第04讲-空间直线、平面的垂直(精讲)(原卷版)

第04讲空间直线、平面的垂直目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 5第三部分：高频考点一遍过 6高频考点一：直线与直线垂直 6高频考点二：直线与平面垂直 8角度1：判断线面垂直 8角度2：证明线面垂直 9角度3：补全线面垂直的条件 10高频考点三：线面垂直的性质 14高频考点四：平面与平面垂直 16角度1：判断面面垂直 16角度2：证明面面垂直 17角度3：补全面面垂直的条件 18高频考点五：面面垂直的性质 22高频考点六：直线与平面所成角（传统法） 24高频考点七：二面角（传统法） 26第一部分：知识点必背知识点一：直线与平面垂直1、直线和平面垂直的定义如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.符号语言：对于任意，都有.2、直线和平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.简记：线线垂直线面垂直符号语言：，，，，3、直线和平面垂直的性质定理3.1定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线.符合语言：，.3.2性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.符合语言：，知识点二：直线与平面所成角1、直线与平面所成角定义如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.说明：①为斜线②与的交点为斜足③直线为在平面上的射影④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：⑥直线与平面所成角取值范围：.2、直线与平面所成角的求解步骤①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；③算：一般借助三角形的相关知识计算.知识点三：二面角1、二面角定义（1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．（2）符号语言：①二面角.②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.2、二面角的平面角（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）说明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.3、二面角的平面角的取值范围：4、二面角平面角求法（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.（2）三垂线定理及其逆定理①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法知识点四：平面与平面垂直1、平面与平面垂直的定义（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.（2）符号语言:（3）图形语言2、平面与平面垂直的判定（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)（2）符号（图形）语言:，3、平面与平面垂直的性质定理（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)符号（图形）语言：，，.第二部分：高考真题回归1．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国（乙卷理）·统考高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（

）A． B． C． D．3．（多选）（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为4．（2023·全国（甲卷理）·统考高考真题）在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)求证：；(2)若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．5．（2023·全国（乙卷理）·统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：直线与直线垂直典型例题例题1．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在正三棱柱中，为棱的中点，.求证：.例题2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知正方体.（1）求与所成角的大小；（2）若，分别为棱，的中点，求证：.练透核心考点1．（2023春·高二课时练习）如图，平面，四边形是矩形，，点是的中点，点在边上移动.

(1)当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；(2)证明：无论点E在边BC的何处，都有.2．（2023春·广东广州·高一广州市第七中学校考期中）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E，F分别的中点，且．(1)求证：平面；(2)求证：．高频考点二：直线与平面垂直角度1：判断线面垂直典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（

）A．，，， B．，C．， D．，例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，圆柱中，是侧面的母线，是底面的直径，是底面圆上一点，则（

）

A．平面 B．平面C．平面 D．平面

角度2：证明线面垂直典型例题例题1．（2023春·陕西延安·高一陕西延安中学校考期中）在四面体中，四边形是矩形，且.(1)证明：平面；(2)证明：平面.例题2．（2023春·高一课时练习）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，，，分别是，，的中点．(1)求证：平面；(2)设，求三棱锥的体积．角度3：补全线面垂直的条件典型例题例题1．（2023春·全国·高一专题练习）已知平面，则四边形满足______时，有．（试写出一个满足的条件）例题2．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四边形为矩形，平面，，分别是，的中点．(1)求证：平面；(2)试确定当中与满足什么关系时，平面？并说明理由．例题3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，是的中点．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离；(3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．考点二练透核心考点1．（多选）（2023春·高一课时练习）设l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则2．（2023春·全国·高一期中）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若，，，则3．（2023·全国·高一专题练习）已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（

）A． B．C． D．4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．

(1)求三棱锥的体积；(2)若，且为锐角，求证：平面．5．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．(1)求证：平面；(2)求点D到平面ABE的距离．6．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．7．（2023春·全国·高一专题练习）若图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中点.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.高频考点三：线面垂直的性质典型例题例题1．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，，，点是的中点.求证：(1)平面；(2).例题2．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在四棱锥中，面，，，，，，是的中点．(1)求异面直线与所成角的正切值；(2)求证：．练透核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：.

2．（2023·全国·高一专题练习）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：平面；(2)求证：平面.3．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．(1)求证：平面AMB//平面DNC；(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC．高频考点四：平面与平面垂直角度1：判断面面垂直典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）在四棱锥中，⊥底面，且为正方形，则此四棱锥表面中互相垂直的面有（

）A．6对 B．5对 C．4对 D．3对例题2．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是（）A．平面平面 B．C．平面平面 D．平面例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC角度2：证明面面垂直典型例题例题1．（2023春·全国·高一专题练习）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.(1)证明：平面平面.(2)求四棱锥的体积.例题2．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，，平面平面，，分别为棱，的中点，．(1)求证：平面平面；(2)若，求几何体的体积．角度3：补全面面垂直的条件典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

例题2．（2023·高一课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在的平面垂直于底面．(1)若为边的中点，求证：平面；(2)求证：；(3)求二面角的大小；(4)若为边的中点，能否在棱上找一点，使得平面平面？并证明你的结论．例题4．（2023·全国·高一专题练习）如图示，边长为4的正方形与正三角形所在平面互相垂直，、分别是，的中点．(1)求证：面；(2)求多面体的体积；(3)试问：在线段上是否存在一点，使面面？若存在，指出的位置，若不存在，请说明理由．考点四练透核心考点1．（2023·北京东城·高三专题练习）设l是直线，，是两个不同的平面（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则2．（2023春·全国·高一专题练习）在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD中点，下列叙述正确的是（）A．CE∥平面PAB B．CE⊥平面PADC．平面PBC⊥平面PAB D．平面PBD⊥平面PAC3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，已知底面是菱形，且对角线与相交于点.若，求证：平面平面.

4．（2023春·全国·高一专题练习）在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．(1)证明：平面平面PBC；(2)求点C到平面PAB的距离．5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足条件①，②，③中的______时，平面平面（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.6．（2022春·高一单元测试）已知中，，，平面，，、分别是、上的动点，且.（1）求证：不论为何值，总有平面平面；（2）为何值时，平面平面？7．（2022·高一课时练习）如图，四边形为正方形，若平面，，，．(1)在线段上是否存在点，使平面平面，请说明理由；(2)求多面体的体积．高频考点五：面面垂直的性质典型例题例题1．（2023·四川成都·川大附中校考模拟预测）如图所示多面体中，平面平面，平面，是正三角形，四边形是菱形，，，

(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，且，是的中点．求证：平面；练透核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面，求证：.

2．（2023·全国·高一专题练习）如图甲，已知在长方形中，，，M为DC的中点.将沿折起，如图乙，使得平面平面，求证：平面.

3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.

(1)求证：平面高频考点六：直线与平面所成角（传统法）典型例题例题1．（2023春·北京·高一北京工业大学附属中学校考期中）如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角_________．

例题2．（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，.(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的余弦值.例题3．（2023春·湖南·高一校联考阶段练习）如图，已知是边长为的等边三角形，、分别是、的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥.(1)若，证明：平面平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.练透核心考点1．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.

(1)求证平面.；(2)求与平面所成角的大小．2．（2023春