九年级数学-授课讲义：04 相似三角形 【题库】

1.比例线段 2①比例线段的概念 2 3③利用比例性质计算 4 5 5⑥平行线分线段成比例定理 11 ①相似图形的概念 12②相似三角形的判定 13③相似三角形的性质 14④相似三角形的模型 183.相似三角形的综合 23①动点构成相似 23②与二次函数结合 291比例线段1.1比例线段的概念1.2比例中项1.3利用比例性质计算1.4设"K"法1.5黄金分割1.5.1概念1.5.2计算分类讨论1.5.3尺规作图1.5.4黄金三角形与矩形1.6平行线分线段成比例2相似三角形2.1相似图形的概念位似2.2相似三角形的判定基本判定(AA、SSS、SAS)2.3相似三角形的性质2.3.1对应边、三线、周长成比例，对应角相等2.3.2面积问题2.4相似三角形的模型2.4.1A字形、斜A形、母子型2.4.28字形、斜8形2.4.3一线三等角2.4.4双垂直、三垂直2.5相似三角形的应用2.5.1“影长问题”2.5.2最大面积问题3相似三角形综合3.1动点构成相似3.2与二次函数结合.1.比例线段：①比例线段的概念：2).在某幅地图上，AB两地的距离8.5cm,实际距离为170km,则比例尺为3).已知在地图上甲乙两地距离为2cm,该地图的比例尺为1:2000000,则实际甲乙两地5).浙江省庆元县与著名的武夷山风景区之间的直线距离约为105公里在一张比例尺为1:2000000的旅游图上，它们之间的距离大约相当于()A.一根火柴的长度B.一支钢笔的长度C.一支铅笔的长度D.一根筷子的长度②比例中项：2).已知a=4,b=9,c是a,b的比例中项则c=4).已知线段b是线段a、c的比例中项且a=1,b=2,那么c=6).已知4,a,9中，一个数是另外两个的比例中项，求a=7).已知a是2和4的比例中项，则a的值为.8).已知两数4和8,试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，第三个数是+③利用比例性质计算：(一)判断能否构成比例1.下列各组数能否构成比例?若能，写出一个比例式(二)积转化为比例式(三)根据比例求值.(5a≠2b+9c)4).已知,则直线y=kx+2k一定经过().A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限5).⑤黄金分割：(一)计算：1).已知如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列结论中正确的是()A.AB2=AC2+BC2B.BC2=AC·BA2).已知点P是线段AB的一个黄金分割点(AP>PB),则PB:AB的值为()3).已知点C是AB的黄金分割点(AC>BC),若AB=4cm,则AC的长为()4).已知C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则AC:AB=()(二)分类讨论：1.若点P是线段AB的黄金分割点，设AB=1,则PA的长为()A.0.4B.0.5C.0.6D.0.4或0.62.已知线段AB=1,C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为().以上都不对长为20m,试计算主持人应走到离A点至少m处.(结果精确到0.1m)4.已知线段MN的长为2厘米，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长的线段MP的长5.若线段AB=4cm,点C是线段AB的一个黄金分割点，则AC的长为6.若点C是线段AB的黄金分割点，且AC=2,则AB=叫做AE与AB的黄金比.)(2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.字母进行标注)2).作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比.(1)尺规作图并保留作图痕迹；(2)写出你的作法；(3)证明：腰与底之比为黄金比.3).求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图，且使AP>PB.4).如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC,已知∠ACE=108°,BC=2.(1)求∠B的度数；(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角者底边长与腰长的比)等于黄金l③在直线AB或BC上是否存在点P(点A、B除外),使△PDC是黄金三角形?若存在，在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法(不要求证明);若不存在，说明理由.5).若一个矩形的短边与长边的比值(黄金分割数),我们把这样的矩形叫做黄金(1)操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD(AB>AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD;(2)探究：在(1)中的四边形EBCF是不是黄金矩形?若是，请予以证明；若不是，请说明理由.1.5.4.黄金三角形与矩形： 2.顶角为36°的等腰三角形被叫做“黄金三角形”,如图所示，△ABC为顶角为36°等腰三(1)图中共有等腰三角形个；(2)等腰三角形ABC中，腰AB与底边BC的比值是(1)试说明点E为线段AB的黄金分割点；AB的黄金分割点，BE>AE,若AB=2a,则BE长为()5).如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,(1)已知图1中黄金矩形ABGF的长AF=1,求AB的长；⑥平行线分线段成比例：1).如图，已知AB:DB=AC:EC,AD=15cm,AB=40cm,AC=E、F.已知,则值为()E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是()2.相似三角形①相似图形的概念：②相似三角形的判定：E、R,图中相似三角形的对数(不含全等三角形)共有对。点E,,则的值为AD于点F.下列各式中，错误的是()A.三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是()5).(2015·大庆模拟)如图，00是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交○0于点D,AD=5,BD=2,则DE的长为()当,延长DB到点F,使,连接AF.(2)试判断直线AF与0O的位置关系，并给出证明③相似三角形的性质：AD的中点，BE的延长线交AC于点F,则AF:FC=;角形边长分别是3和4及x,那么x的值()A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上，但有限D.有无数个第一张BC=6,DE=3,则AD的长为()8).(2010·嘉兴)如图，已知C是线段AB上的任意一点(端点,其中正确结论是()的度数是()A.90°B.60°C.45°D.不能确定中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分.问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似(注：在图上画出所有符合要求的线段PC,并求出相应的点C的坐标).3.2面积问题1).(2014江南实验期末)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、BC上的点，且DEIIAC,若2).(2014十三中期中)如图，已知DE//FG//BC,且GA:AD:BD=3:4:2,则SAGF:SADE:SB的值为且它们的面积之比为4:25,则它们对应中线的比为的面积比·截得三角形与原三角形相似，面积比为1:4,则AQ的长是多少?④相似三角形的模型：4.1A字形、斜A形1).如图(1)、(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB、CD交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是()A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似2).如图，∠1=∠2=∠3,则图中相似三角形共有对.AD值为值为4.2"8"字形、斜“8”形EQ延长线交AD于F,则AF=值为()若EF=18cm,MN=8cm,则AB的长等于BA相交于点D,ME与边AC相交于点E.(1)求证：(3)在第(2)小题的条件下，如果DM⊥AC,求∠ABC的度数.为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=()14).如图，已知梯形ABCD中，ADIIBC,对角线AC、BD分别交中位线EF于点H、15).如图，ADIIEFIIBC,则图中的相似三角形共有对.16).已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相似的三角形有对.3.相似三角形综合：①相似的构造问题：2).(2006·南汇区一模)如图，在边长为11cm的等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BD=4cm,CE=6cm.在BC边上是否存在一点P,使以点P、B、D为顶点的三角在，请说明理由.3).如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC=6cm,点P从点A出发，沿AB方向以每则t的值为()AD=2cm,BC=3cm,动点P从点A出发沿着线段AB方向以1cm/s的速度向点B运动，C为顶点的三角形相似，则t的值不可能是()发，以1cm秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm秒的速度向点A运动，若开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动.当一点停止运动，另一点也随之停止运动.设如不能，说明理由.B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ,点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中.点M,N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM,PN,MN,设移动时间为t(单位：秒，0<t≤2.5).(3)是否存在某一时刻t,使△PMN的面积S有最大值?若存在，求S的最大值；若不存在，请说明理由.点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0≤t≤2),连接(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(3)M是PQ的中点，请直接写出点M运动路线的长.10).(2015·江西三模)如图：直线与x,y轴分别交于A,B,C是AB的中点点P从A出发以每秒1个单位的速度沿射线AO方向运动将点C绕P顺时针旋转90°作射线BB₁IIAC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速G是EF中点，连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB,并求出此时DE的长度；12).如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=12,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥AC,交AB于点D,连接PQ.点P,Q分别从A、C同时出发，(3)是否存在这样的t,使△ACD为等腰三角形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒,连接MN.(1)若△BMN与△ABC相似，求t的值；动点M,N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A、B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM、PN,设移动(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积为4.4cm₂?点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(2)连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值.②相似与二次函数的结合：x轴正半轴上的点B,AO=OB=2,∠AOB=120°.(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接OM,求∠AOM的大小；经过(2,1)和(6,-5)两点.(1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点，点P是(2)对同一条抛物线，小明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=2,写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；(3)对该抛物线，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标，5).如图所示，直线I:y=3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C,抛物线过点B、C和D(3,0).(1)求直线BD和抛物线的解析式.(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M,点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标.(3)在抛物线上是否存在点P,使SPBp=6?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明到点C,过点B的抛物线y=-xz+bx+c与直线BC交于点D(3,-4).4.4垂直模型 4.4.2三垂直(K) 4.4.3掰正("损矩形") 5.1作图 5.2影长问题 5.1.1平地无遮挡 5.1.2遮挡(斜坡、台阶) 5.1.5小孔成像 5.2最大面积问题 2.3.2面积计算求S₁S₂:S3△B,CA₃的面积为S,,S,,S,则S,:S,:S₃=;积分别为S₁,S₂,S₃,S₄,且。(1)试探求S₁S₂,S₃,S₄之间的数量关系.9.如图，点A₁,A₂,A₃,A₄在射线OA上，点B₁,B₂,B₃在射线OB上，且A₁B₁IIA₂B₂的面积分别为1,4,则图中三个阴P分别是AC、AB的中点，△DEF的面积为3.5,则△ABC的面积为13.13.(2015·莘县二模)如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B₂D₁C₁的面积为S₁,△B₃D₂C₂的面积为S₂,…,△Bn+1D,C。的面积为S。,则S,=;Sn=.(用含n的式子表示)14.14.(2013·阜宁县二模)如图，已知Rt△ABC,D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁n的代数式表示).15.(2012·临沂模拟)如图，矩形ABCD,过对角线的交点○作OE⊥BC于E,连接DE子表示)17.在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2).延长CB交x轴于点A₁,作第2个正方形A₁B₁C₁C;延长C₁B₁面积为;第2011个正方形的面积为.B.…依次进行下去则B,B1线段的长度用含有m的代数式可以表示为过A₁作A₁C₁⊥BC,垂足为C₁;过C₁作C₁A₂⊥AB,垂足为A₂,再过A₂作A₂C₂⊥BC,垂足为C₂;…,这样一直做下去，得到一组线段CA₁,A₁C₁,C₁A₂,…,则第12同一直线上，设四边形P₁M₁N₁N₂面积为S₁,四边形P₂M₂N₂N₃的面积为S₂,…,四F分别作AB的垂线，垂足分别为D、G、H,连接AE、AF,分别交CD、EG于M、23.(2008-温州)如图，点A₁,A₂,A₃,A₄在射线OA上，点B₁,B₂,B₃在射线OB4.3一线三等角2.(2014·丰南区二模)如图，等腰直角△ABC的直角边长为3,P为斜边BC上一点，长为4.(2014年湖北咸宁)如图，在△ABC中，AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,<CE≤6.4.其中正确的结论是.(把你认为正确结论的序号都填上)5.(2015·贺州)如图，在△ABC中，AB=AC=15,点D是BC边上的一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=∠α,DE交AB于点E,且,有以下的结论：为12,其中正确的结论是(填入正确的序号)(2)①若四边形AEPF的面积为4√3时，求x的值.②四边形AEPF的面积是否存在最大值?若存在，请直接写出面积的最大值；若不存在，请说明理由.∠ADE=45(A,D,E按逆时针方向).如图1,若点D在线段BC上运动，DE线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①,当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≥△CQE;(2)设四边形CMPF的面积为S₂,CF=x,别在菱形ABCD的四条边上，四边形EBOF与四边形HDOG关于直线AC对称，且(1)当四边形EBFO与四边形HDGO关于点O成中心对称时，判断四边形EFGH是(2)设四边形EBFO的面积为S₁,四边形FCGO的面积为S₂.若,求m的最大值.到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。(1)求证：△ABE-△ECM;(3)当线段AM最短时，求重叠部分的面积。(1)如图(1)当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形.(2)如图(2),将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB明你的结论.图(1)图(2}备用图14.(2015山东德州)(1)如图1,在四边形ABCD中，点P为AB上一点，(2)如图2,在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立?说明理由.每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值15.(2015·湖南益阳)已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP<PB.AP绕连接PP₁、PP₂(1)如图1,当α=90°时，求∠P₁PP₂的度数；(3)如图3,过BP的中点E作l₁⊥BP,过BP₂的中点F作I₂⊥BP₂,I₁与I₂交于点Q,BB16.(2012·义乌市)如图1,已知直线y=kx与抛物于点A(3,6).(1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；不重合),交直线OA于点Q,过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N.试探究：(3)如图2,若点B重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个?4.4垂直模型4.4.1射影定理AB²:AC2=0a,b的代数式表示).6.如图，已知：BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、过D作AB的垂线，交半圆于C.4.4.2.1直接运用1.(2008年·南宁市)如图4,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点，且AC⊥CE,ED=1,BD=4,那么AB=2.(2011·苏州模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A,设直角三角板的另一直角边3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边Q.BP=x,CQ=y,那么y与x之间的函数图象大致是()4.(2014·山东潍坊，第8题3分)和×轴上，P为边OC上的一个动点，且BP⊥PQBP=P6.(2014年江苏南京，第6题，2分)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(-2,1),点C的纵坐标是4,则B、C两点的坐标分别是()A7.(2015·漯河模拟)如图，AB=4,射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连结AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,8.如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的面积为9.(2015·鄂城区模拟)如图，正方形ABCD的边长为25,内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为()10.(2015·台湾)如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上.若AB=5,BG=3,则△GFH的面积为何?()11.(2015·上城区一模)如图，已知l₁23,相邻两条平行直线间的距离相等，△ABC12.(2013,永州)如图，已知AB⊥BD,CD⊥BD(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长；(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长；做o0.(1)如图①,若CD=1,AB=BC=4,②BC与00的切点为E,连结AE、DE,求证：△ABE~△ECD;(2)如图②,若CD=1,AB=2,BC=4,易证此时BC与00交于两点，记为E、F,此A、B、G三点为顶点的三角形与△GCD相似?若存在，求BG的长度；若不存在，请说明(3)若DC=1,AB=2,BC=m,请问当线段BC上存在唯—一个点(记做P),使以A、B、P三点为顶点的三角形与△PCD相似，求m的取值范围.4.4.2.2与函数结合1.已知点A(3,4),点B为直线x=-1上的动点，设B(-1,y).(1)如图，若点C(x,0)且-1<x<3,BC⊥AC,求y与x之间的函数关系式；(2)y是否有最大值?若有，请求出最大值2.(2015·重庆校级模拟)已知点A、B分别在反比例函A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变A.则点B(x,y)的坐标x,y所满足的关系式为y=函数的图象上.若点B在反比例函数的图象上，则k的值为()A.y=-1/x(x<0)B.y=-3/x(9.(2014·十堰23.(8分))如图，点B(3,3)在双曲线上，点D在C,D构成的四边形为正方形.(1)求k的值；(2)求点A的坐标.10.小明同学将直角三角形直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与抛物线11.(2014萧山一模)如图，点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在抛物!上运动，且∠AOB=90°,给出下列结论，①点(X₁,x₂)在反比例函数的图像上；②直线AB与y轴交于定点(0,4);③若以AB为直径的圆与x轴相切，则y1+y2=8,其中正确的是()12.孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：(1)若测得OA=OB=2√2(如图1),求a的值；(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连(1)若测得OA=OB=2√2,(如图1),求a的值；(2)对于同一条抛物线，张亮将三角板绕点O旋转到如图2位置时，过B作BD⊥x14.(2014·武汉，第25题12分)如图，已知直线AB:y=kx+2k+4与抛物线(3)若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°,求点D到直线AB的最大距离.4.4.3掰正("损矩形")半轴上一点，且AP⊥BP,AP:BP=1:3,那么四边形AOBP的面积为()3.(2006·泰州)如图，0为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与0点重合，转动三角板使两直角边始终与BC,AB相交，交点分别为M,N.如果AB=4,AD=6,OM=x,ON=y.则y与x的关系是()4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角∠MON的顶点O在AB边上，OM、ON分别交边AC、BC于点P、Q,∠MON绕点○任意旋转.的值为;当值为.其中正确的选项是()(1)当点P为线段AC的中点，求证：PN=√3PM.(2)当PC=√2PA,如图2请写出线段PN、PM之间的比例关系6.(2010·双鸭山)已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°,∠A=30°,图2点P在AC上，且∠MPN=90°.当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上时(如图1),PM.(不需证明)当PC=√2PA,点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN、PM之间的数量关系，并任选取一给予证明.图3交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m究线段EF与EG的数量关系.(1)如图(2),当m=1,n=1时，EF与EG的数量关系是(2)如图(3),当m=1,n为任意实数时，EF与EG的数量关系是,并给出证明；(3)如图(1),当m,n图(38.如图1,将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合三角扳的一边交CD于点F另一边交CB的延长线于点G(1求证EF=EG;(2)如图2,移动三角板使顶点E在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立?(3)如图3,将(2)中的“正方形ABCD"改为“矩形ABCD”,且使三角板的一边经过点B,其他条件不变，若AB=a、BC=b,9.(2013·临沂)如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交，交点分别为E,F.(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°<α<60°)角，如图2,的值；(3)在(2)的基础上继续旋转，当60°<α<90°,且使AP:PC=1:2时，如图3,值是否变化?证明你的结论.5.应用5.1作图是小正方形的顶点).(1)在第一象限内找一点P,以格点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似但不全等，请写出符合条件格点P的坐标；(2)请用直尺与圆规在第一象限内找到两个点M、N,使∠AMB=∠ANB=∠ACB.请保留作图痕迹，不要求写画法.(2)直接写出△DEF的面积.3.(2015·江西校级模拟)下面是5×5的正方形网格，请你在图2、图3中分别作似比不为1)图1图2图3与△ABD的相似比1:2;与△ABD的相似比为1:√2.方形的顶点称为格点，连接格点而成的三角形称为格点三角形，请在图(1)(2)(3)(4)中分别画出四个互不全等的格点三角形，要求所画三角形与格点三角形△ABC相似但与△ABC(顶点是网格线的交点). (1)将△ABC向上平移3个单位得到△A₁B₁C₁,请画出△A且相似比为2:1.7.(2015春·江阴市校级期中)如图1,在4×4的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点.(2)请在图2中的两个3×3的正方形方格中各画一个和△ABC相似但不全等的格点三角形.5.2影长问题5.1.1平地无遮挡1.李老师测量学校国旗的旗杆高度，在同一时刻量得I某一同学的身高是1.5米，其影长是1米，旗杆的影长是9米，则旗杆高是()2.如图，晚上，身高1.5m的小明在距离路灯底部3m的地方，测得自己在路灯下的影子长1m,那么这盏路灯的灯泡距离地面的高度是()B.4.5mC.6mD.8m3.如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8m,他在地面上的影长为2.1m.若小芳比爸爸矮0.3m,则她的影长为()A.1.3mB.1.65mC.1.75mD.1.8m4.如图，数学课外活动小组为测量旗杆AB的高，在同一时刻，测得-杆EF的高为1.5米，其影FD的长为1米，此时旗杆影BC的长为8米，则旗杆高为()杆相距22m,则旗杆的高为()m.5.1.2遮挡(斜坡、台阶)此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为()2.兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为()1m的竹竿的影长是0.8m.但当他马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图).他先测得留在墙壁上的树影高为1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮他算一下，下列哪个数字最接近树高()m.A.3.04B.3.8C.4.45D.4.754.如图，一棵树AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，小明分别测得坪地、台阶和地面上的三段影长CE=1m,DE=2m,BD=8m,DE与地面的夹角α=30°.在同一时刻，已知一根1m长的直立竹竿在地面上的影长恰好为2m,请你帮助小明根据以上数据求出树AB的高.(结果精确到0.1m,参考数据：√2≈1.41,√3≈1.73)5.如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2斜坡上(CD),他测得落在地面上影长为10米，留在斜坡上的影长为2米，∠DCE为6.在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米.同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上.(1)如图1:小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长CD为3.5米，落在地面上的影长BD为6米，求树AB的高度.(2)如图2:小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长EF为8米，坡面上的影长FG为4米，已知斜坡的坡角为30°,则树的高度为.(本小题直接写出答案，结果保留根号)7.如图，路边有一根电线杆AB和一块正方形广告牌(不用考虑牌子的厚度).有一天，中点G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上E点，已知BC=5米，正方形分在教室地面所形成的影长为PE=3.6米，窗外遮阳蓬外端一点D到窗户上椽的距离为AD=0.9,求窗户的高度AF.甲组：如图(1),测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图(2),测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图(3),测得校园景灯(灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计)的灯罩部分(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2)请根据甲、丙两组得到的信息，求：②灯罩的主视图面积.如图1:甲组：测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm;如图2:乙组：测得学校旗杆的影长为900cm;如图3:丙组：测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为350cm,影长为300cm.解决问题：(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度?(2)如图3,设太阳光线MH与00相切于点M,景灯灯罩的半径?5.1.3路灯1.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部(点0)20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度()A.增大1.5米B.减小1.5米C.增大3.5米D.减小3.5米走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于()1.6m,GF=2m。你能求出路灯杆AB走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于5.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯CD的高度.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1m).6.如图，两棵树的高度分别为AB=6m,CD=8m,两树的根部间的距离AC=4m,小强正在距树AB的20m的点P处从左向右前进如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m,当小强前进多少米时，就恰好不能看到CD的树顶D?为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m,小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m,已知小明身高①计算小亮在路灯D下的影长；8.如图，李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O'P'=I,两灯柱之间的距离0O'=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长；(2)若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值?请说明理由；5.1.4镜子测量1.如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图如果镜子P与古城墙的距C,小明眼睛距地面的高度AB=1.2米，那么该古城墙的高度是()2.如图，王华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20米，镜子与王华的距离ED=2米时，王华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A,已知王华的眼睛距地面的高度CD=1.5米，则铁塔AB的高度是()3.(2013春·建始县校级月考)小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上放一面镜子(镜子高度忽略不计),他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B,他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米，以及他与镜子的距离CE=2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请你帮助小强计算出教学楼的高度.(根据光的反射定律：反射角等于入射角)4.如图，小龙要测量楼的顶层一根旗杆的顶端距地面的距离.他在地面上放置一面镜子，若小龙的眼睛距镜面中心点2米，镜面中心点距离小龙的脚1.2米，距离大楼底部12米，求这根旗杆的顶端距地面的距离.5.如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点E反射后(入射角等于反射角),AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C、D,且AC=3,BD=6,CD=12,则sinα的值为()于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C中看到树尖A;第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A.已知小明的眼睛距离地面1.70m,量得CD=12m,CF=1.8m,DH=3.8m.请你求出松树的高5.1.5小孔成像1.如图，是小孔成像原理的示意图，根据图所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是()2.(2013春·修水县校级月考)如图，火焰AC通过纸板EF上的一个小孔O照射到屏幕上形成倒立的实像.像的长度BD=2cm,OA=60cm,OB=20cm,求火焰AC的长.3.根据图中尺寸(ABIIA'B'),那么物像长y(A'B'的长)与x的函数图象是()A.个个4.如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上.已知胶片与源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米，若需要投影后的图象DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为()5.如图，电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm×3.5cm,放映屏幕的规格为2m×2m,若放映机的光源S距胶片20cm,要使放映的图象刚好布满整个屏幕，则光源S距屏幕的距离为()6.三角尺在灯泡O的照