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文档简介

第六节第一型线积分第一型面积分第一型线积分与面积分我们将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形。曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分（第一型线积分）对坐标的曲线积分（第二型线积分）对面积的曲面积分（第一型面积分）对坐标的曲面积分（第二型面积分）本节讨论：1.引例:曲线形构件的质量分割求和取极限近似值精确值一、对弧长的曲线积分的概念

一曲线形构件在xoy平面内所占位置是一段曲线弧L，L上任一点处的线密度ρ(x,y)在L上连续.计算此构件的质量.2.定义积分弧段定理

二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化求曲线积分注意:特殊情形推广:例1例2.计算曲线积分

其中

为螺旋线的一段弧.三、几何与物理意义三、对面积的曲面积分的概念引例:求具有连续面密度的曲面形构件的质量.类似求平面薄板质量的思想,采用可得

“大化小,常代变,近似和,求极限”

的方法,其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).定义则对面积的曲面积分存在.即在光滑曲面

上连续,定理•对积分域的可加性.则有•线性性质.对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面四、对面积的曲面积分的计算法

1.曲面面积的计算则2.对面积的曲面积分的计算法

定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有则曲面积分定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有则曲面积分则例1.

计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:例2.

计算其中

是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示

在平面

1:x=0

2:y=0

3:z=0

4:x+y+z=1例3.计算其中

是介于平面之间

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