9.4 矩形、菱形、正方形（第4课时）（同步课件）-2023-2024学年八年级数学下册同步课堂（苏科版）

第9章·中心对称图形——平行四边形

9.4矩形、菱形、正方形（4）

第4课时菱形的判定学习目标1.探索并证明菱形的判定定理;2.能应用菱形的判定定理解决问题，进一步体会推理的基本方法.

将2张等宽的矩形纸片叠合在一起(如图)，请你猜想它是什么特殊的四边形？请动手叠一叠.问题情境BADC1.我们知道，菱形的四条边都相等．反过来，四条边都相等的四边形是菱形吗？思考与探索证明：∵AB=BC=CD=AD，∴AB=CD，BC=AD.∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形.已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.BADC思考与探索2.我们知道，当平移一个平行四边形活动框架的一边，使这个平行四边形成菱形时，它的两条对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？BADCO已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O

，AC⊥BD.求证：▱ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴OA=OC.又∵AC⊥BD,∴BD是线段AC的垂直平分线.∴BA=BC.

∴▱ABCD是菱形.还有其它证明方法吗？新知归纳四边相等的四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.符号语言：∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形.∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形.BADCO新知归纳ABCD四边形ABCD四边相等BD▱ABCDAC有一组邻边相等对角线互相垂直判断一个四边形是菱形有哪些方法？BADCO菱形ABCD对角线互相垂直的四边形是菱形吗？讨论与交流新知巩固①有一组邻边相等的四边形是菱形.()②四条边都相等的四边形是菱形.()③对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形.()④对角线互相垂直的四边形是菱形.()⑤对角线互相垂直平分的四边形是菱形．()判断：×√√×√新知应用BADC猜想：四边形ABCD是菱形.易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.EF

例题讲解例1已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．OBADCFE12证法1：∵AD∥BC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC，∴▱AFCE是菱形.∵EF垂直平分AC，∴AE=CE，∴▱AFCE是菱形.例题讲解例1已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．OBADCFE12证法2：∵AD∥BC，∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF.∴AE=CF.∵EF垂直平分AC，∴AE=CE，AF=CF.∴AE=CE=AF=CF.∴四边形AFCE是菱形.1.如图，E、F、G、H分别是矩形ABCD各边的中点，四边形EFGH是怎样的特殊四边形？证明你的结论?解：四边形EFGH是菱形.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵E、F、G、H分别是矩形的各边中点∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=DG=CG∴△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH(SAS)∴EH=EF=GF=GH，∴四边形EFGH是菱形.ABCDGFHE新知巩固中点四边形新知巩固2.

已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB.求证：四边形OBEC是菱形.ABCDOE

新知巩固3.

已知：如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F.求证：四边形ABEF是菱形.ABCDEFABC

课堂小结9.4矩形、菱形、正方形(4)有一组邻边相等的平行四边形四边相等的四边形对角线互相垂直的平行四边形1.下列命题中正确的是(

)A.一组邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直的四边形是菱形D.对角线相等的四边形是菱形当堂检测B当堂检测2.

如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是()A.

AB＝AC B.

AD＝BD

C.

BE⊥AC

D.

BE平分∠ABCDDEFABC当堂检测3.在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF.则可以得到四边形AEDF的形状(

)A.仅仅只是平行四边形B.是矩形

C.是菱形D.无法判断C当堂检测第4课时菱形的判定4.如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件__________________________________________________，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)答案不唯一，如OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等BADCO当堂检测5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC＝10，则四边形OCED的周长是________.20EABCDO当堂检测6.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AO＝OC＝6cm，BO＝OD＝8cm，AB＝10cm，四边形ABCD是菱形吗？请说明理由.BADCO解：四边形ABCD是菱形，理由如下：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AO＝6cm，BO＝8cm，AB＝10cm，∴AO2＋BO2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．当堂检测7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别在边AD、BC上，BF＝DE＝3.求证：四边形AFCE是菱形．

EBACDF当堂检测8.如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；ADCBOEF证明：在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形．当堂检测8.如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF.(2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA.∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，∴▱EBFD是菱形．ADCBOEF9.已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE