陕西省商洛市2024届高三下学期第四次模拟检测试题 数学（文） 含解析

商洛市2024届高三第四次模拟检测数学试卷（文科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2．请将各题答案填写在答题卡上。3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，复数是复数的共轭复数，则（）A．2 B． C．1 D．2．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．3．命题“对任意的”的否定是（）A．不存在 B．存在C．存在 D．对任意的4．已知是等差数列的前项和，且满足，则（）A．65 B．55 C．45 D．355．近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初的污染物数量）．如果前3小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（）A．2.6小时 B．6小时 C．3小时 D．4小时6．已知非零向量满足，则（）A． B． C． D．7．已知点在抛物线上，抛物线的准线与轴交于点，线段的中点也在抛物线上，抛物线的焦点为，则线段的长为（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A．8 B．16 C．32 D．489．已知函数，给出的图像对应的函数解析式可能是（）A． B． C． D．10．已知函数与函数的图像的对称轴相同，给出下列结论：①的值可以为4；②的值可以为；③函数的单调递增区间为；④函数的所有零点的集合为．其中正确的为（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④11．已知是双曲线右支上的动点，是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（）A．12 B． C． D．12．已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在区间上随机取一个实数，若事件的概率为，则实数的值为______．14．曲线在点处的切线的方程为______．15．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为______．16．已知函数满足，则满足的最大正整数的值为______．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．18．（本小题满分12分）现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，第6组．如图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该校高三年级男生的平均身高；（2）求这50名男生中身高在以上（含）的人数；（3）从这50名男生身高在以上（含）的人中任意抽取2人，求该2人中身高恰有1人在（含）以上的概率．19．（本小题满分12分）在等腰梯形中，，，，，，分别为的中点（如图1），将沿折起到的位置，使得（如图2）．（1）证明：平面．（2）求到平面的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且椭圆经过点．（1）求椭圆的方程．（2）设是椭圆的右顶点，是椭圆上不同的两点，直线的斜率分别为，，且．过作，垂足为，试问是否存在定点，使得线段的长度为定值？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，若函数和的图像在上有交点，求实数的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点，以极点为原点，轴的负半轴为极轴建立平面直角坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）记线段的中点为；若恒成立，求实数的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数的最小值是．（1）求；（2）若正数满足，求证：．

商洛市2024届高三第四次模拟检测数学试题（文科）参考答案及评分意见一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．123456789101112ABCDCDCBDBCB1．A．【详解】根据复数的运算性质，可得．故选A．2．B．【详解】，解得，所以，所以．故选：B3．C．【详解】“对任意的”的否定是：存在，选C．4．D．【详解】设数列的公差为，则，．故选：D5．C．【详解】由题意可得，可得，设，，解得因此，污染物消除至最初的还需要3小时．故选：C．6．D．【详解】．所以，又，，由均为非零向量，则，且在到之间，故．故选：D．7．C．【详解】由已知是的中位线，可知，过向准线做垂线，垂足分别为，同理是的中位线，，有抛物线定义知，因此，点横坐标是该，所以，故选：C．方法二：设点，则，由已知，解得，所以，故选：C．8．B．【详解】观察可发现这个棱锥是将一个侧面摆在地面上，而棱锥的真正底面体现在正视图（梯形）中，所以，而棱锥的高为侧视图的左右间距，即，所以答案：B9．D【详解】对于，定义域为，满足，为偶函数．同理可得：为奇函数．记，则所以且，所以为非奇非偶函数；同理可证：为非奇非偶函数；和为奇函数．由图可知，图像对应函数为奇函数，且．显然选项A，B对应的函数都不是奇函数，故排除；对，为奇函数．当时，，故错误；对D，，为奇函数．当时，．故正确．故选：D．10．B．【详解】对于①，因为两函数图像的对称轴相同，且两相邻对称轴之间的距离等于周期的一半，所以两函数的周期也相同，因此，解得，故①错误；对于②，因为，所以，当时，，此时与的图像关于轴对称，则它们的对称轴相同，故②正确；对于③，令得，，故的单调递增区间为，故③正确；对于④，的所有零点满足，解得所有零点的集合为，故④错误．11．C．【详解】由双曲线定义，，当且仅当取得最小值．故选：C12．B．【详解】由题意，不等式即，进而转化为令，则，当时，，所以在上单调递增则不等式等价于恒成立因为，所以，所以对任意恒成立，即恒成立设，可得，当单调递增当单调递减．所以有最大值，于是，解得．故选：B二、填空题：本题共4小题．13．0 14． 15． 16．1213．0【详解】依题意，故事件表示，故事件概率为14．答案：【详解】，斜率为，切线为15．答案：【详解】因为的中点是球心，所以该球的半径为，所以外接球的体积为．16．答案：12【详解】，所以数列是公比为2的等比数列，则有所以所解不等式为：可解得：的最大值为12三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．答案：（1）（2）【详解】（1）在中，由正弦定理得：所以，．所以，，即，即，又，所以，所以，即（2）在中，由余弦定理得，即．，所以．18．【详解】（1）由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为，平均值为168.72，高于全市平均值168．（2）由频率分布直方图知，后2组频率为，人数为，即这50名男生身高在以上（含）的人数为6．（3）由（2）50人中以上的有6人，以上的有2人．设6人为以上的有2人为，任取2人的取法为恰有1人180以上的取法为所以所求概率为，19．（1）证明见解析；（2）．【详解】（1）连接，如图，如图1，在等腰梯形中，，为中点，为等边三角形，为的中点，即，如图2，，又平面，平面，又平面，所以四边形为菱形，，、分别为、中点，，平面平面．（2）在中，，，平面平面，在Rt中，，．平面到平面的距离为，设到平面的距离为，由可得，，点到平面的距离为20．【详解】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以，则椭圆的方程为．又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的方程为．（2）设，若直线斜率为0，不妨设，此时是方程的两根，所以，但，不满足题意；若直线斜率不为0，直线的方程为，且，联立方程组，消去得，由，得，所以．又因为，所以，整理得，即，化简得．所以，化简得，解得，即直线恒过点．因为，所以点在以线段为直径的圆上，取线段的中点，则，所以存在定点，使得线段的长度为定值．21．【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，则令，得（1）当时，（2）当时，0极小值（3）当时，0极小值综上当时，在上递减；当时，在上递增，在上递减；当时，在上递增，在上递减（Ⅱ）函数和的图像在上有交点，等价于函数和的图像在上有交点，等价于的图像在有零点的单调递增区间是，单调递减区间是．，由（Ⅰ）知当时，在为增函数，在上有零点，则或当时，在递增