2025高考数学二轮复习-专题6 第1讲 直线与圆【课件】

第1讲直线与圆专题六2025内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.两条直线平行与垂直的判定(1)若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则①两直线平行l1∥l2⇔k1=k2;②两直线垂直l1⊥l2⇔k1·k2=-1.需注意分析两直线斜率是否有不存在的情况

(2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为零),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为零),则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0;l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0.名师点析1.对两条不重合的直线,当斜率都不存在时,两直线平行;当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,两直线垂直,此种情形易忽略.2.直线的一般式方程中,垂直与平行的充要条件包含了直线斜率不存在的情况.2.两个距离公式

误区警示应用两平行线间距离公式时,注意两平行线方程中x,y的系数应对应相等.3.圆的方程(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.(2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).不满足这个条件的方程不表示圆

(3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.关键能力•学案突破突破点一直线的方程[例1-1]“m=-1”是“直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的(

)A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件A解析

若直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行,则m2-1=0,∴m=±1.当m=1时,两条直线都为x+y=0,即重合,舍掉;当m=-1时,直线分别为x-y+4=0,x-y-2=0,符合题意.故“m=-1”是“直线x+my-2m+2=0与直线mx+y-m+1=0平行”的充要条件.[例1-2]三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上,我们把这条直线称为该三角形的欧拉线.若△ABC的顶点都在圆x2+y2=4上,边AB所在的直线方程为x+2y=1,且AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为

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答案

2x-y=0

解析

由题意可得△ABC的欧拉线过圆心(0,0)且与直线x+2y=1垂直,所以欧拉线方程的斜率为2,所以△ABC的欧拉线方程为2x-y=0.[例1-3]已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若在坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则P点坐标为

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解题心得解直线方程问题注意几个误区(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.如例1-1.(2)若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.(3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.对点练1(1)若平面内两条平行线l1:x+(a-1)y+2=0,l2:ax+2y+1=0间的距离为,则实数a的值是(

)A.-2 B.-2或1 C.-1 D.-1或2C(2)圆x2+y2+4y=0的圆心到经过点M(-3,-3)的直线l的距离为,则直线l的方程为(

)A.x+2y-9=0或2x-y+3=0B.x+2y+9=0或2x-y+3=0C.x+2y+9=0或2x-y-3=0D.x-2y+9=0或2x-y+3=0B所以直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-3,此时圆心(0,-2)到直线的距离为3,不满足题意.综上,直线l的方程为x+2y+9=0或2x-y+3=0.(3)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中延伸出一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在位置为B(-1,-4),若将军从点A(-1,2)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3.则“将军饮马”的最短总路程为(

)C解析

如图所示,设点B关于直线x+y=3的对称点为C(a,b),突破点二圆的方程[例2-1]已知圆C的圆心坐标是(0,m),若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则圆C的标准方程为

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x2+(y+2)2=5[例2-2](2022·全国乙,理14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为

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[例2-3](2024·广西桂林、来宾、北海三模)在中国传统文化中,“九”被视为至尊之数,象征长寿、福气和完美,若直线l与圆C相切,直线l在两坐标轴上的截距均为9,圆C的半径为9,点C到x轴的距离为9,则圆C的一个方程为

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(答案不唯一)规律方法求圆的方程的两种方法(1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.对点练2(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,若点M(0,)在圆C上,则圆C的方程为

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(2)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+2y=4与x轴交于A点,直线m:kx+y-1=0与y轴及直线l分别交于B点、C点,且A,B,C,O四点共圆,则此圆的标准方程是

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(3)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=3x上在第三象限内的点,B(-10,0),以线段AB为直径的圆C(C为圆心)与直线l相交于另一个点D,AB⊥CD,则圆C的标准方程为

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(2)由题意A,B,C,O四点共圆且OA⊥OB,所以CB⊥CA,则直线l与m垂直,故k=-2.(3)根据题意,设A的坐标为(2a,6a),其中a<0,又由B(-10,0),则AB的中点C的坐标为(a-5,3a),则以AB为直径的圆的方程为(x-2a)(x+10)+y(y-6a)=0.突破点三直线与圆、圆与圆的位置关系命题角度1

直线与圆的位置关系AA解析

圆M:x2+y2-4x-6y+12=0化成标准形式为(x-2)2+(y-3)2=1,故圆心为M(2,3),半径为1,直线与坐标轴交于点A(4,0),点B(0,2).如图,当∠PAB最小时,PA与圆M相切,连接MP,AM,因为PM⊥PA,B2.直线与圆的位置关系的判断方法(1)点线距离法.设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则d<r⇔直线与圆相交,d=r⇔直线与圆相切,d>r⇔直线与圆相离.(2)判别式法.设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),联立方程组

消去y,得到关于x的一元二次方程,其根的判别式为Δ,则①直线与圆相离⇔Δ<0;②直线与圆相切⇔Δ=0;③直线与圆相交⇔Δ>0.对点练3(1)(多选题)(2024·湖南衡阳二模)已知圆C:x2+y2=4,P是直线l:x+y-6=0上一动点,过点P作直线PA,PB分别与圆C相切于点A,B,则(

)BCD(2)(2023·新高考Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值

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2命题角度2

圆与圆的位置关系[例3-4]已知圆C1:x2+y2-2x+my+1=0(m∈R)关于直线x+2y+1=0对称,圆C2的标准方程是(x+2)2+(y-3)2=16,则圆C1与圆C2的位置关系是(

)A.相离

B.相切

C.相交

D.内含B[例3-5]圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0相交于A,B两点,则过A,B两点的直线方程为

,A,B两点间的距离为

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答案

解析

根据题意,圆C1:(x-1)2+(y-2)2=4,其圆心为C1(1,2),半径r=2,其一般方程为x2+y2-2x-4y+1=0,规律方法几何法判断圆与圆的位置关系设圆C1:(x-a1)2+(y-b1)2=,圆C2:(x-a2)2+(y-b2)2=,两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下:(1)d>r1+r2⇔两圆外离;(2)d=r1+r2⇔两圆外切;(3)|r1-r2|<d<r1+r2⇔两圆相交;(4)d=|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆内切;(5)0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆内含.对点练4(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(

)A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0A解析

(1)圆(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径为1,记(3,1)为点D坐标,则以CD为直径的圆的方程为因为过点D作圆(x-1)2+y2=1的两条切线的切点分别