2025年北师大版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高一数学上册阶段测试试卷689考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、下面的函数与y=x为同一函数的是（）

A.

B.

C.

D.

2、条件“log2x＜1”是条件“x＜2”的（）

A.充分不必要条件。

B.必要不充分条件。

C.充要条件。

D.既不充分又不必要条件。

3、已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设则的大小关系是（）A.B.C.D.4、方程的两个不等实根都大于2，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.5、【题文】若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A.[3]B.[]C.[3]D.[-1,]6、化简sin600°的值是（）A.0.5B.0.5C.D.-7、在数列{an}中，a1=1，an+1=则a4等于（）A.B.C.D.8、已知a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（）A.a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂αB.a∥b，b⊥αC.a∩b=A，b⊂α，a⊥bD.a⊥b，b∥α评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、如图，||=1，||=||=2，∠AOB=∠BOC=30°，用表示则=____．

10、已知a，b，c成等比数列，则方程ax3+bx2+cx=0的根有____个．11、【题文】幂函数的图像经过点则的值为____.12、【题文】已知当时，且恒成立，则当时，＝____13、设x0是方程8-x=lgx的解，且x0∈(k，k+1)(k∈Z)，则k=____________．14、sin17°•cos43°+sin73°•sin43°等于______．15、已知函数y=f(x)

是R

上的增函数，且f(m+3)鈮�f(5)

则实数m

的取值范围是______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)16、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．17、作出下列函数图象：y=18、作出函数y=的图象．19、画出计算1++++的程序框图．20、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

21、请画出如图几何体的三视图．

22、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．23、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．24、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、证明题(共4题，共12分)25、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．26、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．27、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．28、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．评卷人得分五、计算题(共1题，共8分)29、（2012•乐平市校级自主招生）如图，AB∥EF∥CD，已知AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF．评卷人得分六、解答题(共4题，共12分)30、已知数列{an}的通项公式是an=2n-1，数列{bn}是等差数列，令集合A={a1，a2，，an，}，B={b1，b2，，bn，}，n∈N*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{cn}．

（I）若cn=n，n∈N*，求数列{bn}的通项公式；

（II）若A∩B=Φ，且数列{cn}的前5项成等比数列，c1=1，c9=8．

（i）求满足的正整数n的个数；

（ii）证明：存在无穷多组正整数对（m，n）使得不等式成立．

31、（本小题满分12分）已知的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量平面向量（1）如果求a的值；（2）若请判断的形状.32、【题文】（本小题满分10分）已知圆方程为：

（1）直线过点且与圆交于两点，若求直线的方程；

（2）过圆上一动点作平行于轴的直线设与轴的交点为若向量求动点的轨迹方程。33、已知0＜α＜tanα=

（1）求的值；

（2）求sin（-α）的值．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】

因为的定义域为{x|x＞0}；与函数y=x的定义域不同，所以两函数不是同一函数；

函数与y=x定义域相同，对应关系一致，所以两函数是同一函数；

函数的定义域为{x|x≥0}；与函数y=x的定义域不同，所以两函数不是同一函数；

函数的定义域为{x|x≠0}；与函数y=x的定义域不同，所以两函数不是同一函数；

所以与函数y=x为同一函数的是．

故选B．

【解析】【答案】求出给出的四个选项中函数的定义域；结合化简后的函数解析式，逐一与函数y=x核对即可得到答案．

2、A【分析】

由log2x＜1；得0＜x＜2；

所以条件“log2x＜1”是条件“x＜2”充分不必要条件．

故选A．

【解析】【答案】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

3、C【分析】试题分析：偶函数在上是增函数，则在上为减函数，又所以考点：1．偶函数的性质；2．指对数的运算性质．【解析】【答案】C4、D【分析】试题分析：由题意知：解得考点：二次不等式的解法.【解析】【答案】D5、A【分析】【解析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．

曲线方程可化简为（1≤y≤3）；

即表示圆心为（2；3）半径为2的半圆，如图。

依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x-b距离等于2；即。

=2解得b=1+2或b=1-2

因为是下半圆故可知b=1+2（舍），故b=1-2

当直线过（0，3）时，解得b=3；

故1-2≤b≤3；

故选A

考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力．本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型【解析】【答案】A6、D【分析】【解答】sin600°=sin（360°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣．

故选D．

【分析】利用诱导公式可求得sin600°的值。7、B【分析】【解答】解：由an+1=得∴则数列{}是以为首项，以为公差的等差数列；

∴则．

∴．

故选：B．

【分析】由数列递推式可得数列{}是以为首项，以为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式得到an，则a4可求．8、B【分析】解：对于A，若b，c相交，则a⊥α，若b∥c；则a与α可能平行，可能垂直，可能斜交也可能a⊂α．

对于B，若b⊥α，则存在相交直线m，n使得b⊥m，b⊥n，又∵a∥b；∴a⊥m，a⊥n，故而a⊥α．

对于C；a有可能在平面α内．

对于D；a有可能在平面α内，也可能与α平行，也可能与α斜交．

故选B．

逐个分析选项；举出反例即可．

本题考查了空间线面位置关系的判断，属于基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】

如图所示：过点C作CE∥OA交OB于点E，再过E作ED∥OC交OA于点D，则四边形OCED是平行四边形，

∴

∵DE∥OC；∴∠DEC=30°，∴∠DOE=∠OED=30°，∴OD=DE=2，∠ODE=120°．

∴．

∵

∴=

=22×2+2×2×2cos60°=12，∴=．

在△ODE中，

而==．

∴=．

故答案为

【解析】【答案】在射线OA上取OD=2，过点D作DE∥OC交射线OB于点E，可证明再利用向量的线性运算即可得出．

10、略

【分析】

方程ax3+bx2+cx=0提取x得：

x（ax2+bx+c）=0；

解得：x=0或ax2+bx+c=0；

∵a，b；c成等比数列；

∴b2=ac；∴ac＞0

∴△=b2-4ac=-3ac＜0

∴方程ax2+bx+c=0无实根．

则ax3+bx2+cx=0的根有1个．

故答案为：1．

【解析】【答案】把所求方程的左边提取x，根据两数相乘积为0，这两数中至少有一个数为0，得到x=0或ax2+bx+c=0，再根据a，b，c成等比数列知b2=ac；推断出ac＞0，由△小于0，判断方程无实根，从而得到所求方程只有一个解为0，得到正确的答案．

11、略

【分析】【解析】

试题分析：本题要求出幂函数的表达式，才能求出函数值，形如的函数叫幂函数，故因此．

考点：幂函数的定义．【解析】【答案】212、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】13、略

【分析】解：因为方程8-x=lgx的解就是函数f(x)=8-x-lgx的零点；

又因为f(1)=7＞0；g(2)=6-lg2＞0f(3)=5-lg3＞0，f(4)=4-lg4＞0，f(5)=3-lg5＞0，f(6)=2-lg6＞0；

f(7)=1-lg7＞0；f(8)=-lg8＜0．

故方程的根在区间(7；8)内，即k=7．

故答案为：7．【解析】714、略

【分析】解：sin17°•cos43°+sin73°•sin43°

=sin17°•cos43°+cos17°•sin43°

=sin（17°+43°）

=sin60°

=．

故答案为：．

由诱导公式；两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．

本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【解析】15、略

【分析】解：函数y=f(x)

是R

上的增函数；且f(m+3)鈮�f(5)

故m+3鈮�5

解得：m鈮�2

故答案为：(鈭�隆脼,2]

．

根据增函数的性质：函数值大；自变量也越大，去掉符号“f

”，即可求m

的取值范围．

若函数y=f(x)

单调递增，则f(x1)<f(x2)?x1<x2

把抽象函数问题转化为函数不等式或方程求解，但无论如何都必须在定义域给定的范围内进行．【解析】(鈭�隆脼,2]

三、作图题(共9题，共18分)16、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．17、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．18、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可19、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．20、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．21、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．22、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。23、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．24、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、证明题(共4题，共12分)25、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．26、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=27、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．28、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．五、计算题(共1题，共8分)29、略

【分析】【分析】此题根据平行线分线段成比例定理写出比例式，再根据等式的性质，进行相加，得到和已知条件有关的线段的和，再代入计算．【解析】【解答】解：∵AB∥EF∥CD；

∴①

②

①+②；得

③

由③中取适合已知条件的比例式；

得

将已知条件代入比例式中，得

∴CF=80．六、解答题(共4题，共12分)30、略

【分析】

由题意知：

（I）∵A={1，2，，2n-1，}，A∪B中的元素按从小到大的顺序记为{cn}，且cn=n，n∈N*；

∵若cn=n；因为5，6，7∉A，则5，6，7∈B

∴等差数列{bn}的公差为1，并且3是数列{bn}中的项；因此，3只可能是数列{bn}中的第1；2，3项；

当b1=3时，则bn=n+2；

当b2=3，则bn=n+1；

当b3=3，则bn=n．

（II）（i）因为A={1，2，，2n-1，}，A∪B中的元素按从小到大的顺序记为{cn}；

对集合{cn}中的元素2进行分类讨论：

①当c2=2时，由{cn}的前5项成等比数列，得c4=23=8=c9；显然不成立；

②当c3=2时，由{cn}的前5项成等比数列，得b12=2，∴b1=

因此数列{cn}的前5项分别为1，2，24；

这样bn=n，则数列{cn}的前9项分别为1，2，24，3458；上述数列符合要求；

③当ck=2（k≥4）时，有b2-b1＜2-1，即数列{bn}的公差d＜1；

∴b6=b1+5d＜2+5=7，1，2，4＜c9；

∴1，2，4在数列{cn}的前8项中，由于A∩B=∅，这样，b1，b2，，b6以及1；2，4共9项；

它们均小于8，即数列{cn}的前9项均小于8，这与c9=8矛盾；所以也不成立；

综上所述，bn=n；

其次，当n≤4时，=＞=＜=＞

当n≥7时，cn≥4因为{bn}是公差为的等差数列，所以cn+1-cn≤

所以==1+≤1+=此时的n不符合要求．

所以符合要求的n一共有5个．

（ii）证明：由（i）知，数列{cn}是A∪B中的元素按从小到大的顺序排列所得：

即1，2，24，3458，；

对于正整数对（m，n），当m≠n时，有cm≠cn；

∴|cn+1+cm-cn-cm+1|＞0；