第1讲数列的概念及简单表示法教材课程

第1讲数列的概念及简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.

1．数列的定义按照

排列着的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类一定顺序分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数

,无穷数列项数

,按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1＞an其中n∈N＋递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列an的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…有限无限3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是

、

和

．4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子

来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．列表法图象法解析法an＝f(n)答案：C答案：A3．在数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6的值是()A．－3B．－11C．－5D．19解析：a3＝a2－a1＝5－2＝3a4＝a3－a2＝3－5＝－2a5＝a4－a3＝－2－3＝－5a6＝a5－a4＝－5＋2＝－3.答案：A4．(2010·安徽卷)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64解析：a8＝S8－S7＝82－72＝(8＋7)(8－7)＝15.答案：A5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为an＝________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．解析：当n≥2时，Sn－Sn－1＝2n－11，n＝1时也符合，则an＝2n－11，∴nan＝2n2－11n＝2

且n∈N*，故n＝3时，nan最小．

答案：2n－113考向一由数列的前几项写数列的通项公式【例1】写出下面各数列的一个通项公式：(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，反思感悟：善于总结，养成习惯根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．答案：D考向二由数列的递推关系求通项公式【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an.累乘可得：an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1.反思感悟：善于总结，养成习惯已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解．迁移发散2．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)在数列{an}中，an＋1＝3a，a1＝3；(2)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝；(3)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1；(4)在数列{an}中，a1＝8，a2＝2，且满足an＋2－4an＋1＋3an＝0.解：(1)由已知an＞0，在递推关系式两边取对数．有lgan＋1＝2lgan＋lg3，令bn＝lgan，则bn＋1＝2bn＋lg3，∴bn＋1＋lg3＝2(bn＋lg3)，∴{bn＋lg3}是等比数列，∴bn＋lg3＝2n－1·2lg3＝2nlg3，∴bn＝2nlg3－lg3＝(2n－1)lg3＝lgan∴an＝32n－1.

(3)由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列，∴an－n＝(a1－1)4n－1，∴an＝4n－1＋n.(4)将an＋2－4an＋1＋3an＝0变形为an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，则数列{an＋1－an}是以a2－a1＝－6为首项，3为公比的等比数列，则an＋1－an＝－6·3n－1，利用累加法可得an＝11－3n.考向三由数列的Sn与an的关系求通项公式【例3】(2010·临沂调研)已知数列的前n项和为Sn，满足log2(1＋Sn)＝n＋1，求数列的通项公式．解：∵log2(1＋Sn)＝n＋1，∴1＋Sn＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n(n≥2)．又n＝1时，a1＝3不符合上式，∴an＝反思感悟：善于总结，养成习惯数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝，此公式经常使用，应引起足够的重视．已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却是高度统一．当n≥2时求出an也适合n＝1时的情形，可直接写成an＝Sn－Sn－1，否则分段表示．迁移发散3．已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；考向四数列性质的应用【例4】已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)．(1)求{an}的通项公式；(2)令Tn＝nSn，问是否存在正整数m，对一切正整数n，总有Tn≤Tm，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：(1)令n＝1，由a1＝2，及nan＋1＝Sn＋n(n＋1)①得a2＝4，故a2－a1＝2当n≥2时，有(n－1)an＝Sn－1＋n(n－1)②①－②得nan＋1－(n－1)an＝an＋2n.整理得an＋1－an＝2(n≥2)．当n＝1时，a2－a1＝2，∴数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列，∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)由(1)得Sn＝n(n＋1)，反思感悟：善于总结，养成习惯1．数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应用，以及转化思想也是解题的常用方法．2．数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图象等方法．迁移发散4．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)．(1)求{an}的通项公式；(2)当n为何值时，Sn达到最大？最大值是多少？解：(1)n＝1时，a1＝S1＝23.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋24n＋(n－1)2－24(n－1)＝－2n＋25.经验证，a1＝23符合an＝－2n＋25，∴an＝－2n＋25(n∈N*)(2)∵Sn＝－n2＋24n，∴n＝12时，Sn最大且Sn＝144.课堂总结感悟提升1．用归纳法据前几项写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维方法，需要我们有一定的数学观察能力和分析能力，并熟知一些常见的数列的通项公式，如：数列{n2}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{2n－1}．2．对于符