2024届张掖市民乐某中学高三数学上学期第一次诊断考试卷附答案解析

2024届张掖市民乐一中高三数学上学期第一次诊断考试卷

2023.09

（考试时间120分钟，试卷满分150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题

目要求的.

1.已知均为R的子集，口乐MjN,则MD（«N）=（）

A.0B.MC.ND.R

2.祖咂原理：“事势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的原理，意思是两个等高的

几何体，若在同高处的械面积恒相等，则体积相等.设A,8为两个等高的几何体，P：A,8的体积相

等.4:A3在同高处的截面积恒相等.根据祖眶原理可知，9是，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

3.在平面直角坐标系中，角。和角△的顶点均与原点。重合，始边均与工轴的非负半轴重合，它

2

们的终边关于直线）'二一八对称，若cosa=§,则sin/?=（）

A.-且B.--C.D.好

3333

4.若将函数＞=3sin卜x++:的图象向右平移?个单位长度，则平移后图象的对称中心为（）

A怎+/B.g+：,0卜cZ）

C侍D.e,0辰2）

5.已知函数〃力=『；2了"若/（2-/）＞/（必则实数。的取值范围是（）

—X+2x,x＜0

A.B.（-1,2）C.（一2,1）D.J（l,+oo）

6.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正〃边形等分成〃个等腰三角形（如图所示），当“变得很大时，

这〃个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想得到sin3。的近似值为（）

A.-B.――C.D.—

9018027060

7.已知曲线"x）="在点尸（OJ（O））处的切线也是曲线g（x）=ln（or）的一条切线，则。的值为（）

A.三B.-C.JD.—

323

8.已知。=41n3l/?=31n4Sc=4ln，，则♦,b,c的大小关系是

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中的真命题是()

r-12

A.VXGR,e>0B.VxeN,x>0

C.玉，>'eZ,使得近％+)，=4D.HreR,使得tanx=0

10.下列结论正确的是()

A.设a>0,则/+-2的最小值是2，？

B.当4>1时，”+•!•的最小值是2

x

C.当x>0时，G+—j=22

D.当/<二时，y=4x—2+「二的最大值是1

44x-5

11.已知定义(f2)的奇函数,满足〃X)=〃27),若/(1)=1,则()

A./(3)=1B.4是/(%)的一个周期

C./(2018)+/(2019)+/(2020)=-1D.的图像关于x=l对称

12.关于函数/(x)=8sx+卜in$,下述结论正确的是()

A./(x)的最小值为一逝B./(x)在［兀,2可上单调递增

C,函数旷=/("—1在［-几兀］上有3个零点D.曲线y=/(x)关于直线彳=兀对称

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.不等式土二02的解集为.

K.若一1<，+。<3,2<〃一人<4,则2a+3〃的取值范围为.

15.若tan20°+/〃sin200=G,则m的值为.

16.已知/(切为偶函数，且当7€［0,w)时,/(x)+^(x)<0,其中/(X)为“X)的导数，则不等式

(1-力小-1)+对(2%)>0的解集为.

匹、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知正文数x,y满足等式4+3=2.

2

⑴求节,的最小值；

⑵求3x+y的最小值.

=sin(a-/?)=|

18.已知sin(a+

tana

(I)求的值;

tanp

（口）若°<左腔5’求c°”的值.

19.设关于x的不等式1+2尔+〃?+2<0的解集为。.

（1）求m的取值范围；

（2）求关于x的不等式如?+（吁2）工-220的解集.

20.己知函数/（"=4sin与coq竽-1J+〃2（/>0）.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择

可以确定。和次值的两个条件作为已知.条件①：/（月最小正周期为冗；条件②：/6）最大值与最小值

之和为0；条件③：/（0）=2,

⑴求佃的值;

⑵若函数/（“在区间［（），，，］上单调递增，求实数〃的最大值.

21.已知函数/（刈=111X一寸.

（1）求函数/（x）的单调增区间；

（2）求函数/（x）在（0,a］（a>0）上的最大值.

22.设函数/（x）=q^x2+or-lnMawR）.

⑴当4=1时，求函数/（力的极值;

⑵若对任意。«4,5）及任意内恒有一〃?+皿2>/（%）-〃七）|成立，求实数，〃的取值范围.

乙

3

I.B

【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出的〃?图，结合陀〃〃图即可确定集合的运算结果.

【详解】解法一：据此可得.•.MU（4N）=M.

故选：B.

解法二：如图所示，设矩形A8CD表示全集凡

短形区域48HE表示集合M,则矩形区域CQEH表示集合,

矩形区域CQ/P表示集合N,满足4M±N,

结合图形可得：MJ（^N）=例.

故选：B.

AFED

BGHC

2.A

【分析】根据〃，夕之间的推出关系可得正确的选项.

【详解】设A为正方体，其棱长为2,体积为8,8为长方体，底面为边长为1的正方形，高为8,显然A3

在等高处的截面面积不相等，若4是〃的不必要条件，

兰A,A在同高处的截面积恒相等时，根据祖咂原理有A,A的体积相等，

所以充分性成立，因此夕是〃的充分不必要条件.故选A.

【点睛】两个条件之间的关系判断，可依据命题“若〃则/'、"若9则P”真假来判断，此类问题属于基础

题.

3.B

【分析】由角的终边得出两角的关系，然后由诱导公式求值.

TT7T

【详解】角。和角夕的终边关于直线）'=-x对称，则。+尸=2（桁一1尸2桁-5，kwZ.

Tlx2

sin//=sin[2X7i—（—+«）]=-sin（—+a）=-cosa=——

223

故选：B.

4.C

【分析】先利用三角函数平移的性质求得平移后的图象的解析式，再利用整体代入法即可求得其对称中

心.

/.

【详解】将函数）-3sin+1+彳的图象向右平移g个单位长度，

-5/2o

4

得到)，=3sin2\x-^]+^+：=3sin2x+《的图象，

\073J22

Lrr

令2x=kn、keZ,得工=——、ksZ,

2

所以平移后图象的对称中心为eZ).

故选：C.

5.C

【分析】探讨给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.

【详解】因y=V+2x在上单调递增，、=一£+2%在(—^0)上单调递增，

因此，函数F(x)="在R上单调递增，则/(2-白>/(。)02-片>〃，解得-2<〃<1,

-x+2x,x<0

所以实数。的取值范围是(-2,1).

故选：C

6.D

【分析】由题意，将360的圆周角平均分为120份，利用面积公式，建立方程，可得答案.

【详解】将一个单位圆分成120个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为3。，

区为这120个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，

所以120xLxlxl.sin30=60sin3"a7c,所以sin30aE.

260

故选：D.

7.C

【分析】根据导数的几何意义可求得“力在〃点处的切线方程，设其与g(“相切于点(%,ln(a0)),由

切线斜率可求得小，利用两点连线斜率公式构造方程求得。.

【详解】•./(x)=e\：.f\x)=e\/(0)=1,/.r(0)=l,

\f(x)在点尸(oj(o))处的切线方程为:乃川；

设，，=x+l与网力相切于点a』n(c%J),则身'(，％)=,=1,解得：毛=1,

玉)

In(atn)—1

又I纥=1,—l=解得：。=©2

%-0

故选：C.

8.B

【分析】若对数式的底相同，宜接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利

用函数的单调性判断大小.

5

【详解】对于。力的大小：a=41n3*=ln34b=6n81，〃=31n¥=ln43i=；rln64,明显a>b；

对我c的大小：构造函数〃正警'则八八岁

兰xe(0,e)时，f(x)>0,/U)在(0,e)上单调递增,

当xe(e,”)时，/*)<()J(x)在(匕+8)上单调递减，

V7r>3>e,:.fM</(3)即乃<4ln3,「.ln/<In3*,.-./<3*

冗3

对于。。的大小:〃=31n4”=ln64"c=41n^3=ln[(^)4]\64yg*,c>b

故选B.

【点睛】将，力"两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以

通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目.

9.ACD

【分析】对A,D,可由对应的函数进行判断；对B,C,可由特殊值进行判断.

【详解】解：对A,

根据指数函数的值域为(0,y)，

即)，=/T>0,故A正确；

对B,当文=0时，f=(),故B错误；

对C,当x=0,y=4时，岳+)=4,故C正确；

对D,；y=lanx的值域为(YO,。)，故3xeR,ianx=2,D正确.

故选：ACD.

1(1.CD

【分析】运用基本不等式逐一判断即可.

【详解】对于选项A」・26不是定值，・・・2而不是小，的最小值，故选项A错误,

对于选项B：当x>0时，由基本不等式可得x+,22/^

2,

等号成立的条件为x=2,即X=l.

X

但x>1,故取不到等号，故2不是工+上的最小值，故选项B错误;

x

对于选项C：当^>0时,由基本不等式可得«+9之2

=2，

些且仅当4:七，即K=I时，等号成立，故选项c正确;

6

对于选项D：当即5-4/>0时，

4

>'=4,v-2+—!—=(4x-5)+—i-^-F3=4(5-4.v)+—]+3,

4x-54x-55-4x

由基本不等式可得(5-4x)+>2J(5-4x)-=2,

些且仅当5-4x==二，即x=l时等号成立.

5-4x

此时)，=T(5_4x)+—!—]+3《-2-3=],

5-4x

即当X=1时，>有最大值1,故选项D正确.

故选：CD.

11.BCD

【分析】对于A,/(3)=-1,故A错误：对于8,/*+4)=/(幻，即4是/*)的一个周期，故3正

确；对于C,7(2018)+/(2019)+/(2020)=-1,故C正确；对于。，/(幻的图象关于X=1对称，故。正

确.

【详解】对于A,f(3)=/(-1)=-/(I)=-1,故A错误；

对于3,/(x+4)=/[2-(x+4)]=/(-x-2)=-f(x+2),

而f(x+2)=f[2-(x+2)1=f{-x)=-f(x),

.•./U+4)=/(x),即4是/(x)的一个周期,故3正确;

对于C,/(X)是奇函数，:./(O)=0,

7f(x)的一个周期为4.

.'./(2018)=/(2)=/(())=(),f(2019)=/(3)=-1,/(2020)=/(0)=0,

.-./(2018)+/(2019)+/(2020)=-1,故C正确；

对于。，f(x)=f(2-x),j\x+1)=/[2-(x+1)]=/(I-x),

••J0)的图象关于X=1对称,故。正确；

故选：BCD.

【点睛】本题主要考查了函数奇偶性、函数周期性和对称性判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握

水平.

12.CD

【分析】分情况讨论，去掉绝对值，结合辅助角公式及三角函数的性质可得答案.

[详解】(x+271)=cos(x4-27i)+|sin(x+27r)|=cosx+|sinA|=f(x),

所以/(x)的一个周期为2兀；

对于A,当xw[0,7i]时，/(x)=cos^+sinx=>/2sinx+—,

7

因为xw[O,可,所以x+，/3)的最小值为一1；

当X«TC,2元)时,f(x)=cosx-sinx=拒cos(*+；

因为xe(兀,2兀)，所以x+：e传号)

的最小值为-1,A不正确.

对于B,当xw[兀,2可时，/(x)=cosx-sinx=41cos+L

令'…%春今，由)'=cos/的单调性可知小)在阮2可上先增后减，B不正确.

对于C,当xe[0,可时，令/(x)=l得sin卜+；)=等，

因为所以X+冷或与口屋二。或Y；

当X£(-私0)时，令/(幻=1得cosIx+^J=£,

因为呜《一季5所以代冶’即一会所以共有3个零点，c正确.

对于D,因为/(2n-x)=cos(2r-x)+|sin(2n-x)|=cosx+|sin^|=f(x),

所以曲线y=〃力关于直线x=H对称，D正确.

故选：CD

13.(^»,-3]U(-U-KO)

【分析】利用分式不等式的解法即可求解.

【详解】不等式=42可化为--240,即上、之0,

x+lx+\X+I

等价于上;)，+3)2°,解得.£3或X>-1,

x+lwO

所以不等式的解集为(YO,-3]U(TE).

故答案为：(Y0,-3]I(-1,+8).

【分析】设2a+3〃=Ma+b)+ym-〃)=(x+)，)a+(x-y)〃，利汨系数相等求得苍丁的值，结合不等式的

基本性质，即可求解.

[详解]由题意，设2a+3/?=x3+勿+)，(“_与=。+)，).+(彳—)，迫，

8

x+y=251

贝!/解得x==

x-y=322

因为一1<。+〃<3,2<“一分<4,

2222

9sli3/913、

所以一］<永〃+力一3。一切<^,即27+38的取值范围是,5

故答案为：6(9卷13.、

15.4

【分析】根据给定条件，利用凑特殊角的方法及三角恒等变换求解作答.

【详解】由tan20。+〃?sin20。=6,得/〃sin20。=lan60。一tan200=^^-^^

cos600cos20

sin60°cos200-cos60°sin20°sin4004sin200cos20°，.“0

-==4sin2)。

cos600cos2001cos20°8s?℃，而sin20°>0，

2

所以〃z=4.

故答案为：4

16.

【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再结合奇偶性求解不等式作答.

【详解】令函数身(x)=M'")，当xc［0,”)时，g'(x)=f(x)+xf\x)<0,即函数g(x)在［0,«o)上单调递

减，

由/(X)为偶函数，=-#(-x)=-xf(x)=-fi(x),即函数g(x)是奇函数，于是g⑴在R上单调递

减，

不等式(l-x)/(x-l)+2M<2x)>0<=>24(2力(%-1)/(1)og(2x)>g(x-l),

因此2x<x—1,解得x<—l,所以原不等式的解集是(TO,-1).

故答案为：(-8,-1)

【点睛】关键点睛：根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.

17.(1)3

⑵6

【分析】(1)直接利用基本不等式求解即可；

1(।3^

(2)根据条件，3A+y=-(3x+y)-+-,再利用基本不等式求解即可.

25y)

9

【详解】(1)2=1+->2—,即个之3,

xy\xy

\3

当且仅当一二一，即X=l,)=3时等号成立,

所以刈的最小值为3.

(2)3x+y=；(3x+y)中6+W+W+2际]=6,

y).Vx)2(V.VX)

9rv

当且仅当一=上，即x=l,y=3时等号成立,

)'X

即3+)*=6.

%=7(II)拽

18.

tan/?10

7

【分析】(I)利用两角和与差的正弦公式将已知两式展开，分别作和、作差可得sinacos//=正，

cosasin^=—,再利用厂工=-----7,即可求出结果；

10lanpcostzsinp

(ID由己知求得cos(a+/?),8s(a—夕)，再由cos2〃=cos[(a+夕)一(夕一6)],利用两角差的余弦公式

展开求解，即可求出结果.

4

【详解】解：(【)sin(a+/?)=sinacos/?+cosasinfi=~①

3

sin(a-y9)=sinacos/y-cosasin=—②

由①+②得sinacosA=5③

由①-②得cosasin//=-!-@

tana

由③X④得=7

tanp

jr,、4,、3

(II),.,()</?<«<—,sin(«+/?)=—,sin(«-/7)=-

55

3

cos(a+,)=-sin2(«+/?)

5

cos(«-/?)=yj\-sin2(a-p)4

5

cos2ft=cos[(a+尸

=cos(a+4)cos(a-/?)+sin(a+A)sin(a-/7)

1()

________L24

cos2^=2cos2cos夕=j+c；s=4_2L=2^

【点睛】本题主要考查了两角和差的正余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化

思想，属于中档题.

19.(1)-l<m<2：(2)见解析.

【解析】(1)由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解；

(2)转化条件为(mx-2)(x+l)川,按照〃?=0、0〈〃区2、W0讨论,运算即可得解.

【详解】(1)因为关于工的不等式d+2以+,〃+2<0的解集为0,

所以关于x的不等式丁+2〃氏+m+220恒成立，

所以△=4"/一4(/〃+2)<0,解得一1<〃?42,

所以m的取值范围为-14M工2：

(2)不等式侬2+⑺-2)x-220等价于(皿-2)(A+I)>0,

当m=0时,不等式可化为-2.”220,解集为｛小—｝；

兰0<〃区2时^^>-1,此时不等式的解集为｛HxW-1或工之不卜

当TO<。时,此时不等式的解集为H

m

20.(I)选择②③无解；选①②：/々=6选①③：/图=2国2；

咤

【分析】(1)先化简得到/")=2sin(8-向+G+m,选择②③时无解，舍去，选择①②或①③，确

定的值，进而求出/(2)

coxV5.cox

【详解】(1)函数/(x)=4sin+——sin——+m

222

=sincox-yficoscox+也+m=2sin卜x-1J+6+6,

选条件①

由于/(x)最小正周期为兀，所以@=2.

II

所以/(X)=2sin^2A--yj+V3+m；

由/(x)最大值与最小值之和为0，

〃项而=-2+6+团，f(x\^=2+>/3+m,

故一2+G+〃？+2+G+〃7=0，解得：m=-G.

所以/(7)=2sin(2x-.

故佃=2s呜=6

选条件①@:

由于/(力最小正周期为兀，所以口=2,

所以/(x)=2sin(2x-］)+6+"z；

/(0)=2sin(-1)+8+m=2,解得：m=2,故f(x)=2sin(2x-1)+6+2,

"0=25呜+6+2=2万+2；

选②③：由于/(x)=2sin"-g)+石+川，所以/("*=-2+6+机，/⑸心=2+百+〃人故

-2+6+/〃+2+百+〃?=0,解得：tn=-x/5.

又/(0)=2sin+G+〃?=2,解得：e=2,矛盾，此时无法确定切和小值，舍去

(2)当x«0,a］时，2x-^e\-^2a-^\f由于函数在区间［0闷上是增函数，所以2〃-々三，解得

5兀

a<一,

12

故。的最大值为普.

21.(1)。，孝；(2)答案见解析.

【分析】(1)利用导数力(力>。,直接解得/(x)的单调递增区间;

(2)分类讨论：当0<〃<孝时，/(幻在(0,4上单调递增，比时/(x)a=/(a)=lna-a\

兰〃之暂时，/(外在［(),等］上单调递增，在(孝，〃上单调递减，可以求出最大值.

12

【详解】（1）/*）的定义域为（0,+力），/（x）」-2"上竺,

XX

令/"）>（）,得Vx>0,.-.0<x<—.

x2

故/（幻的单调递增区间为

（2）由（1）知，/（X）在上是增函数，在上是减函数.

・••当0<”*时，/“）在（0,。］上单调递增，此时/'（动皿=/（4）=lna-c/；

兰日时，/（%）在（o，¥）上单调递增，在（孝，“上单调递减，此时

/（力2=/（用=ln*_g=_；ln2T.

综上所述，当0<av正时