2019届江苏专版高考数学一轮复习第二章函数2.5幂函数函数与方程讲义

§2.5幂函数、函数与方程高考数学一、幂函数的图象及性质1.幂函数的图象都过点(1,1).2.在幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=

,y=x-1中,y=x,y=x3,y=x-1为奇函数,y=x2为偶函数;定义域为R的是y=x,y=x2,y=x3,定义域为[0,+∞)的是y=

;在x∈(0,+∞)内是增函数的是①

y=x,y=x2,y=x3,y=

,是减函数的是②

y=x-1

.知识清单2.若二次函数y=f(x)恒满足f(x+m)=f(-x+n),则其图象的对称轴为直

线

x=

.3.函数的零点(1)一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f

(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.(2)对于任意函数,只要它的图象是连续不间断的,其函数的零点具有下

列性质:当它通过零点(不是偶次零点)时函数值变号;相邻两个零点之间

的所有函数值保持同号.4.用二分法求方程近似解的步骤对于连续函数f(x),S1(确定有解区间,保证区间内只有一解)——根据f(x)的图象,确定区

间[a,b],使f(a)f(b)<0,从而使(a,b)上存在唯一点c,满足f(c)=0.S2求区间(a,b)的中点x1,计算f(x1):(1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点;(2)若f(a)f(x1)<0,此时方程的根c∈(a,x1),记这个区间为(a,b);(3)若f(a)f(x1)>0,此时方程的根c∈(x1,b),记这个区间为(a,b).S3在给定精确度的情况下,若a、b的近似值相同均为P,则方程的近似

解即为P(即c≈P),否则重复S2~S3.判断函数零点个数的常用方法1.解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则方程有几个解,函数就有几个零

点.2.函数零点存在性定理:利用该定理时,要求函数在[a,b]上的图象是连续

的曲线,且f(a)·f(b)<0.结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶性、周期

性、对称性)才能确定函数有多少个零点.3.数形结合法:转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就有

几个不同的零点.例1若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则函数y

=f(x)-log4|x+2|的零点个数为

.方法技巧方法1解析在同一坐标系中作出y=f(x)和y=log4|x+2|的图象,由图知交点个数

为6,所以函数y=f(x)-log4|x+2|的零点个数为6.

答案6利用函数零点求参数的值或取值范围已知函数有零点(方程有根),求参数的值或取值范围常用的方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式

确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象,然后数形结合求解.例2

(2017江苏南通第三次调研,12)已知函数f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)=

(f'(x)为f(x)的导函数).若方程g(f(x))=0有四个不等的实根,则a的取值范围是

.方法2解析易求得f'(x)=2x+a.则g(f(x))=0⇒

或

⇒

或

当a=0时不符合题意;当a<0时,由f(x)=0,得x=0或x=-a两个解,f(x)=-a>0有两个与0,-a不同的根,

此时g[f(x)]=0共有四个不同根;当a>0时,由f(x)=0,得x=0,或x=-