北京市朝阳区高考数学一模试卷(文科)-

第=page22页，共=sectionpages22页第=page11页，共=sectionpages11页高考数学一模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）在复平面内，复数z=对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限设实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（）A.1 B.2 C.3 D.4已知集合A={1，2，3，4，5}，且A∩B=A，则集合B可以是（）A.{x|2x＞1} B.{x|x2＞1} C.{x|log2x＞1} D.{1，2，3}已知△ABC中，∠A=120°，a=，三角形ABC的面积为，且b＜c，则c-b=（）A. B.3 C.-3 D.已知a，b，c∈R，给出下列条件：①a2＞b2；②；③ac2＞bc2，则使得a＞b成立的充分而不必要条件是（）A.① B.② C.③ D.①②③某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为()

A. B. C. D.已知圆C：（x-2）2+y2=2，直线l：y=kx-2．若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（）A.[0，2）∪（2，+∞） B.[2]

C.（-∞，0） D.[0，+∞）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A.5 B.6 C.7 D.8二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）已知平面向量=（2，-1），=（1，x）．若∥，则x=______．执行如图所示的程序框图，输出的x值为______．

双曲线-y2=1的右焦点到其一条渐近线的距离是______．能说明“函数（x）的图象在区间[0，2]上是一条连续不断的曲线，若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题的一个函数是______．天坛公园是明清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所•天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石铺成（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是______．

若不等式logax+x-4＞0（a＞0且a≠1）在区间（0，2）内有解，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx．

（Ⅰ）求f（）的值及f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若函数f（x）在区间[0，m]上单调递增，求实数m的最大值．

在等比数列{an}中，a1=，a4=4，n∈N*．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=an+n-6，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＞0，求n的最小值．

某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客,统计其乘车等待时间指乘客从进站口到乘上车的时间,乘车等待时间不超过40分钟将统计数据按,,,,分组,制成频率分布直方图：

Ⅰ求a的值；

Ⅱ记A表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟“,试估计A的概率；

Ⅲ假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计,记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为,,求的值,并直接写出与的大小关系．

如图，在多面体ABCDEF中平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD=90°，AB=AD=1，BC=2．

（Ⅰ）求证：AF⊥CD；

（Ⅱ）若M为线段BD的中点，求证：CE∥平面AMF；

（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．

已知函数f（x）=aex-4x，a∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当a=1时，求证：曲线y=f（x）在抛物线y=-x2-1的上方．

已知点M（x0，y0）为椭圆C：+y2=1上任意一点，直线l：x0x+2y0y=2与圆（x-1）2+y2=6交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；

（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；

（Ⅲ）判断∠AFB是否为定值，并说明理由．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：==-i+2

所对应的点为（2，-1），该点位于第四象限

故选：D．

根据1=-i2将复数进行化简成复数的标准形式，得到复数所对应的点，从而得到该点所在的位置．

本题主要考查了复数代数形式的运算，复数和复平面内的点的对应关系，属于基础题．

2.【答案】B

【解析】解：作出实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z=2x+y得y=-2x+z，

平移直线y=-2x+z，

由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，

此时z最大

由，解得A（1，0），

代入目标函数z=2x+y得z=2×1+0=2．

即目标函数z=2x+y的最大值为2．

故选：B．

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

3.【答案】A

【解析】解：∵A∩B=A；

∴A⊆B，且A={1，2，3，4，5}；

∴A．{x|2x＞1}={x|x＞0}，满足A⊆{x|x＞0}；

B．{x|x2＞1}={x|x＜-1，或x＞1}，不满足A⊆{x|x＜-1，或x＞1}；

C．{x|log2x＞1}={x|x＞2}，不满足A⊆{x|x＞2}；

D．不满足A⊆{1，2，3}．

故选：A．

由A∩B=A可得出A⊆B，可分别求出选项A，B，C的各集合，看是否满足A是该集合的子集即可．

考查列举法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，指数函数和对数函数的单调性．

4.【答案】B

【解析】解：△ABC中，∵S=bcsinA=bc=，

∴bc=4．

由余弦定理可得cosA===-，

∴=-，

解得（c-b）2=9，又b＜c，

∴c-b=3．

故选：B．

根据面积求出bc，再利用余弦定理即可求出c-b的值．

本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．

5.【答案】C

【解析】【分析】

​根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．

【解答】

解：①由a2＞b2；得a，b关系不确定，无法得a＞b成立，

②当a＜0，b＞0时，满足但a＞b不成立；

③若ac2＞bc2，得c≠0，则a＞b，反之不成立，即③是a＞b成立的充分不必要条件，

故选：C．

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．

画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．

​【解答】

解：由题意可知：几何体是正方体的一部分，是三棱锥，

所以该三棱锥的体积为：=．

故选D．

7.【答案】D

【解析】解：如图所示，

直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，

则∠CPA=45°，∴|CP|=×=2．

设P（x，y），则点P满足：（x-2）2+y2=4，与y=kx-2联立化为：

（1+k2）x2-（4k+4）x+4=0，

∴△=（4k+4）2-4×4（1+k2）≥0，

解得k≥0．

∴实数k的取值范围是[0，+∞）．

故选：D．

如图所示，直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线11，l2，使得l1⊥l2，可得∠CPA=45°，可得|CP|=2．设P（x，y），则点P满足：（x-2）2+y2=4，与y=kx-2联立化简，利用△≥0，即可得出k的取值范围．

本题考查了直线与圆相切的性质、圆的方程、一元二次方程有解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8.【答案】B

【解析】解：设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），

∩B∩C

则n（A）=14，n（B）=10，n（C）=8，n（A∪B∪C）=20，

因为n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），

所以14+10+8-20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤=6．

故选：B．

设周一，周二，周三开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）=n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．

本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题．

9.【答案】-

【解析】解：∵；

∴2x+1=0；

∴．

故答案为：．

根据即可得出2x+1=0，解出x即可．

考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．

10.【答案】

【解析】解：当x=2，n=1时，n≤2成立，则x==，n=2，

此时n≤2成立，则x==，n=3，

此时n≤2不成立，

输出x=，

故答案为：

根据程序框图进行模拟计算即可．

本题主要考查程序框图的应用，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．

11.【答案】1

【解析】解：双曲线-y2=1的右焦点坐标为（，0），一条渐近线方程，x-2y=0

∴双曲线-y2=1的右焦点到一条渐近线的距离为=1．

故答案为：1．

确定双曲线的右焦点与一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得到结论．

本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．

12.【答案】f（x）=（x-1）2

【解析】解：“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题，

即“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）有零点”为真命题，

取函数f（x）=（x-1）2，可得：f（0）•f（2）=1×1=1＞0，f（1）=0，

故答案为：f（x）=（x-1）2

取函数f（x）=（x-1）2，可得：f（0）•f（2）=1×1=1＞0，f（1）=0，满足“若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）有零点”为真命题，即”若f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内无零点”为假命题，得解

本题考查了函数的零点与方程根的关系及零点定理，属中档题．

13.【答案】243

3402

【解析】解：由题意知每环石块数构成等差数列，首项a1=9，d=9，

则a27=a1+26d=9+26×9=243，

上、中、下三层坛所有的扇面形石块数为前27项和，

即S27====3402，

故答案为：243，3402

根据条件知每环石块数构成等差数列，首项a1=9，d=9，利用等差数列的通项公式以及前n项和公式进行计算即可．

本题主要考查等差数列的应用，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．

14.【答案】（0，1）∪（1，）

【解析】解：当a＞1时，函数y=logax+x-4是增函数，可得f（2）=loga2+2-4＞0．解得1＜a．

当a∈（0，1）时，x→0时，f（x）＞0，x→2时，f（2）=loga2+2-4＜0，满足题意，

所以实数a的取值范围是（0，1）∪（1，）．

故答案为：（0，1）∪（1，）

通过a＞1与0＜a＜1，转化求解不等式logax+x-4＞0（a＞0且a≠1）在区间（0，2）内有解，列出不等式组，即可求解实数a的取值范围．

本题考查分段函数的应用，函数与不等式的关系，考查转化思想以及计算能力．

15.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，

则f（）=sin（2×+）+=sin+==1，

函数的最小周期T==π．

（Ⅱ）由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

即函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，

当k=0时，函数的单调递增区间为[-，]，

若函数f（x）在区间[0，m]上单调递增，

则[0，m]⊆[-，]，

即0＜m≤，

即实数m的最大值为．

【解析】（Ⅰ）利用倍角公式结合辅助角公式进行化简求解即可．

（Ⅱ）根据三角函数的单调性的性质求出函数的单调递增区间，结合单调区间关系进行求解即可．

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．

16.【答案】解：（Ⅰ）由数列{an}为等比数列，且a1=，a4=4，得，

∴，

即：q3=8．

解得q=2．

∴数列{an}的通项公式\

（Ⅱ）由题意，可知：

，

∴Sn=b1+b2+…+bn

=（-5+2-1）+（-4+20）+…+（n-6+2n-2）

∴+…+2n-2）=．

当n≥5时，，，∴Sn＞0；

当n=4时，；

当n=3时，；

当n=2时，；

当n=1时，．

∴n的最小值为5．

【解析】本题第（Ⅰ）题可根据等比数列的定义求出数列{an}的通项公式；第（Ⅱ）题先求出数列{bn}的一般项，通过对一般项的观察发现数列{bn}是一个等差数列加上一个等比数列，在求数列{bn}的前n项和为Sn可将等差数列和等比数列分别求和再相加，然后再判断Sn＞0时n的最小值．

本题第（Ⅰ）题主要考查等比数列的基本概念；第（Ⅱ）题求数列{bn}的前n项Sn，时采用的是裂项法分别求和．本题属中档题．

17.【答案】解：（Ⅰ）∵0.012×5×3+0.040×5×2+0.048×5+a×5=1，

∴a=0.036．

（Ⅱ）由题意知该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为：

（0.012+0.040+0.048）×5=0.5，

∴估计A的概率P（A）=0.5．

（Ⅲ）=（0.012×5+0.040×10+0.048×15+0.040×20+0.036×25+0.012×30+0.012×35）×5=18.3．

由频率分布直方图得＜．

【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质能求出a．

（Ⅱ）由频率分布直方图求出该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率，由此能估计A的概率．

（Ⅲ）由频率分布直方图的性质能求出，由频率分布直方图得＜．

本题考查实数值的求法，考查概率、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18.【答案】（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AF⊥AD，

又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，AF⊂平面ADEF，

∴AF⊥平面ABCD，

又CD⊂平面ABCD，∴AF⊥CD；

（Ⅱ）证明：延长AM，交BC于G，

∵AD∥BC，M为BD的中点，∴△BGM≌△DAM，

∴BG=AD=1，

∵BC=2，∴GC=1，

由已知FE=AD=1且FE∥AD，

又∵AD∥GC，∴FE∥GC，且FE=GC．

∴四边形GCEF为平行四边形，则CE∥GF，

∵CE⊄平面AMF，GF⊂平面AMF，

∴CE∥平面AMF；

（Ⅲ）解：设G为BC中点，连接DG，EG，

由已知DG∥AB，∴DG∥平面AFB，

又∵DE∥AF，∴DE∥平面AFB，

∴平面DEG∥平面AFB．

∵AD⊥AB，AD⊥AF，∴AD⊥平面ABF，

∴多面体AFB-DEG为直三棱柱．

∵AB=AF=AD=1，且∠BAF=90°，

∴V1=V三棱柱AFB-DEG=S△AFB•AD=，

由已知DG∥AB，且DG=AB，

∴DG⊥GC且DG=GC=1，

又∵DE∥AF，AF⊥平面CDG，

∴DE⊥平面CDG，

∵DE=AF=1，

∴=．

∴．

【解析】（Ⅰ）由四边形ADEF为正方形，得AF⊥AD，再由平面ADEF⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质可得AF⊥平面ABCD，从而得到AF⊥CD；

（Ⅱ）延长AM，交BC于G，证明△BGM≌△DAM，得到BG=AD=1，再由已知证明四边形GCEF为平行四边形，得到CE∥GF，然后利用线面平行的判定可得CE∥平面AMF；

（Ⅲ）设G为BC中点，连接DG，EG，分别证明DG∥平面AFB，DE∥平面AFB，可得平面DEG∥平面AFB．进一步证明AD⊥平面ABF，得到多面体AFB-DEG为直三棱柱．然后利用三棱柱AFB-DEG与三棱锥E-DGC的体积和求求多面体ABCDEF的体积．

本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求解多面体的体积，是中档题．

19.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=aex-4，定义域是R，

当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在R递减，

当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ln，f（x）递增，

令f′（x）＜0，解得：x＜ln，f（x）递减，

故a≤0时，函数f（x）在R递增，

当a＞0时，函数f（x）在（ln，+∞）递增，在（-∞，ln）递减；

（Ⅱ）由题意，只需证明ex-4x+x2+1＞0，

设F（x）=ex-4x+x2+1，

则F′（x）=ex-4+2x，设G（x）=F″（x），

∵G′（x）＞0，故G（x）在R递增，

又G（0）=-3＜0，G（1）=e-2＞0，

故G（x）=0在（0，1）内有唯一解，

即为x0，即=4-2x0，

当x＜x0时，F′（x）＜0，F（x）递减，

当x＞x0时，F′（x）＞0，F（x）递增，

故F（x）min=F（x0）=-4x0++1=-