2024年山东省烟台市中考数学试题含解析

2024年烟台市初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1.下列实数中的无理数是（）A. B.3.14 C. D.2.下列运算结果为的是（）A. B. C. D.3.下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）A.① B.② C.③ D.④4.实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A. B. C. D.5.目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）A.纳米 B.纳米 C.纳米 D.纳米6.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（）A. B. C. D.无法确定7.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（）A. B. C. D.9.《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？A.尺 B.尺 C.尺 D.尺10.如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11.若代数式在实数范围内有意义，则x取值范围为________．12.关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）．13.若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________．14.如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．15.如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________．16.已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17.利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值．18.“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．19.根据收集素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，．，，，，，，，，素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算．任务二探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．20.每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？21.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．（1）求反比例函数的表达式；（2）求n的值及的面积．22.在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段上时，线段与数量关系为________；【类比探究】（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若，，请直接写出的值．23.如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．（1）若，求的度数；（2）找出图中所有与相等的线段，并证明；（3）若，，求的周长．24.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．（1）分别求抛物线和的表达式；（2）如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值；（3）如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

2024年烟台市初中学业水平考试数学试题注意事项：1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上．3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效．6．考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验．一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1.下列实数中的无理数是（）A. B.3.14 C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可．【详解】解：A、是有理数，不符合题意；B、3.14是有理数，不符合题意；C、是无理数，符合题意；D、是有理数，不符合题意；故选C．2.下列运算结果为的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据同底数幂的乘法同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，运算法则计算即可【详解】A．，故选项不符合题意；B．，故选项不符合题意；C．，故选项不符合题意；D．，故选项符合题意；故选：D．3.下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（）A.① B.② C.③ D.④【答案】A【解析】【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可．【详解】解：A、取走①时，左视图为，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意；B、取走②时，左视图为，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意；C、取走③时，左视图为，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意；D、取走④时，左视图为，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意；故选：A．4.实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断，，的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判，，的正负．【详解】由数轴可得，，，，、，原选项判断错误，不符合题意，、，原选项判断正确，符合题意，、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意，、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意，故选：．5.目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）A.纳米 B.纳米 C.纳米 D.纳米【答案】B【解析】【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数进行表示即可．【详解】解：0.015毫米纳米；故选B．6.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（）A. B. C. D.无法确定【答案】A【解析】【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果．【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小，∴；故选A．7.某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线；第二个图，由作图可知：，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴为的平分线；第三个图，由作图可知，∴，，∴∴，∴为的平分线；第四个图，由作图可知：，，∴为的平分线；故选D．8.如图，在正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，连接并延长交于点G，连接，若，则用含α的代数式表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明，求得，证明，证得，推出，得到，据此求解即可．【详解】解：∵正方形中，点E，F分别为对角线的三等分点，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∵点E，F分别为对角线的三等分点，∴，∵正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故选：B．9.《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】C【解析】【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键．【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺，∴一共织布（尺），故选：．10.如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．【详解】解：如图所示，设交于点，∵菱形，，∴又∵，∴是等边三角形，∵，，∴∴∴当时，重合部分为，如图所示，依题意，为等边三角形，运动时间为，则，∴当时，如图所示，依题意，，则∴∴∵∴当时，当时，同理可得，当时，同理可得，综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线；故选：D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，解得：；故答案为：．12.关于的不等式有正数解，的值可以是______（写出一个即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键．【详解】解：不等式移项合并同类项得，，系数化为得，，∵不等式有正数解，∴，解得，∴的值可以是，故答案为：．13.若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，∴，∴故答案为：6．14.如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．【答案】【解析】【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．【详解】解：∵正六边形，∴，，∴，，∴，过点作于点，则：，设圆锥的底面圆的半径为，则：，∴；故答案为：．15.如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________．【答案】##【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解．【详解】解：∵在中，，，∴，，则，∵E为边的中点，∴，∵沿翻折得，∴，∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小，过C作于N，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴面积的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键．16.已知二次函数的与的部分对应值如下表：下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：把，，代入得，，解得，∴，故正确；∵，，，∴，当时，，∴，∵，∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确；∵抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的顶点坐标为，又∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值，∵与时函数值相等，等于，∴当时，的取值范围为，故错误；∵，∴点，关于对称轴对称，∴，故正确；由得，即，画函数和图象如下：由，解得，，∴，，由图形可得，当或时，，即，故错误；综上，正确的结论为，故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）17.利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值．【答案】，．【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出的值，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键．【详解】解：，，，，，，，∵，∴的平方根为，∵，∴，又∵为的平方根，∴，∴原式．18.“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______；（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）图见解析（2）（3）【解析】【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法或树状图法求概率：（1）组人数除以所占的比例，求出总人数，进而求出组人数，补全条形图即可；（2）用组人数除以总数，求出的值，组人数所占的比例乘以360度求出圆心角的度数；（3）列出表格，再利用概率公式进行计算即可．【小问1详解】解：，∴组人数为：；补全条形图如图：【小问2详解】，∴，D组对应的扇形圆心角的度数为；故答案为：；【小问3详解】列表如下：

男1男2女1女2男1

男1，男2男1，女1男1，女2男2男2，男1

男2，女1男2，女2女1女1，男1女1，男2

女1，女2女2女2，男1女2，男2女2，女1

共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，∴．19.根据收集的素材，探索完成任务．探究太阳能热水器的安装素材一太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．素材二某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，．，，，，，，，，素材三如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线．问题解决任务一确定使用数据要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算．任务二探究安装范围利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键．任务一：根据题意直接求解即可；任务二：过E作于F，利用正切定义求得【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最小角度，即，故答案为：冬至，；任务二：过E作于F，则，米，，在中，，∴（米），∵（米），∴（米），（层），答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．20.每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．（1）求y与x函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元（2）这天售出了64辆轮椅【解析】【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；（2）令，得到关于一元二次方程，进行求解即可．小问1详解】解：由题意，得：；∵每辆轮椅的利润不低于180元，∴，∴，∵，∴当时，随的增大而增大，∴当时，每天的利润最大，为元；答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；【小问2详解】当时，，解得：（不合题意，舍去）；∴（辆）；答：这天售出了64辆轮椅．21.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．（1）求反比例函数的表达式；（2）求n的值及的面积．【答案】（1）（2），【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：（1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可；（2）根据平移规则，得到平移后解析式，联立两个解析式，表示出的坐标，过点，作轴的平行线交轴于点,根据，进而求出的值，进而根据对称性得出，勾股定理求得，进而求得的长，即可求解．【小问1详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，∴，∴，∴；∴；【小问2详解】∵∴∴∴∵将正比例函数图象向下平移个单位，∴平移后的解析式为：，如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形，∴∴∴设，则∴，∴，∵，，在上∴解得：（负值舍去）∴，∴的解析式为，当时，，则，∴，，则∵直线与关于直线成轴对称，轴，∴，和是等腰直角三角形，∴∴，∵和是等腰直角三角形，∴∴22.在等腰直角中，，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段上时，线段与的数量关系为________；【类比探究】（2）当点D在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段与的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若，，请直接写出的值．【答案】（1）；（2），补图及证明见解析；（3）或【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键．（1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可；（2）同（1）中方法证明，再证明即可；（3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可．【详解】解：（1）如图，过点作延长线于点，由旋转得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：；（2）补全图形如图：，理由如下：过点作交于点，由旋转得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；（3）如图，当在的延长线上时，过点作于点，连接，由（2）得，，∴，∴，∴．当在的延长线上时，过点作于点，如图，连接，同理可得：，∴，，∴，∴，∴；综上：或23.如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．（1）若，求的度数；（2）找出图中所有与相等的线段，并证明；（3）若，，求的周长．【答案】（1）（2），证明见解析（3）30【解析】【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；（2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；（3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得，，进而可求解．【小问1详解】解：∵是的直径，∴，又，∴，∵四边形是内接四边形，∴，∴；【小问2详解】解：，证明：连接，∵点I为的内心，∴，，∴，∴，，∵，，∴，∴；【小问3详解】解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心．∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点，∴，，，∵，，，∴，∵，，，∴，∴的周长为．【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．24.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线．（1）分别求抛物线和的表达式；（2）如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值；（3）如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解；（2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解；（3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立，解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故．【小问1详解】解：设对称轴与x轴交于点G，由题意得，∵对称轴为直线，∴，∴，∴，将A、B、C分别代入，得：，解得：，∴，∴，顶点为∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线，∴抛物线的，顶点为，∴表达式为：，即【小问2详解】解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，∴，∵，∴直线为直线，∵轴，∴，对于抛物线，令，则，∴，∵点D与点关于直线对称，∴点，∵轴，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，当点三点共线时，取得最小值，而，∴的最小值为；【小问3详解】解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图：∵抛物线，∴∵轴，∴，∵，∴，∴，作H关于直线的对称点，则点在直线上，∵点的坐标为，直线：，∴，设直线的表达式为：，代入，,得：，解得：，∴直线的表达式为，联立，得：，解得：或（舍），∴；②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图：∵垂直平分，∴，∴，∴，∵∴，∴，由点得：，∵，∴，∴，∴，设，∴，，在和中，由勾股定理得，∴，解得：或（舍）∴，∴，∴，设直线表达式为：，代入点N，E，得：，解得：∴直线表达式为：，联立，得：，整理得：解得：或（舍），∴，综上所述，或．【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．

2024年枣庄市初中学业水平考试数学本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1.下列实数中，平方最大的数是（）A.3 B. C. D.2.用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位万个，将万用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.4.下列几何体中，主视图是如图的是（）A. B. C. D.5.下列运算正确的是（）A. B.C. D.6.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）A.200 B.300 C.400 D.5007.如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（）A.12 B.10 C.8 D.68.某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动概率是（）A. B. C. D.9.如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（）A. B.3 C. D.410.根据以下对话，给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为；②1班学生的最低身高小于；③2班学生的最高身高大于或等于．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11.因式分解：________．12.写出满足不等式组的一个整数解________．13.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________．14.如图，是内接三角形，若，，则________．15.如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________．16.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________．三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．18.【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图【问题解决】（1）计算，两点间的距离．（参考数据：，，，，）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可．（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）①解直角三角形②三角形全等【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．19.某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．根据以上信息解决下列问题：（1）请补全频数分布直方图；（2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分；（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按比例确定这次活动各人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：

模型设计科技小论文甲成绩9490乙的成绩9095通过计算，甲、乙哪位学生综合成绩更高？20.列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系：11________________________7（1）求、的值，并补全表格；（2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围．21.如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接．（1）求证：为所在圆的切线；（2）求图中阴影部分面积．（结果保留）22.一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1．（1）求证：；（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点．①当时，如图3，求证：四边形为正方形；②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系．23.在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线．（1）求的值；（2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；（3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围．

2024年枣庄市初中学业水平考试数学本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上，并在本页上方空白处写上姓名和准考证号．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1.下列实数中，平方最大的数是（）A.3 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是实数的大小比较，乘方运算，先分别计算各数的乘方，再比较大小即可.【详解】解：∵，，，，而，∴平方最大的数是3；故选A2.用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．3.年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位万个，将万用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查用科学记数法的表示方法，一般形式为，其中，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动位数相同，确定与的值是解题关键．【详解】解：万，故选：C．4.下列几何体中，主视图是如图的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．能看到的线画实线，看不到的线画虚线．根据主视图是从正面看到的图形分析即可．【详解】解：A．主视图是等腰三角形，不符合题意；B．主视图是共底边的两个等腰三角形，故不符合题意；C．主视图是上面三角形，下面半圆，故不符合题意；D．主视图是上面等腰三角形，下面矩形，故符合题意；故选：D．5.下列运算正确是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方运算，完全平方公式，单项式乘以多项式，掌握其运算法则是解决此题的关键．按照运算规律进行计算即可．【详解】解：A．式子中两项不是同类项，不能合并，故A不符合题意；B．，故B不符合题意；C．，故C不符合题意；D．，故D符合题意．故选D．6.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）A.200 B.300 C.400 D.500【答案】B【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为，则改造前每天生产的产品件数为，根据题意，得：，解得：，经检验是分式方程解，且符合题意，答：改造后每天生产的产品件数．故选：B．7.如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】A【解析】【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.【详解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴正边形的一个外角为，∴的值为；故选A8.某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，画树状图如下，共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，故他们选择同一项活动的概率是，故选：C．9.如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（）A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．作辅助线如图，由平行正相似先证，再证，即可求得结果．【详解】解：延长和，交于点，∵四边形是平行四边形，∴，即，∴∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴∴，∴，∴∵，∴．故选：B．10.根据以下对话，给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为；②1班学生的最低身高小于；③2班学生的最高身高大于或等于．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②．【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，∴∴，解得，故①，③正确；根据2班班长的对话，得，，∴，∴，∴，故②正确，故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11.因式分解：________．【答案】【解析】【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可．【详解】解：原式，故答案为：．12.写出满足不等式组的一个整数解________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解．【详解】解：，由①得：，由②得：，∴不等式组的解集为：，∴不等式组的一个整数解为：；故答案为：（答案不唯一）.13.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，∴，解得：．故答案为：．14.如图，是的内接三角形，若，，则________．【答案】##40度【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，即可求解．【详解】解∶连接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．15.如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________．【答案】【解析】【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案.【详解】解：如图，过作于，由作图可得：，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴到的距离为；故答案为：【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．16.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________．【答案】【解析】【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可．【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为，经过2次运算后得到点为，即为，经过3次运算后得到点为，即为，……，发现规律：点经过3次运算后还是，∵，∴点经过2024次运算后得到点，故答案为：．三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查实数的运算、分式的运算：（1）根据求算术平方根和负整数指数幂、有理数的减法的运算法则计算即可；（2）先通分，然后求解即可．【详解】（1）原式（2）原式将代入，得原式18.【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图【问题解决】（1）计算，两点间的距离．（参考数据：，，，，）交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可．（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）①解直角三角形②三角形全等【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．【答案】（1），两点间的距离为米；（2）②【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键；（1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可；（2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案.【详解】解：如图，过作于，∵米，，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴（米）；即，两点间的距离为米；（2）∵，，当，，在同一条直线上时，∴，∴，∴，∴只需测量即可得到长度；∴乙小组的方案用到了②；19.某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，．下面给出了部分信息：的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．根据以上信息解决下列问题：（1）请补全频数分布直方图；（2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分；（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：

模型设计科技小论文甲的成绩9490乙的成绩9095通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？【答案】（1）画图见解析（2）（3）人（4）甲的综合成绩比乙高.【解析】【分析】（1）先求解总人数，再求解的人数，再补全图形即可；（2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数；（3）由总人数乘以80分含80以上人数百分比即可得到答案；（4）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可【小问1详解】