2024-2025学年甘肃省兰州市高三上册第三次诊断考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年甘肃省兰州市高三上学期第三次诊断考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．设集合，则（

）A． B． C． D．2．已知命题p：，．则命题p的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．设，则（

）A． B．C． D．4．已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（

）A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天6．在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A．B．C．D．7．若存在常数，使得函数对定义域内的任意值均有，则关于点对称，函数称为“准奇函数”.现有“准奇函数”，对于，，则函数在区间上的最大值与最小值的和为（

）A． B． C． D．8．已知数列，若对任意的，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知，且，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的最小值为 D．的最大值为10．将函数的图像向左平移个单位，所得图像关于原点对称．若，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．的对称中心为C．对任意的，都有D．与的公共点的纵坐标为或11．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①，；②，，，则称函数为“函数”.下列结论正确的是（

）A．若为“函数”，则其图象恒过定点B．函数在上是“函数”C．函数在上是“函数”（表示不大于的最大整数）D．若为“函数”，则一定是上的增函数三、填空题（本大题共3小题）12．已知，，则．13．已知，设函数的图象在点处的切线为l，则l与轴交点的坐标为．14．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角的对边分别为.(1)若，求；(2)若，求证.16．党的十九大以来，恩施州深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化对接帮扶，州委州政府派恩施高中到杨家庄村去考察和指导工作.该村较为贫困的有200户农民，且都从事农业种植，据了解，平均每户的年收入为0.3万元.为了调整产业结构，恩施高中和杨家庄村委会决定动员部分农民从事白茶加工，据估计，若能动员户农民从事白茶加工，则剩下的继续从事农业种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事白茶加工的农民平均每户收入将为万元.(1)若动员户农民从事白茶加工后，要使从事农业种植的农民的总年收入不低于动员前从事农业种植的农民的总年收入，求的取值范围；(2)在（1）的条件下，要使这200户农民中从事白茶加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，求的最大值.17．如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，.(1)若为的中点，求证：；(2)求二面角的正弦值.18．椭圆的离心率是，且过点.(1)求的方程；(2)过点的直线与的另一个交点分别是，与轴分别交于，且于点，是否存在定点使得是定值？若存在，求出点的坐标与的值；若不存在，请说明理由.19．设函数，.(1)若直线是曲线的一条切线，求的值；(2)证明：①当时，；②，.（是自然对数的底数，）

答案1．【正确答案】D【详解】解：由，即，解得，所以，又，所以；故选：D2．【正确答案】A【详解】根据存在量词命题的否定，命题p的否定是：，.故选：A.3．【正确答案】C【详解】由不等式可得，即；，设，因为，所以在上单调递增，所以当，所以，即.所以.故选：C4．【正确答案】D【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：D．5．【正确答案】A【详解】因为，，且，则，于是得设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为，则有即，所以，而，解得所以在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为3.6天故选：A．6．【正确答案】B【详解】对于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；对于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有两解；对于C：由正弦定理可知，∵为钝角，∴B一定为锐角，故三角形有一解；对于D：由正弦定理可知，，故故三角形无解.故选：B.7．【正确答案】B【详解】令，则，关于点中心对称；令，则，关于点中心对称；，，设在处取得最大值，则在处取得最小值，，即的最大值与最小值的和为.故选：B.8．【正确答案】B【详解】当，有，由，解得；当，有，由，解得，，，，所以的最小值为.当，有，由，解得；当，有，由，解得，，，，所以的最大值为.所以的最小值大于的最大值，即恒成立，所以解得，对任意的，恒成立，则有，即实数的取值范围是.故选：B9．【正确答案】BC【详解】，且，，对于A，利用基本不等式得，化简得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；对于B，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；对于D，利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，，，故D错误；故选：BC10．【正确答案】AB【详解】将函数的图像向左平移个单位，可得，为奇函数，则，即，，因为，所以，则，所以的最小正周期为，故A正确；令，得，的对称中心为，故B正确；，所以不是对称轴，故C错误；令，即，，，与的公共点的纵坐标为或，故D错误；故选：AB.11．【正确答案】AC【详解】对于A：不妨令，则，因为，，所以，故，故A正确；对于B：不妨令，，则，，，即，这与，，矛盾，故B错误；对于C：由题意可知，，，不妨令，其中为整数部分，为小数部分，则；再令，其中为整数部分，为小数部分，则；若，则；若，则，从而，，成立，故C正确；对于D：由题意可知，常函数为“H函数”，但不是增函数，故D错误.故选：AC.12．【正确答案】【详解】由题意可知，由，可得，则，则，故,故答案为:13．【正确答案】0,1【详解】由，，而，则，所以切线l的方程为，令，得，即l与轴交点的坐标为.故答案为.14．【正确答案】【详解】因为为奇函数，定义域为，所以，，又因为时，，所以，构造函数，所以，所以当时，，在上单调递增，又因为，所以，在上大于零，在上小于零，又因为，所以当时，在上大于零，在上小于零，因为为奇函数，所以当时，在上小于零，在上大于零，综上所述：的解集为.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)见解析【详解】（1），，则，，，，由正弦定理，可得：，则，可得，解得，则，由余弦定理，，故.（2），，，由余弦定理，①，②，①与②相除可得：，，两边同除以，可得.16．【正确答案】(1)(2)11【详解】（1）依题意得，动员后从事农业种植的农民的平均每户年收入为，则，解得，所以的取值范围为.（2）由于从事白茶加工的农民的总收入始终不高于从事农业种植的农民的总收入，则，两边同时除以得，再整理得，即在上恒成立，由于，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为11.17．【正确答案】(1)见解析(2)【详解】（1）∵侧面是菱形，∴，∵为的中点，∴，∵侧面底面，侧面底面，，底面，∴侧面，∵侧面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.（2）取中点，连接，从而，又由，则，∵侧面底面，侧面底面，∴底面，以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图：由已知条件和上图可知，，，，，由题意可知，为平面的一个法向量，不妨设平面的一个法向量，因为，，从而，令，则，，即，设二面角为，由图可知为钝角，从而，即，故二面角的正弦值为.18．【正确答案】(1)(2)，【详解】（1）将点P坐标代入椭圆方程得：…①，由离心率得，，又，代入①解得，椭圆C的标准方程为：；（2）设，不妨设，直线AB的方程为；联立方程，得，，直线AP的方程为：，直线BP的方程为：，令得，由题意：，，化简得：

，将代入上式化简得：，将式代入上式并化简得：，即或者，如果，则AB的方程为，为过定点P的直线，显然不符合题意，舍；，AB的方程为，∴，又，即，，，

，联立方程，解得，…③，即定点R为，；当时，，此时直线AB为y轴，所以PQ为平行于x轴的直线，Q点的坐标为，代入③也满足；综上，椭圆C的标准方程为：，定点R为，.19．【正确答案】(1)(2)①证明见解析②证明见解析【详解】（1）由，则，设在上的切点为，从而，故在上的切点为，将代入得，