在双曲线上，又∵点E也在双曲线上，∴k=2m·3

=m·3

m，解得m=2或m=0(舍去k=2m·3=43，故选：A.2.(2024·重庆·中考真题)反比例函数y=－10x的图象一定经过的点是（A.（1，10）B.（-2，5）C.（2，5）D.（2，8）【解析】本题考查了求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数值是解题的关键，分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可.解：当x=1时，y=-10，图象不经过（1，10），故A不符合要求;当x=-2时，y=5，图象一定经过，故B符合要求；当x=2时，y=-5，图象不经过（2，5），故C不符合要求；当x=2时，y=8，图象不经过（2，8）故D不符合要求.故选：B