高考数学总复习《函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性》专项测试卷（含答案）

第第页高考数学总复习《函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性》专项测试卷（含答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【知识点1函数的单调性与最值的求法】1.求函数的单调区间求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.3.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.4.复杂函数求最值：对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【知识点2函数的奇偶性及其应用】1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.2.函数奇偶性的应用(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；(4)若f(x+a)=，则T=2a；(5)若f(x+a)=，则T=2a；(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);2．对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数f(x)=x2−4|x|+3A．(−∞,−2) B．(−C．(−2,2) D．(−2,0)和(2,+【变式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中校考期中）“函数fx在区间1,2上不是增函数”的一个充要条件是（

A．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fB．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fC．“存在a∈1,2，使得fD．“存在a∈1,2，使得f【变式1-2】（2022·江西·校联考二模）已知函数fx=x2−2,x≥0,x+3,x<0,若A．18,+∞C．12,+∞【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠xA．y=f(x)+x是增函数 B．y=f(x)+x是减函数C．y=f(x)是增函数 D．y=f(x)是减函数【题型2利用函数的单调性求参数】【例2】（2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习）已知函数fx=−x2+2ax+4,x⩽1,1A．−1,−12 C．−1,−12 【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知fx是定义在R上的单调函数，∀x∈R,ffx−xA．114 B．116 C．134 D．136【变式2-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题p:fx=x2+ax−8,−1≤x≤1−a+4x−3a,x<−1在x∈(−∞,1]上为增函数，命题q:g(x)=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2-3】（2023·北京丰台·统考一模）已知函数fx的定义域为R，存在常数tt>0，使得对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，当x∈0,t时，f(x)=x−t2．若fxA．3 B．83 C．2 D．【题型3利用函数的单调性求最值】【例3】（2023·江西九江·校考模拟预测）若0<x<6，则6x−x2有（A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9【变式3-1】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数fx=x−2x,gx=ax+2,x∈R，用Mx表示fA．0 B．±12 C．±2【变式3-2】（2023下·山东青岛·高一统考开学考试）已知x>0，y>0，S=2xy4xA．S的最大值是910 B．S的最大值是C．S的最大值是32 D．S的最大值是【变式3-3】（2023上·浙江·高三校联考期中）已知函数fx的定义域为R+，对于任意的x，y∈R+，都有fx+fy=fxy+1，当x>1时，都有A．5 B．6 C．8 D．12【题型4函数的奇偶性及其应用】【例4】（2023·河南开封·统考模拟预测）函数f(x)满足f(x)=2x−1x−2，则下列函数中为奇函数的是（A．f(x+1)−2 B．f(x+2)−2 C．f(x−2)+2 D．f(x+1)+2【变式4-1】（2023·湖南·校联考模拟预测）设函数fx的定义域为R，且fx+1是奇函数，f2x+3A．f0=0 B．f4=0 C．【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=x2−ax+a−1，则满足A．−∞,−1∪0,1 B．−1,1 C．【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=lnx2+1+x+2xA．fxB．fxC．fD．g【题型5函数的对称性及其应用】【例5】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数fx=xA．fx是偶函数 B．fC．fx的图象关于直线x=3对称 D．fx的图象关于点【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足对任意实数x有fx+2=fx+1−fx，若y=f2x的图象关于直线x=A．2 B．1 C．−1 D．−2【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数y=fx满足fa+x+f(a−x)=2b，则说y=fx的图象关于点a,b对称，则函数A．(−1011,2022) B．1011,2022 C．(−1012,2023) D．1012,2023【变式5-3】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，fx−1的图象关于点(1,0)对称，f3=0，且对任意的x1,x2∈−A．−∞,1∪C．−4,−1∪1,2 【题型6函数的周期性及其应用】【例6】（2023·全国·模拟预测）已知fx+1=1−fxa+fx.若A．2 B．1 C．−1 D．−2【变式6-1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，对任意的x,y∈R，恒有A．f0=1 B．C．fx+f0≥0 【变式6-2】（2023·天津河西·统考三模）已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x+1)=−f(x)，且x∈[0,1)时；f(x)=log2(x+1)，给出下列命题：①f(2013)+f(−2014)=0；②函数f(x)在定义域R上是周期为2的周期函数；③直线y=x与函数y=f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(−1,1)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式6-3】（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数fx,gx的定义域为R,gx的图像关于x=1对称，且g①g(−3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=−4；④n=12024A．1 B．2 C．3 D．4【题型7利用函数的性质比较大小】【例7】（2023上·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足f1+x=f1−x，且∀x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【变式7-1】（2022·全国·高一专题练习）定义在R上函数y=fx满足以下条件：①函数y=fx图象关于x=1轴对称，②对任意x1,x2∈(−∞,1]，当x1≠A．f32>fC．f32>f【变式7-2】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）已知函数fx是偶函数，当0≤x1<x2时，fx2−fx1x2−xA．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【变式7-3】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）定义在R上的函数fx满足：fx−1=−1fx+1成立且fx在−2,0上单调递增，设a=f6，b=f22，A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a【题型8利用函数的性质解不等式】【例8】（2023上·广东广州·高一校考期中）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，且x≥0时，f(x)=x−1x+1+2，则不等式xf(x)<0A．(−∞,0) C．1−52,0【变式8-1】（2023上·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意0<x1<x2，均有x2A．−∞,−3∪C．−3,0∪0,3 【变式8-2】（2022上·辽宁·高一校联考期中）已知函数fx=2ax+bx2(1)确定函数fx(2)当x∈−1,1时,判断函数f(3)解不等式f2x+1【变式8-3】（2023上·河南·高一校联考阶段练习）已知fx是定义在−2,2上的奇函数，满足f−2=−4，且当m,n∈(1)判断函数fx(2)解不等式：f5x−1(3)若fx≤2at3−t+4【题型9函数性质的综合应用】【例9】（2022上·江苏苏州·高一校考期中）已知奇函数fx和偶函数gx(1)求fx和g(2)判断并证明gx在0,+(3)若对于任意的x1∈1,2，存在x2∈【变式9-1】（2023上·湖南株洲·高一校考期中）已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=φ(a+x)−b是奇函数，给定函数f(x)=x−6(1)求函数fx(2)判断fx在区间(0,+(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2−mx+m.若对任意x1∈[0,2]，总存在x【变式9-2】（2023上·浙江湖州·高一统考阶段练习）我们知道，函数y=fx的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=fx的图象关于点P(1)求函数fx(2)若函数y=fx的图象关于点Pa,b对称，证明：(3)已知函数f(x)=x−e22+lnecxe2−x，其中c>0【变式9-3】（2023上·江苏无锡·高一校考期中）设a∈R，函数f(x)=ex+a（1）若a=1，求证：函数f(x)为奇函数；（2）若a<0．①判断并证明函数f(x)的单调性；②若存在x∈[1，2]，使得f(x2+2ax)>f(4−1．（2023·全国·统考高考真题）若fx=x+aln2x−1A．−1 B．0 C．12 2．（2022·天津·统考高考真题）函数fx=xA． B．C． D．3．（2021·全国·统考高考真题）设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（A．fx−1−1 B．fx−1+1 C．4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（A．−3 B．−2 C．0 D．15．（2021·全国·统考高考真题）已知函数fx的定义域为R，fx+2为偶函数，f2x+1A．f−12=0 B．f−1=06．（2021·全国·高考真题）设fx是定义域为R的奇函数，且f1+x=f−x.若f−A．−53 B．−13 C．7．（2020·山东·统考高考真题）已知函数fx的定义域是R，若对于任意两个不相等的实数x1，x2，总有fx2A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数8．（2020·山东·统考高考真题）若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（

）A．[−1,1]∪[3,+∞) B．[−3,−1]∪[0,1]C．[−1,0]∪[1,+∞) D．[−1,0]∪[1,3]9．（2021·全国·统考高考真题）设函数fx的定义域为R，fx+1为奇函数，fx+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+bA．−94 B．−32 C．10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122fkA．−21 B．−22 C．−23 D．−24参考答案【题型1函数单调性的判断及单调区间的求解】【例1】（2023·海南海口·统考模拟预测）函数f(x)=x2−4|x|+3的单调递减区间是（

）A．(−∞,−2) B．(−C．(−2,2) D．(−2,0)和(2,+【解题思路】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求【解答过程】fx则由二次函数的性质知，当 x≥0时，y=x2当x<0，y=x2+4x+3=故fx的单调递减区间是(−∞,−2)故选：B.【变式1-1】（2023上·北京海淀·高一人大附中校考期中）“函数fx在区间1,2上不是增函数”的一个充要条件是（

A．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fB．“存在a，b∈1,2，使得a<b且fC．“存在a∈1,2，使得fD．“存在a∈1,2，使得f【解题思路】由增函数的定义，结合全称命题的否定形式，即可判断选项.【解答过程】若函数fx在区间1,2即任意a,b∈1,2，使得a<b且f则若函数fx在区间1,2即存在a,b∈1,2，使得a<b且f故选：B.【变式1-2】（2022·江西·校联考二模）已知函数fx=x2−2,x≥0,x+3,x<0,若A．18,+∞C．12,+∞【解题思路】先根据题目条件求出a的值，再根据二次函数的性质求出g(x)的单调递增区间【解答过程】解：依题意，a+3=a+32−2,a<0≤a+3,解得a＝－1，故gx故选：D.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠xA．y=f(x)+x是增函数 B．y=f(x)+x是减函数C．y=f(x)是增函数 D．y=f(x)是减函数【解题思路】对题中条件fx1−f【解答过程】不妨令x1<∵f令g(x)=f(x)+x，∴g(x1又x1<x故选:A.【题型2利用函数的单调性求参数】【例2】（2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习）已知函数fx=−x2+2ax+4,x⩽1,1A．−1,−12 C．−1,−12 【解题思路】首先分析知，x>1，函数单调递减，则x⩽1也应为减函数，同时注意分界点处的纵坐标大小关系即可列出不等式组，解出即可.【解答过程】显然当x>1时，fx=当x⩽1时，fx=−x2若fx是−12,+∞故选：A.【变式2-1】（2023·山西·校考模拟预测）已知fx是定义在R上的单调函数，∀x∈R,ffx−xA．114 B．116 C．134 D．136【解题思路】借助换元思想即可解答.【解答过程】由题意可知fx设fx−x因为ff所以ft因为ft=t3+3t−1所以t=2，所以fx则f5故选：D.【变式2-2】（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）命题p:fx=x2+ax−8,−1≤x≤1−a+4x−3a,x<−1在x∈(−∞,1]上为增函数，命题q:g(x)=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】求出命题p,q中a的范围，根据充分条件，必要条件的概念判断.【解答过程】若fx=x则−a2≤−1g(x)=a2x−4x−2=a2(x−2)+2a因为“3≤a<4”能推出“a>2或a<−所以命题q是命题p的必要不充分条件，故选：B．【变式2-3】（2023·北京丰台·统考一模）已知函数fx的定义域为R，存在常数tt>0，使得对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)，当x∈0,t时，f(x)=x−t2．若fxA．3 B．83 C．2 D．【解题思路】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.【解答过程】因为存在常数tt>0，使得对任意x∈R，都有f(x+t)=f(x)所以函数的周期为t，当x∈0,t时，函数f(x)=x−t所以当x≥0时，函数f(x)=x−t2因为fx在区间3,4所以有nt≤32n+1故选：B.【题型3利用函数的单调性求最值】【例3】（2023·江西九江·校考模拟预测）若0<x<6，则6x−x2有（A．最小值3 B．最大值3 C．最小值9 D．最大值9【解题思路】根据二次函数的性质进行求解即可.【解答过程】令y=6x−x2=−因为0<x<6，所以当x=3时，6x−x故选：D.【变式3-1】（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数fx=x−2x,gx=ax+2,x∈R，用Mx表示fA．0 B．±12 C．±2【解题思路】画出fx=x−2x的图象，分a=0，a>0【解答过程】令ℎx=x−2x，定义域为−∞且在−∞画出函数图象如下：

则fx

若a=0，则gx=2，画出

显然最小值为2，不合题意，若a>0，则画出Mx

显然函数在A点取得最小值，令2x−x=1，解得令−2a+2=1，解得a=1若a<0，则画出Mx

显然函数在B点取得最小值，令x−2x=1令2a+2=1，解得a=−1综上，a=±1故选：B.【变式3-2】（2023下·山东青岛·高一统考开学考试）已知x>0，y>0，S=2xy4xA．S的最大值是910 B．S的最大值是C．S的最大值是32 D．S的最大值是【解题思路】根据题意整理得S=32xy+yx2x【解答过程】∵S=2xy令t=2x∵x>0，y>0，则t=2xy+yx故t∈22,+又∵ft=t+1t在∴S=3t+1t≤故选：B.【变式3-3】（2023上·浙江·高三校联考期中）已知函数fx的定义域为R+，对于任意的x，y∈R+，都有fx+fy=fxy+1，当x>1时，都有A．5 B．6 C．8 D．12【解题思路】找到函数值特殊的点，得到部分特殊函数值，利用给定的抽象函数定义求出端点值后，判断函数单调性即可求出最大值即可.【解答过程】令x=y=1，则f1故f4=3，且令x=x1，y=设x2>x1则fx1<fx2∴fx的最大值是故选：A.【题型4函数的奇偶性及其应用】【例4】（2023·河南开封·统考模拟预测）函数f(x)满足f(x)=2x−1x−2，则下列函数中为奇函数的是（A．f(x+1)−2 B．f(x+2)−2 C．f(x−2)+2 D．f(x+1)+2【解题思路】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.【解答过程】A：f(x+1)−2=2x+1x−1−2=B：f(x+2)−2=2x+3x−2=3xC：f(x−2)+2=2x−5x−4+2=D：f(x+1)+2=2x+1x−1+2=故选：B.【变式4-1】（2023·湖南·校联考模拟预测）设函数fx的定义域为R，且fx+1是奇函数，f2x+3A．f0=0 B．f4=0 C．【解题思路】由奇函数、偶函数的性质求解即可.【解答过程】因为fx+1是奇函数，所以f−x+1=−f又f2x+3是偶函数，所以f−2x+3=f故选：C.【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=x2−ax+a−1，则满足A．−∞,−1∪0,1 B．−1,1 C．【解题思路】先通过函数为奇函数求出a，再通过求解二次不等式以及奇函数的对称性得答案.【解答过程】依题意fx是奇函数，所以f0=a−1=0则fx=x当x≥0时，令fx≥0，解得x≥1根据对称性，当−1≤x<0时，fx故满足fx≥0的x的取值范围是故选：C．【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=lnx2+1+x+2xA．fxB．fxC．fD．g【解题思路】利用函数的奇偶性的定义判断选项A，B；利用函数的单调性判断选项C，D.【解答过程】易知函数fx,gx的定义域均为R．当x≥0时，易知函数f又f−x+fx易知f0=0，所以函数fx因为gx是定义在R上的偶函数，且在−∞,0上单调递增，所以g选项A：因为f−x⋅g选项B：因为f−x⋅g−x选项C：因为g2023>g2024选项D：因为0=f0<f2023故选：D.【题型5函数的对称性及其应用】【例5】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数fx=xA．fx是偶函数 B．fC．fx的图象关于直线x=3对称 D．fx的图象关于点【解题思路】对AB，根据f−x=x【解答过程】对AB，由f−x对C，易得f2=25，对D，fx=x2x−3故fx的图象关于点3,1故选：D.【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足对任意实数x有fx+2=fx+1−fx，若y=f2x的图象关于直线x=A．2 B．1 C．−1 D．−2【解题思路】由题意fx+2=fx+1−fx⇒fx+3=fx+2−fx+1⇒fx+3【解答过程】因为fx+2=fx+1从而可得fx+3=−fx，所以f因为y=f2x的图象关于直线x=所以f1−2x=f1+2x，即函数f又f1=2，所以f2=f0所以f1所以k=123f(k)=f(1)+故选：C．【变式5-2】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模）若函数y=fx满足fa+x+f(a−x)=2b，则说y=fx的图象关于点a,b对称，则函数A．(−1011,2022) B．1011,2022 C．(−1012,2023) D．1012,2023【解题思路】求出定义域，由定义域的对称中心，猜想a=−1012，计算出f(−1012+x)+f(−1012−x)=4046，从而求出对称中心.【解答过程】函数定义域为{x|x≠−1,x≠−2...定义域的对称中心为(−1012,0)，所以可猜a=−1012，则f(−1012+x)=−1012+xf(−1012−x)==1012+x故f(−1012+x)+f(−1012−x)==2×2023=4046所以y=fx的对称中心为(−1012,2023)故选：C．【变式5-3】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数f(x)的定义域为R，fx−1的图象关于点(1,0)对称，f3=0，且对任意的x1,x2∈−A．−∞,1∪C．−4,−1∪1,2 【解题思路】首先根据f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，得出(x)是定义在R上的奇函数，由对任意的x1，x2∈(−∞,0)，x1≠【解答过程】∵f(x−1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴f(x)是定义在R上的奇函数，∵对任意的x1，x2∈(−∞,0)，x1≠x2，满足f(又f3=0所以f−3所以当x∈−∞,−3∪0,3时，f所以由x−1fx+1≥0可得x−1<0,−3≤x+1≤0或解得−4≤x≤−1或1≤x≤2，即不等式x−1fx+1≥0故选：C.【题型6函数的周期性及其应用】【例6】（2023·全国·模拟预测）已知fx+1=1−fxa+fx.若A．2 B．1 C．−1 D．−2【解题思路】计算fx+2根据函数的周期性有fx+2=f【解答过程】因为fxf=a−1+2f所以a−1=0解得a=1.故选:B.【变式6-1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，对任意的x,y∈R，恒有A．f0=1 B．C．fx+f0≥0 【解题思路】利用赋值法求f(0)的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C；利用赋值法求得f(n)，n∈N∗的值有周期性，即可求得n=12023【解答过程】对于A，令x=y=0，则由f(x+y)+f(x−y)=2f(x)⋅f(y)可得，2f(0)=2f故f(0)=0或f(0)=1，故A错误；对于B，当f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)⋅f(0)=0，则f(x)=0，故f′(x)=0，函数令x=0，则f(y)+f(−y)=2f(0)⋅f(y)，则f′当f(0)=1时，f′(y)−f′(−y)=2综合以上可知f′(x)必为奇函数，对于C，令x=y，则f(2x)+f(0)=2f2(x)由于x∈R，令t=2x，t∈R，即f(t)+f(0)≥0，即有f(x)+f(0)≥0，故C对于D，若f(1)=12，令x=1，y=0，则f1故令x=y=1，则f(2)+f(0)=2f2(1)，即f(2)+1=12令x=2，y=1，则f(3)+f(1)=2f(2)f(1)，即f(3)+12=−令x=3，y=1，则f(4)+f(2)=2f(3)f(1)，即f(4)−12=−1，∴令x=4，y=1，则f(5)+f(3)=2f(4)f(1)，即f(5)−1=−12，∴令x=5，y=1，则f(6)+f(4)=2f(5)f(1)，即f(6)−12=令x=6，y=1，则f(7)+f(5)=2f(6)f(1)，即f(7)+12=1，∴由此可得f(n)，n∈N∗的值有周期性，且6个为一周期，且故n=12023f(n)=337×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)=1故选：A．【变式6-2】（2023·天津河西·统考三模）已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x+1)=−f(x)，且x∈[0,1)时；f(x)=log2(x+1)，给出下列命题：①f(2013)+f(−2014)=0；②函数f(x)在定义域R上是周期为2的周期函数；③直线y=x与函数y=f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(−1,1)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】由函数关系式及偶函数的性质可知f(x)在x≥0、x≤0上分别是周期为2的函数，并可写出其对应的函数解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误.【解答过程】由题设，f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，即f(x)是周期为2的函数，令1≤x<2，则0≤x−1<1，而x∈[0,1)时；f(x)=log∴f(x)=−f(x−1)=−log∴综上：f(x)={log2(x+1),0≤x<1∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴在x≤0上周期为2且f(x)={log①f(2013)+f(−2014)=f(2013)+f(2014)=f(1)+f(0)=0，正确；②函数f(x)在定义域R上是周期为2的周期函数，错误；③直线y=x与函数y=f(x)的图象如下图示，只有1个交点，正确；④函数f(x)如下图示，其值域为(−1,1)，正确；故选：D.【变式6-3】（2023·四川宜宾·统考一模）已知函数fx,gx的定义域为R,gx的图像关于x=1对称，且g①g(−3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=−4；④n=12024A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据奇函数定义得到g−2x+2=−g2x+2【解答过程】因为g2x+2为奇函数，所以g−2x+2=−g所以gx对称中心为2,0又因为gx的图像关于x=1对称，则g所以−gx+2=gx所以gx的周期T=4①g−3②因为g1=1，g−x+2=gx所以g0=g2③因为fx=g3−x因为−gx+2=gx则f4=g−1④因为fx=g3−x+1且所以fx+4=g3−x−4+1=g3−x因为f1=g2+1=1，f2所以f1所以n=12024故选：C.【题型7利用函数的性质比较大小】【例7】（2023上·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足f1+x=f1−x，且∀x1,x2>1，x1A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】根据题意能得到函数fx关于直线x=1轴对称，且fx在【解答过程】由∀x1,x2>1，x1由f1+x=f1−x得函数f所以函数fx在−又因为22−1≈1.42−1=0.3（最远离所以f3故选：A.【变式7-1】（2022·全国·高一专题练习）定义在R上函数y=fx满足以下条件：①函数y=fx图象关于x=1轴对称，②对任意x1,x2∈(−∞,1]，当x1≠A．f32>fC．f32>f【解题思路】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．【解答过程】∵函数y=fx图象关于x=1对称，且对任意x当x1≠x∴y=fx在−∞,1f0∵3>2>32>1∴f3故选：B．【变式7-2】（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）已知函数fx是偶函数，当0≤x1<x2时，fx2−fx1x2−xA．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．b<a<c【解题思路】先比较a1【解答过程】当0≤x1<可知函数fx在0,+又因为函数fx所以b=f−设a1=5所以a1<b所以b1<c又因为函数fx在0,+所以a<b<c.故选：A.【变式7-3】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）定义在R上的函数fx满足：fx−1=−1fx+1成立且fx在−2,0上单调递增，设a=f6，b=f22，A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a【解题思路】由fx−1=−1fx+1，可得函数f【解答过程】由题意，fx−1=−∴f∴fx=f(x+4)，可得函数f∴a=f6=f(−2)，b=f由于fx在−2,0∴f(−2)<f(2即∴a<b<c故选：D.【题型8利用函数的性质解不等式】【例8】（2023上·广东广州·高一校考期中）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，且x≥0时，f(x)=x−1x+1+2，则不等式xf(x)<0A．(−∞,0) C．1−52,0【解题思路】根据f(x)+f(−x)=2可知函数关于0,1对称，并求出x<0时函数f(x)的解析式，画出大致图象，然后结合图象得到xf(x)<0的解集.【解答过程】定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，所以f(x)关于0,1对称，当x≥0时，f(x)=x−1x+1+2，因为y=x在0,+∞上单调递增,y=−1x+1在0,+∞上单调递增,所以f(x)=x−1x+1因为f(x)+f(−x)=2，当x<0，即−x>0时，fx令fx=x2−x−1所以画出fx

由图象知，当x∈1−52,+∞时，fx>0，当x∈所以，当x∈0,+∞时，xfx>0，当当x∈−∞,1−52时，xfx所以不等式xf(x)<0的解集为1−5故选：C.【变式8-1】（2023上·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意0<x1<x2，均有x2A．−∞,−3∪C．−3,0∪0,3 【解题思路】根据题意，构造函数gx=fxxx≠0，由题可知gx在0,+∞上单调递增，结合fx【解答过程】因为0<x1<x2设函数gx则函数gx=fxx当x>0时，不等式fx−x>0等价于即gx=fxx当x=0时，f0−0=0，不满足因为fx是定义在R所以gx=fxx当x<0时，不等式fx−x>0等价于即gx=fxx综上，不等式fx−x>0的解集为故选：D.【变式8-2】（2022上·辽宁·高一校联考期中）已知函数fx=2ax+bx2(1)确定函数fx(2)当x∈−1,1时,判断函数f(3)解不等式f2x+1【解题思路】(1)根据奇函数可得f0=0,结合f1(2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可.(3)将f12x移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为f2x+1<f【解答过程】（1）解:由题意可知fx∴f0即ba=0,∵f12=∴fx（2）当x∈−1,1时,函数f证明如下:设x1,x2为∴f=2∵x∴x∴fx故函数fx在−1,1（3）∵f2x+1∴f2x+1∵fx∴f2x+1∵当x∈−1,1时,函数f∴−1<2x+1<1∴−1<x<−2∴不等式的解集为−1,−2【变式8-3】（2023上·河南·高一校联考阶段练习）已知fx是定义在−2,2上的奇函数，满足f−2=−4，且当m,n∈(1)判断函数fx(2)解不等式：f5x−1(3)若fx≤2at3−t+4【解题思路】（1）根据函数单调性的知识判断出函数fx在−2,2（2）根据函数的定义域、单调性求得不等式的解集.（3）先求得fx的最大值，然后利用转换主参变量的方法，列不等式来求得t【解答过程】（1）fx为奇函数，所以f则由f−m−f−nm−n<0当n>m时，f(n)>f(m)，函数fx在−2,2当m>n时，f(m)>f(n)，函数fx在−2,2综上，函数fx在−2,2（2）由（1）知函数fx为−2,2则5x−1>x+1解得12<x≤3（3）因为f−2=−4，所以若fx≤2at则f(x)max≤2a所以4≤2at3−t+4对a∈−2,2恒成立，即令ga则g−2≥0g2≥0即t4t2故实数t的取值范围是−1【题型9函数性质的综合应用】【例9】（2022上·江苏苏州·高一校考期中）已知奇函数fx和偶函数gx(1)求fx和g(2)判断并证明gx在0,+(3)若对于任意的x1∈1,2，存在x2∈【解题思路】（1）根据已知条件用−x替换x，构造一个关于f−x、g（2）先判断，在利用定义法证明；（3）设A=5−g(x)|1≤x≤2，B=mf(x)|1≤x≤2，由A⊆B，列出不等式组即可求出k的范围．【解答过程】（1）由奇函数fx和偶函数gf−x=−fx因为fx用−x替换x得故f−x+g−x联立解得，fx=（2）gx在0,+取∀所以g(====因为x所以2x1所以g(所以gx在0,+（3）设A=5−g(x)|1≤x≤2令2x=t∈2,4，则易知y=t+1t故gxmin=故A=23设B=mf(x)|1≤x≤2令2x=t∈2,4，则易知y=t−1t故fxmin则x∈1,2时，若对于任意的x1∈1,使得gx1+mfx则A⊆B，则显然m>0，则B=34则238则34m≤23【变式9-1】（2023上·湖南株洲·高一校考期中）已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=φ(a+x)−b是奇函数，给定函数f(x)=x−6(1)求函数fx(2)判断fx在区间(0,+(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，g(x)=x2−mx+m.若对任意x1∈[0,2]，总存在x【解题思路】（1）根据题意，得到f(a+x)+f(a−x)−2b=0，列出方程组，即可求解；（2）根据函数单调性的定义与判定方法，即可求解；（3）根据题意，转化为函数gx的值域为fx值域的子集，由（2）求得fx的值域为[−2,4]，转化为A⊆[−2,4]，分m2≤0【解答过程】（1）解：设函数fx的图象的对称中心为(a,b)，则f(a+x)+f(a−x)−2b=0即(x+a)−6整理得(a−b)x可得a−b=0(a−b)(a+1)2所以fx的对称中心为(−1,−1)（2）解：函数f(x)=x−6x+1在证明如下：任取x1,x则f(x因为x1,x2∈(0,+∞)所以f(x1)−f(所以函数f(x)=x−6x+1在（3）解：由对任意x1∈[0,2]，总存在x2可得函数gx的值域为f由（2）知fx在[1,5]上单调递增，故fx的值域为所以原问题转化为gx在[0,2]上的值域A⊆[−2,4]当m2≤0时，即m≤0时，g(x)在又由g(1)=1，即函数g(x)=x2−mx+m可知gx在(1,2]上亦单调递增，故gx在又因为g(0)=m，g(2)=2−g(0)=2−m，故A=[m,2−m]，因为[m,2−m]⊆[−2,4]，所以m≥−2，2−m≤4，解得−2≤m≤0，当0<m2<1时，即0<m<2时，gx在因为gx过对称中心(1,1)，故gx在(1,2−m故此时A=min欲使A⊆[−2,4]，只需g(2)=2−g(0)=2−m≥−2g(m2解不等式，可得2−23≤m≤4，又因为0<m<2，此时当m2≥1时，即m≥2时，g(x)在[0,1]递减，在由对称性知g(x)在[0,2]上递减，所以A=[2−m,m]，因为[2−m,m]⊆[−2,4]，所以2−m≥−2m≤4，解得2≤m≤4综上可得：实数m的取值范围是[−2,4].【变式9-2】（2023上·浙江湖州·高一统考阶段练习）我们知道，函数y=fx的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=fx的图象关于点P(1)求函数fx(2)若函数y=fx的图象关于点Pa,b对称，证明：(3)已知函数f(x)=x−e22+lnecxe2−x，其中c>0【解题思路】（1）令gx=fx+a−b，由gx（2）令gx=fx+a−b，由gx（3）由函数f(x)=x−e22+c+lnx−ln(f2022e22023+f【解答过程】（1）解：令gx=fx+a所以g−x=−gx所以−−x+a化简得6x2a−1解得a=1,b=2，即fx图像的对称中心为1,2（2）解：令gx=fx+a所以g−x=−gx所以f−x+a令x+a=t，则ft+f−t+2a（3）解：因为f(x)=x−e所以f−x+所以fx+f−x+e2因为ff两式相加得：2022×2c≤2022a+b，即a+b≥2c又由λ≤2ac+方法一：由a=a+2c当且仅当b=2a=2c方法二：由ab令ab则a当且仅当b=2a=2c【变式9-3】（2023上·江苏无锡·高一校考期中）设a∈R，函数f(x)=ex+a（1）若a=1，求证：函数f(x)为奇函数；（2）若a<0．①判断并证明函数f(x)的单调性；②若存在x∈[1，2]，使得f(x2+2ax)>f(4−【解题思路】（1）把a=1代入得f(x)=ex+1ex−1，且f(x)定义域为（2）①结合单调性的定义，先设x1<x2，利用作差法比较②结合命题的否定，然后结合不等式的恒成立，利用单调性进行转化，即可求解实数a的取值范围．【解答过程】解：（1）当a=1时，函数f(x)=e因为ex−1≠0，则所以f(x)定义域为{x|x≠0}，对任意x≠0，f(−x)=e所以f(x)=e（2）①当a<0时，f(x)为R上的单调增函数，证明如下：证明：a<0时，ex−a>0恒成立，故函数f(x)定义域为任取x1，x2∈R，且x因为f(x所以f(x)为R上的单调增函数.②设命题p：存在x∈[1，2]，使得f(x下面研究命题p的否定：¬p:∀x∈[1，2]，f(x若¬p为真命题，由①，f(x)为R上的单调增函数，故∀x∈[1，2]，x2设g(x)=x2+2ax+a2则a<0g(1)⩽0g(2)⩽0，解得因为p为真，则¬p为假命题，所以实数a的取值范围为(−∞,−3)．1．（2023·全国·统考高考真题）若fx=x+aln2x−1A．−1 B．0 C．12 【解题思路】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.【解答过程】因为f(x)为偶函数，则f(1)=f(−1)，∴(1+a)ln当a=0时，fx=xln2x−12x+1，2x−1则其定义域为x|x>12或f−x故此时fx故选：B.2．（2022·天津·统考高考真题）函数fx=xA． B．C． D．【解题思路】分析函数fx的定义域、奇偶性、单调性及其在−【解答过程】函数fx=x且f−x函数fx又当x<0时，fx当x>1时，fx故选：D.3．（2021·全国·统考高考真题）设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（A．fx−1−1 B．fx−1+1 C．【解题思路】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【解答过程】由题意可得f(x)=1−x对于A，fx−1对于B，fx−1对于C，fx+1对于D，fx+1故选：B.4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（A．−3 B．−2 C．0 D．1【解题思路】法一：根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f【解答过程】[方法一]：赋值加性质因为fx+y+fx−y=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所