福建省南平市建瓯县中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析

福建省南平市建瓯县中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，若，，则函数的零点的个数是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3

参考答案：C因为，，所以且，解得，即。即当时，由得，即，解得或。当时，由得，解得，不成立，舍去。所以函数的零点个数为2个，选C.2.设函数的图象为，下面结论中正确的是A.图象可由的图象向左平移个单位得到B．函数的最小正周期是

C．图像关于直线对称D．函数在区间上是增函数参考答案：A3.对于空间的一条直线m和两个平面，下列命题中的真命题是

A.若则

B..若则

C.若则

D.若则参考答案：【答案解析】C

解析：若则平面可能平行可能相交，所以A,B是假命题；显然若则成立，故选C.【思路点拨】根据线面平行的性质，线面垂直的性质得结论.4.定义在，其中M是内一点，、、分别是、、的面积，已知中，，则的最小值是A.8 B.9 C.16 D.18参考答案：D由定义可知,由，得，即，所以，所以，即。所以，当且仅当，即取等号，解得，所以的最小值为18，选D.5.已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|｝，则M∩N＝（

）A．

B．｛x|0＜x＜3

C．｛x|1＜x＜3

D．｛x|2＜x＜3参考答案：D6.复数z=（i是虚数单位）的共轭复数为(

) A．﹣i B．i C．﹣i D．i参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答： 解：复数z===i的共轭复数是﹣i．故选：C．点评：本题考查了用复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．7.如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值（

）A．

B.C.

D.参考答案：【知识点】二次函数的性质．B5

【答案解析】A

解析：由得：，（0＜k＜1）．由题设得∫01﹣k[（x﹣x2）﹣kx]dx=∫01（x﹣x2）dx，即∫01﹣k[（x﹣x2）﹣kx]dx=（x2﹣x3）|01=，∴（1﹣k）3=，∴k=1﹣，故选：A【思路点拨】先由得，根据直线y=kx分抛物线y=x﹣x2与x轴所围成图形为面积相等的两个部分得∫01﹣k[（x﹣x2）﹣kx]dx=∫01（x﹣x2）dx，下面利用定积分的计算公式即可求得k值．8.若集合，集合，则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（）A．（0，3] B．[﹣1，3] C．（3，+∞） D．（0，﹣1）∪（3，+∞）参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】根据指数函数的性质求出函数的值域化简集合A，求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：集合A={y|y=2x}=（0，+∞），B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），∴A∩B=（3，+∞）故选C．10.已知，则等于A．0

B．－4

C．－2

D．2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则

，函数的值域为

．参考答案：12.若，则=_________.参考答案：13.数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列： 有如下运算和结论： ① ②数列是等比数列； ③数列的前n项和为 ④若存在正整数k，使 其中正确的结论有

（填写序号）。参考答案：①③④略14.随机变量服从正态分布，若，则

．参考答案：0.25915.定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“等比函数”。现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则其中是“等比函数”的的序号为

．参考答案：略16.椭圆两焦点为、，在椭圆上，若△的面积的最大值为12，则椭圆方程为

；参考答案：当点P为椭圆的短轴顶点时，△的面积的最大，此时△的面积的最大值为，所以椭圆方程为。【答案】【解析】略17.平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为______________________参考答案：由得，所以。即的最小值为。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知函数为常数）．

(1)当时，求f（x)的单调递减区间；

(2)若a<0，且对任意的.x［1,e］.，f（x）≥(a－2)x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：略19.已知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足（n∈N+）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用递推关系与等差数列的通项公式可得an；（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵（n∈N+）．∴当n=1时，4a1=，解得a1=1．当n≥2时，4an=4（Sn﹣Sn﹣1）=﹣，化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，∵数列{an}各项均为正数，∴an﹣an﹣1=2．∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2．∴an=2n﹣1．（2）=（2n﹣1）?2n﹣1．∴数列{bn}的前n项和Tn=1+3×2+5×22+…+（2n﹣1）?2n﹣1，∴2Tn=2+3×22+…+（2n﹣3）?2n﹣1+（2n﹣1）?2n，∴﹣Tn=1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）?2n=﹣1﹣（2n﹣1）?2n=（3﹣2n）?2n﹣3，∴Tn=（2n﹣3）?2n+3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R．（Ⅰ）求点P轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l距离的最大值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）设点P（x，y），由点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R，能求出点P的轨迹的直角坐标方程．（Ⅱ）求出直线l的直角坐标方程为，由P的轨迹是圆心为（0，2），半径为2的圆，求出圆心到直线的距离，从而能求出点P到直线的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），∵点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈R，∴，且参数a∈R，∴点P的轨迹的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为：ρ=，∴，∴，∴，∴直线l的直角坐标方程为，由（1）知点P的轨迹是圆心为（0，2），半径为2的圆，∴圆心到直线的距离d==4，∴点P到直线的距离的最大值为4+2=6．【点评】本题考查点的轨迹的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．21.已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点F在y轴正半轴上，圆心在直线上的圆E与x轴相切，且E，F关于点对称.（1）求E和的标准方程；（2）过点M的直线与E交于A，B，与交于C，D，求证：.参考答案：解：（1）设的标准方程为，则．已知在直线上，故可设．因为关于对称，所以解得

所以的标准方程为．因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．（2）设的斜率为，那么其方程为，则到的距离，所以．由消去并整理得：．设，则，那么．所以．所以，即．

22.设函数是定义在R上的奇函数，且函数的图象在处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意都有成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若对任意都有成立，求实数的取值范围．参考答案：解析：（Ⅰ）∵

函数是定义在R上的奇函数，∴