理论力学课件：达朗伯原理（动静法）

理论力学

达朗伯原理（动静法）

动量定理和质心运动定理11.1动量矩定理11.2平面运动微分方程11.4目录Contents刚体定轴转动微分方程11.3引言达朗伯原理由法国科学家达朗伯(J.leRondD‘Alembert1717--1783)在其著作《动力学专论》中提出。达朗伯原理将非自由质点系的动力学方程用静力学平衡方程的形式表述。或者说，将事实上的动力学问题转化为形式上的静力学平衡问题，既所谓“动静法”。12.1惯性力与达朗伯原理图示圆锥摆摆长为l，摆锤M

的质量m，在水平面内作匀速圆周运动，速度为v，锥摆的顶角为2φ。vPMlφ摆锤M受力如图，其加速度为令R=P+T则ma=R=P+

T摆锤M在受到P、T

的同时，将给施力体（地心和绳子）一对应的反作用力，反作用力的合力为TR'=－R=－ma此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”，称为惯性力。a

nφφφPTPTPTa

na

na

nRvRvRvR推广上例可得如下结论质点在作非惯性运动的任意瞬时，对于施力于它的物体会作用一个惯性力，该力的大小等于其质量与加速度的乘积，方向与其加速度方向相反。若用FI表示惯性力，则有FI=－ma此力是真实的力！此力又称为牛顿惯性力！说明一、质点的达朗伯原理设质点M

的质量为m，受力有主动力F、约束反力FN，加速度为ama=F+FN令FI=－ma结论（12-1）（12-2）在质点运动的任意瞬时，如果在其上假想地加上一惯性力FI，则此力与主动力、约束反力在形式上组成一平衡力系。这就是质点的达朗伯原理。形式上的平衡方程

F+FN+FI

=0则FFNFIaMFFNFIaFFNFIaFFNFIa则根据牛顿第二定律，有MM∑MO(Fi)

+

∑MO(

FNi)

+∑MO(

FIi)

=0在运动的任意瞬时，质点系的各质点的惯性力（虚加）与该质点系的主动力约束反力（真实作用）将组成形式上的平衡力系。二、质点系的达朗伯原理（i=1，2，…，n）设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为MI，受力有主动力Fi，约束反力FNi，加速度为ai，假想地加上其惯性力FIi=－MIai，则根据质点的达朗伯原理，Fi

、FNi与FIi应组成形式上的平衡力系，即Fi+

FNi+FIi=0对整个质点系来说:∑Fi+

∑

FNi+∑FIi=0质点系的达朗伯原理即质点系达朗伯原理的另一种形式：内力Fi(i)外力Fi(e)将质点系所受的力按内力、外力来分，∑Fi(e)

+

∑FIi=0∑MO(Fi(e))

+∑MO(

FIi

)

=0在运动的任意瞬时，虚加于质点系的各质点的惯性力与作用于该质点系的外力组成形式上的平衡力系。由于质点系的内力总是成对出现，所以，内力系的主矢及对任意点之矩的主矩恒为零，即质点系的动静法即外力系主矢惯性力系主矢外力系主矩惯性力系主矩应用质点系达朗伯原理说明在解决质点系动力学的两类基本问题上，达朗伯原理均适用。但若已知质点系的运动，需要求解该系统的约束反力或外力时，应用达朗伯原理尤其方便。应用达朗伯原理的关键是解决质点系的惯性力系的简化问题。质点系达朗伯原理的形式：例15-1图示飞轮质量为m，平均半径r，以匀角速度绕其中心轴转动。设轮缘较薄，质量均匀分布，轮辐的质量可以忽略。若不考虑重力的影响，求轮缘各横截面的张力。要求飞轮轮缘横截面的张力，可考虑用假想截面截取部分轮缘，则这部分轮缘在截面的张力及虚加的惯性力作用下处于“平衡”。ω

分析ωωωTA、TB与惯性力FIi组成形式上的平衡力系，ωFIiTBTAxyo解：截面A、B处的张力TA、TB为外力，用假想截面A、B截取四分之一轮缘为研究对象。AB将轮缘分成无数微元弧段，弧长为根据质点系达朗伯原理，列出“平衡方程”，得FIiTBTAABFIiTBTAABFIiTBTAAB已知飞轮m，r，，求轮缘各横截面的张力。ds=rd

，

d对每段虚加惯性力FIi∑FX

=0，∑FY

=0，

d

d

可知：

飞轮匀速转动时，轮缘各截面的张力相等，且正比于角速度的平方，与其平均半径成正比。

若飞轮轮缘的横截面面积为A，则飞轮轮缘横截面的平均拉应力为ωAB已求得飞轮截面A、B处的张力为12.2惯性力系的简化——一、刚体作平动aiaCMICFIiFIFI1m1aiaCCaiaCC结论平动刚体的惯性力系可简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。在同一瞬时，平动刚体内各点的加速度相等，设刚体质心C的加速度为aC，则在各质点上虚加对应的惯性力这些惯性力组成一同向平行力系。该力系简化为通过质心的合力当软绳FG被剪断瞬时板的加速度及AD、BE两绳的张力；当AD、BE两绳位于铅直位置时，板的加速度和两绳的张力。例2已知边长b=100mm的正方形均质板的质量为40kg，在铅直面内用三根软绳拉住，如图；求:FGADEB60°60°C解：例2已知b=100mm，m=40kg，求(1)剪断绳FI瞬时绳AD、BE的张力及板a。FGADEB60°60°C(1)绳FI被剪断后，板在其自身平面内作曲线平动，各点的速度、加速度均相同。板受力如图。bFAFB∵剪断绳FI瞬时，vA=0，∴aA=aA

=aC对板虚加惯性力，FI则根据达朗伯原理，有∑FX

=0，∑FY

=0，∑MC(F)=0，Gcos60°－FI

=0FA+FB－Gsin60°=0FI=maC解得FA=72N,FB=268Na=4.9m/s2,FAFBMIFAFB……①……②……③……④MIMIbxy需补充方程。例2

已知边长b=100mm，m=40kg，求(2)当AD、BE铅直时板a及两绳的张力。FGDE60°ABCMIFBFAaC

aCn(2)当AD、BE铅直时,板受力如图。设板质心的加速度如图。虚加板的惯性力系，且MIFBFAMIFBFAaC

aCnaC

aCnFInFI

aC

aCn则根据达朗伯原理，有FIn=maCn，FI

=maC

∑FX

=0，∑FY

=0，∑MC(F)=0，－FI

=0FA+

FB－MI－FIn=0……①……②……③……④根据动能定理，有联立上列各式，得……⑤……⑥lFA=FB=248.5NFInFI

FInFI

FInFI

ll设绳铅直时，质心速度为vC，且SSS二、刚体绕定轴转动设刚体具有质量对称面S，且S与转轴z垂直并交于O点，C为刚体的质心。选取与z轴平行的细长圆柱体为单元体，刚体转动时，每根单元体均作圆周平移。设第I根单元体的质心Ci

在对称面上，至转轴的距离为ri。根据平动刚体惯性力系的简化，该单元体的惯性力通过Ci

点riCFIi=FIi

+FIinFIi

=

m

riFIin

=

m

2ri对于其它单元体(i=1,2,…,n)，其惯性力也在对称面S内。所以，该刚体的惯性力系首先可以简化为在质量对称面S内的平面惯性力系。zOCi刚体具有与转轴垂直的质量对称面aω式中且riririCiCiCC刚体绕定轴转动惯性力系的简化(转轴垂直于质量对称面)(续)FI=∑FIi==－∑Mai由于∑Mai=maC所以惯性力系的主矢可写作FI=－maC惯性力系的主矩MIO=∑MO(FIi)

MIO=－JO

αriaC

OxyFIiFI

FInCMIO

aCn惯性力系的主矢为=－maC

－maCn=∑MO(FIi

)=∑(－FIi

ri)=－

∑MIri2JO现将上述平面惯性力系向已知点O简化，CCαaC

aCnaC

aCnFI

FInFI

FInFI

FInMIOMIO∑(－Mai)Ci刚体绕定轴转动惯性力系简化的结论（转轴垂直于质量对称面）当刚体有对称平面且绕垂直于对称面的定轴转动时,其惯性力系向转轴与此对称面的交点O简化，得到对称面内的一个惯性力系主矢和一个惯性力系主矩:主矢大小=刚体的质量与质心加速度的乘积方向与质心的加速度方向相反主矩大小=刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积转向与角加速度的转向相反FI

=

－maC

MIO=－JO

αaC

OxyCMIO

αaCn=

－maC

－maCnaCFIMIOFIMIOFIMIOFI均质杆OA质量为m，长为l，可绕O轴转动。图示瞬时，角速度为零，角加速度为α，求该瞬时杆的惯性力系向O轴简化的结果，并画出惯性主矢和惯性主矩的方向。例3解：OA杆作定轴转动,角速度为零，角加速度为α，MIO该杆的惯性力系向O轴简化的结果为MIOMIO例4

图示均质杆AB的长度为l，质量为m，可绕O轴在铅直面内转动，OA=l/3，用细线静止悬挂在图示水平位置。若将细线剪断，AB杆运动到与水平线成θ角时转轴O处的反力。θOAB已知AB杆长l，质量m，OA=l/3，求剪断绳后运动至θ角时转轴O处的反力。OABθC解：εωaC

aCnFI

FInXOYOMIO杆对转轴的转动惯量为剪断绳后,AB杆作定轴转动，设杆转至θ角时，其角速度、角加速度为ω、α，则质心的加速度为:杆受力如图，虚加上杆的惯性力系，且CGεωaC

aCnFI

FInXOYOMIOCεωaC

aCnFI

FInXOYOMIOCαωaC

aCnFI

FInXOYOMIOl/6l/6l/6l/6OABθCGαωaC

aCnFI

FInXOYOMIO式③代入式⑥得根据达朗伯原理，列出“平衡方程”:∑FX=0，∑FY=0，∑MO(F)=0，……①……②……③……④……⑤……⑥分离变量、积分得最后解得XO+FI

sinθ+FIn

cosθ=0，YO－MI

+FI

cosθ－

FInsinθ=0，（←）（↑）在运动的任意瞬时，虚加于刚体各质点上的惯性力系首先可简化为对称面内的平面惯性力系；然后以质心为简化中心，导出惯性力系的主矢和主矩。刚体的平面运动可分解为随基点的平移和相对基点的转动。在动力学中，总是选取质心为基点。所以刚体的平面运动可分解为随质心的平移和相对质心的转动。简化到对称面的惯性力系分为两部分：刚体随质心平动的惯性力系简化为通过质心的一个力；刚体绕质心转动的惯性力系简化为一个力偶。三、刚体作平面运动时惯性力系的简化aCMICFIC

FI=－maC

MIC=－JC

MICFIMICFIMICFIaCaC刚体作平面运动时惯性力系的简化的结论有对称平面的刚体，平行于该平面运动时，刚体的惯性力系可以简化为在对称平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，其方向与质心的加速度方向相反；这个力偶的矩等于对通过质心且垂直于对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，其转向与角加速度方向相反。aCFIC

FIC

FIC

FIC

MICMICMICMICaCaCaC例5

图示偏心轮质量为m=30Kg，半径r=0.25m,偏心距e=0.1m,对质心的回转半径ρ=0.2m。在常力偶矩M=30N·m的作用下，沿水平地面作纯滚动。在图示瞬时，轮的角速度为ω=4rad/s，试求该瞬时轮心O的加速度、地面对轮的约束反力。Cω

MeOr分析偏心轮作平面运动，本题可用刚体平面运动微分方程来求解；现考虑用达朗伯原理来求解，关键是如何加惯性力系？偏心轮作纯滚动，设图示瞬时，其角加速度为α，则例6解：已知m=30Kg，r=0.25m，e=0.1m，对质心C：ρ=0.2m。M=30N·m，ω=4rad/s，求aO及地面对轮的约束反力。ω

Oao=rαaOaO以O为基点，质心的加速度为aCyaCx对轮虚加惯性力系如图，大小分别为COFIxMICFIyFIx=m(rα－e

2)FIy=meαMIC=JCα

=m

2αCaOaOaCyaCxFIxMICFIyaOaOaCyaCxFIxMICFIyαaOaOaCyaCxFIxMICFIyM对轮虚加的惯性力系为COMIMICNFFIx=m(rα－e

2)FIy=meαMIC=JCα=m2α根据达朗伯原理，虚加的惯性力系与主动力、约束反力保持形式上的平衡，有∑FX

=0，∑FY

=0，∑MA(F)=0，F－FIx

=0，－MIC－M+FIxr+FIxe－

MIe=0将式①代入式②∽④，解得……①……②……③……④F=m(rα－e

2)=110.7NaO=rα

=5.29m/s2N

=m(g－eα)=230.5N（→）（↑）（→）所以FIxFIyMIMIMIerN－MI

+FIy=0，NFNFNFAAAAM例7

均质鼓轮铰接在悬臂梁AB的B端，在常力矩M的作用下牵引均质轮C在AB上纯滚动。已知鼓轮、圆轮的质量、半径均为m、r，悬臂梁的长度为l，单位长度自重为q。求圆轮中心C运动到梁的中间位置时，固定端A的约束反力。见后续rrll/2ABmmqCMMMM⑴求轮B、C的角加速度及轮心的加速度已知两轮m，r；梁q，l；力矩M，求图示位置A端的约束反力。MaCll/2ABCMIB

MIC

解：∵轮B、C的半径、质量均相等，轮C纯滚动∴αB=αC

=α

且

aC=rαC

，aB=0对系统虚加惯性力系如图，其大小分别为FIC=m

rα

FIB

=0FAxFAyFICMA

ql则系统在主动力、约束反力与惯性力系在形式上处于“平衡”，为平面一般力系问题！aCMIB

MIC

FAxFAyFICMA

qlaCMIB

MIC

FAxFAyFICMA

qlaCαMIB

MIC

FAxFAyFICMA

qlαBABCCMIC

FICNT再取鼓轮B

为研究对象，有∑MB(F)=0，－M

+

MIB

+

Tr=0，取鼓轮C

为研究对象，有∑MD(F)=0，－Tr+

MIC－FICr=0，MεMIB

FBxT’MaCεMIB

MIC

FICεFIC

=m

rα联立式，可得已求得FByNTFBxT’FByNTFBxT’FByNTFBxT’FByMIB

MIB

MIB

MIC

FICMIC

FICMIC

FICε例15-9续3已求得⑵求固定端A的约束反力取整个系统为研究对象，有∑X=0，∑Y=0，∑MA(F)=0，FAy－2MI

－ql=0，FAy