2019届江苏专用高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.3函数的奇偶性与周期性讲义理苏教版

§2.3函数的奇偶性与周期性基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.函数的奇偶性知识梳理奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A如果对于任意的x∈A，都有

，那么称函数y＝f(x)是偶函数关于

对称奇函数如果对于任意的x∈A，都有

，那么称函数y＝f(x)是奇函数关于

对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有

，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中

的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)存在一个最小知识拓展1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝

，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－

，则T＝2a(a>0).思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(

)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.(

)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(

)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(

)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(

)×√√√√考点自测1.(教材改编)对于定义域是R的任意奇函数f(x)，下列结论正确的有______.(填序号)①f(x)－f(－x)＞0；

②f(x)－f(－x)≤0；③f(x)·f(－x)≤0; ④f(x)·f(－x)＞0.①②显然不正确.对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故③正确，④不正确.答案解析③2.(教材改编)函数y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(|a|)＝3，则f(－a)＝_____.若a≥0，则f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3；若a<0，则f(－a)＝f(|a|)＝3.故对a∈R，总有f(－a)＝3.答案解析33.(教材改编)若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝_____.∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立，∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，∴1－a＝0，∴a＝1.答案解析14.(教材改编)设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0，1]上的图象如图所示，则它在[－1，0]上的解析式为___________.由题意知f(x)在[－1，0]上为一条线段，且过(－1，1)、(0，2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.答案解析f(x)＝x＋2几何画板展示5.(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝______.∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又0<x<1时，f(x)＝4x，答案解析－2＝－2＋0＝－2.题型分类深度剖析题型一判断函数的奇偶性例1

(1)下列函数为奇函数的是_____.①f(x)＝2x－

；②f(x)＝x3sinx；③f(x)＝2cosx＋1；④f(x)＝x2＋2x.①中，函数f(x)的定义域为R，答案解析①∴f(x)为奇函数.(2)判断函数f(x)＝

的奇偶性.当x>0时，－x<0，f(x)＝－x2＋x，∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(x)＝x2＋x，∴f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x).∴对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f(－x)＝－f(x).∴函数f(x)为奇函数.解答(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤思维升华(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.跟踪训练1(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是_____.①y＝

；

②y＝lg|x|；③y＝(x－1)2；

④y＝2x.②中，函数y＝lg|x|的定义域为{x|x≠0}且lg|－x|＝lg|x|，∴函数y＝lg|x|是偶函数.答案解析②(2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则下列关于函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性的说法正确的是______.①F(x)是奇函数，G(x)是奇函数；②F(x)是偶函数，G(x)是奇函数；③F(x)是偶函数，G(x)是偶函数；④F(x)是奇函数，G(x)是偶函数.答案解析②F(x)，G(x)的定义域均为(－2，2)，由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)，∴F(x)是偶函数，G(x)是奇函数.题型二函数的周期性例2

(1)(2016·淮安模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2017)＋f(2019)＝_____.答案解析0由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(1)，f(2019)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2017)＋f(2019)＝0.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝

，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝______.答案解析2.5由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5).∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.故函数的周期为4.引申探究例2(2)中，若将f(x＋2)＝

改为f(x＋2)＝－f(x)，其他条件不变，则f(105.5)的值为_____．f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为4(下同例题)．2.5答案解析函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.思维升华跟踪训练2

定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝_____.答案解析339∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝339.题型三函数性质的综合应用命题点1解不等式问题例3

(1)(2016·南通模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f()的x的取值范围是________.因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，答案解析几何画板展示(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝

，则实数a的取值范围为_________.∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，答案解析解得－1<a<4.(－1，4)命题点2求参数问题例4

(1)函数f(x)＝lg(a＋)为奇函数，则实数a＝______.根据题意得，使得函数有意义的条件为a＋>0且1＋x≠0，由奇函数的性质可得f(0)＝0.所以lg(a＋2)＝0，即a＝－1，经检验a＝－1满足函数的定义域.－1答案解析答案解析－10因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，即3a＋2b＝－2. ①即b＝－2a. ②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|).②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.思维升华跟踪训练3(1)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝_____.函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，答案解析(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系为__________________.答案解析f(－25)<f(80)<f(11)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1).因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2，2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1).所以f(－25)<f(80)<f(11).考点分析抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等．一般以填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现．此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视．

抽象函数问题高频小考点2一、抽象函数的定义域典例1已知函数y＝f(x)的定义域是[0，8]，则函数g(x)＝

的定义域为_______.要使函数有意义，[1，3)答案解析解得1≤x<3，所以函数g(x)的定义域为[1，3).二、抽象函数的函数值典例2若定义在实数集R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝

，对任意x∈R恒成立，则f(2019)＝____.答案解析1即函数f(x)的周期是4，所以f(2019)＝f(505×4－1)＝f(－1).因为函数f(x)为偶函数，所以f(2019)＝f(－1)＝f(1).即f(1)＝1，所以f(2019)＝f(1)＝1.三、抽象函数的单调性与不等式典例3设函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y).若f(3)＝1，且f(a)>f(a－1)＋2，求实数a的取值范围.规范解答所以2＝2f(3)＝f(3)＋f(3)＝f(9).解因为f(xy)＝f(x)＋f(y)且f(3)＝1，又f(a)>f(a－1)＋2，所以f(a)>f(a－1)＋f(9).再由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(a)>f[9(a－1)]，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，课时作业123456789101112131.(教材改编)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝______.f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，得f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2.答案解析x2－2因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)且f(x)在(0，＋∞)上单调递减.*2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是_______.答案解析123456789101112133.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝2x2，则f(2019)＝____.由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，由－1∈(－2，0)得f(－1)＝2，∴f(2019)＝2.答案解析2123456789101112134.已知f(x)＝lg(＋a)为奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是_________.由f(x)＋f(－x)＝0，答案解析(－1，0)123456789101112135.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝

则f(f(－16))＝________.由题意f(－16)＝－f(16)＝－log216＝－4，答案解析123456789101112136.(2016·盐城模拟)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是_____.依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，答案解析12345678910111213答案解析2123456789101112138.(2016·常州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)是偶函数，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝____.由f(x＋1)是偶函数得f(－x＋1)＝f(x＋1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x－1)，即－f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，即f(x)＋f(x＋2)＝0，所以f(1)＋f(3)＝0，f(2)＋f(4)＝0，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0.答案解析0123456789101112139.函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝

＋1，则当x<0时，f(x)＝__________.∵f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝

＋1，∴当x<0时，－x>0，f(－x)＝

＋1＝－f(x)，答案解析1234567891011121310.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.答案解析①②12345678910111213在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0，1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1，0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故②正确；由②知，f(x)在[0，2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.1234567891011121311.(2016·江苏苏北四市二调)定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log2(x＋2)＋(a－1)x＋b(a，b为常数)，若f(2)＝－1，则f(－6)的值为____.由已知得f(0)＝0＝1＋b，∴b＝－1，又f(2)＝2＋2(a－1)－1＝－1，∴a＝0，∴f(x)＝log2(x＋2)－x－1(x≥0)，∴f(－6)＝－f(6)＝－3＋6＋1＝4.答案解析41234567891011121312.(2016·江苏扬州中学开学考试)已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，如果∀x1∈[－2，2]，∃x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是____________.答案解析[－5，－2]12345678910111213∵f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，∴f(0)＝0，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1的值域为(0，3]，∴当x∈[－2，2]时，f(x)的值域为[－3